Монтажная длина

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория групп , длина Фиттинга (или нильпотентная длина ) измеряет, насколько далека разрешимая группа от нильпотентности . Концепция названа в честь Ганса Фиттинга , в связи с его исследованиями нильпотентных нормальных подгрупп .

Определение

Цепь фитинга (или серия фитингов , или нильпотентный ряд ) для группы — субнормальный ряд с нильпотентными факторами . Другими словами, конечная последовательность подгрупп, включающая как всю группу, так и тривиальную группу, такая, что каждая является нормальной подгруппой предыдущей и такая, что факторы последовательных членов являются нильпотентными группами.

Длина Фиттинга или нильпотентная длина группы определяется как наименьшая возможная длина цепи Фиттинга, если таковая существует.

Серия верхних и нижних фитингов

Подобно тому, как верхний центральный ряд и нижний центральный ряд являются экстремальными среди центральных рядов , существуют аналогичные ряды, экстремальные среди нильпотентных рядов.

Для конечной группы H подгруппа Фиттинга Fit ( H ) является максимальной нормальной нильпотентной подгруппой, а минимальная нормальная подгруппа, фактор по которой нильпотентен, равна γ _∞ ( H ), пересечение (конечного) нижнего центрального ряда , который называется нильпотентным остатком .Они соответствуют центру и подгруппе коммутатора (для верхнего и нижнего центрального ряда соответственно). Это не справедливо для бесконечных групп, поэтому в дальнейшем будем считать, что все группы конечны.

Верхний ряд Фиттинга конечной группы — это последовательность характеристических подгрупп Fit ^н( G ), определенный Fit ⁰( G ) = 1, и Fit ^{п +1}( Г )/ Подходит ^н( G ) = Подходит (G/ Подходит ^н( Г )). Это возрастающий нильпотентный ряд, на каждом шаге принимающий максимально возможную подгруппу.

Нижний Фиттинга конечной группы G собой последовательность характеристических подгрупп Fn ₍ ( G определяемых формулами F0 _Fn ( G ) = G и Fn _{( +1} ) G ) = ) , _γ∞ ( ряд _G представляет ) . Это нисходящий нильпотентный ряд, принимающий на каждом шаге минимально возможную подгруппу.

Примеры

Нетривиальная группа имеет длину Фиттинга 1 тогда и только тогда, когда она нильпотентна.
Симметричная группа в трех точках имеет длину Фиттинга 2.
Симметричная группа из четырех точек имеет длину Фиттинга 3.
Симметричная группа из пяти и более точек вообще не имеет цепи Фиттинга и неразрешима.
Повторное сплетение n копий симметричной группы по трем точкам имеет длину подгонки 2 n .

Характеристики

Группа имеет цепь Фиттинга тогда и только тогда, когда она разрешима .
Нижний ряд Фиттинга является цепью Фиттинга тогда и только тогда, когда он в конце концов достигает тривиальной подгруппы, тогда и только тогда, когда G разрешима.
Верхний ряд Фиттинга является цепью Фиттинга тогда и только тогда, когда он в конечном итоге достигает всей группы G тогда и только тогда, когда G разрешима.
Нижний ряд фитингов спускается быстрее всего среди всех цепей фитингов, а верхний ряд фитингов быстрее всего поднимается среди всех цепей фитингов. Явно: для каждой цепи Фиттинга 1 = H ₀ ⊲ H ₁ ⊲ … ⊲ H _n = G , H _i ≤ Fit ^я( грамм ) и F _я ( грамм ) ≤ ЧАС _{п - я} .
Для разрешимой группы длина нижнего ряда Фиттинга равна длине верхнего ряда Фиттинга, и эта общая длина является длиной Фиттинга группы.

Дополнительную информацию можно найти в ( Huppert 1967 , глава III, §4).

Соединение между центральной серией и фитинговой серией

То же, что центральные ряды делают для нильпотентных групп, ряды Фиттинга делают для разрешимых групп. Группа имеет центральную серию тогда и только тогда, когда она нильпотентна, а ряд Фиттинга тогда и только тогда, когда она разрешима.

Для разрешимой группы нижний ряд Фиттинга представляет собой «более грубое» деление, чем нижний центральный ряд: нижний ряд Фиттинга дает ряд для всей группы, тогда как нижний центральный ряд спускается только от всей группы к первому члену группы. Приспособительная серия.

Нижний фитинговый ряд продолжается:

Г = F ₀ ⊵ F ₁ ⊵ ⋯ ⊵ 1,

тогда как нижний центральный ряд подразделяет первую ступень,

г знак равно г ₁ ⊵ г ₂ ⊵ ⋯ ⊵ F ₁ ,

и является лифтом нижнего центрального ряда для первого частного F ₀ / F ₁ , который нильпотентен.

Действуя таким образом (поднимая нижний центральный ряд для каждого частного ряда Фиттинга), получаем субнормальный ряд:

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ F ₁ = F _1,1 ⊵ F _1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F ₂ = F _2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F _n = 1,

как грубое и мелкое деление на линейке .

Последовательные частные являются абелевыми, что показывает эквивалентность между разрешимостью и наличием ряда Фиттинга.

См. также

Ссылки

Хупперт, Б. (1967), Конечные группы (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , МР 0224703 , OCLC 527050
Турулл, Александр (2001) [1994], «Подходящая длина» , Энциклопедия математики , EMS Press
Турулл, Александр (2001) [1994], «Фитинговая цепь» , Энциклопедия математики , EMS Press