Пазл о наследстве из 17 животных

Загадка о наследовании 17 животных — это математическая головоломка, включающая неравномерное, но справедливое распределение неделимого имущества , обычно выражаемое в виде наследования нескольких крупных животных (17 верблюдов, 17 лошадей, 17 слонов и т. д.), которые необходимо разделить на несколько частей. установленное соотношение среди числа бенефициаров.

Несмотря на то, что ее часто представляют как головоломку, это скорее анекдот о любопытном расчете, чем проблема с четким математическим решением. ^[1] Помимо развлекательной математики и математического образования, эта история повторялась как притча с различными метафорическими значениями.

Хотя часто заявлялось о древнем происхождении головоломки, оно не было документально подтверждено. Вместо этого версия загадки может быть прослежена до работ муллы Мухаммада Махди Нараки , иранского философа 18-го века. В западную развлекательную математическую литературу оно вошло в конце 19 века. Некоторые математики сформулировали различные обобщения головоломки для чисел, отличных от 17.

Заявление

Согласно формулировке загадки, человек умирает, оставляя своим трем сыновьям 17 верблюдов (или других животных), которые нужно разделить в следующей пропорции: старший сын должен унаследовать 1/2 средний сын имущества мужчины должен унаследовать 1 ⁄ 3 , и младший сын должен унаследовать 1 ⁄ 9 . Как им следует делить верблюдов, учитывая, что ценность имеет только целый живой верблюд? ^[2]

Решение

Как обычно говорится, чтобы решить головоломку, трое сыновей просят помощи у другого человека, часто священника, судьи или другого местного чиновника. Этот человек решает головоломку следующим образом: он одалживает трем сыновьям своего верблюда, так что теперь осталось разделить 18 верблюдов. В результате остается девять верблюдов для старшего сына, шесть верблюдов для среднего сына и два верблюда для младшего сына в пропорциях, требуемых для наследства. У этих 17 верблюдов остался один верблюд, которого судья забирает себе. ^[2] Это возможно, поскольку сумма дробей меньше единицы: ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 9 ⁠ = ⁠ 17 / 18 ⁠ .

Некоторые источники указывают на дополнительную особенность этого решения: каждый сын доволен, поскольку получает больше верблюдов, чем первоначально заявленное ему наследство. Старшему сыну изначально обещали только 8 + 1 / 2 верблюда, но получает девять; среднему сыну было обещано 5 + 2 / 3 , но получает шесть; и младшему было обещано 1 + 8/9 . , но получает двойку ^[3]

История

Подобные проблемы неравномерного дележа восходят к древним временам, но без поворота кредита и возврата лишнего верблюда. Например, в «Математическом папирусе Ринда» описана задача, в которой множество буханок хлеба нужно разделить в четырех различных заданных пропорциях. ^[2]^[4] Загадку о 17 животных можно рассматривать как пример задачи «довершения до единицы», типа которой можно найти в других примерах этого папируса, в которой набор дробей, добавляющий меньше единицы, должен быть завершен путем добавления большего количества дробей. чтобы их общая сумма равнялась ровно одному. ^[5] Другой подобный случай, связанный с долевым наследованием в Римской империи, появляется в трудах Публия Ювентия Цельса , приписываемый делу, решенному Сальвием Юлианом . ^[6]^[7] Проблемы справедливого разделения неделимых элементов на определенные пропорции, наблюдаемые в этих проблемах наследования, также возникают при распределении мест в избирательных системах, основанных на пропорциональном представительстве . ^[8]

Многие подобные задачи деления на дроби известны из математики средневекового исламского мира . ^[1]^[4]^[9] но «не похоже, что история о 17 верблюдах является частью классической арабо-исламской математики». ^[9] Предполагаемое происхождение проблемы в работах аль-Хорезми , Фибоначчи или Тартальи также не может быть проверено. ^[10] Ее также приписывают Империи Великих Моголов министру 16-го века Бирбалу , но только как «легендарную сказку». ^[11] Самое раннее задокументированное появление головоломки, найденной Пьером Агероном с использованием 17 верблюдов, встречается в работе иранского шиитского философа XVIII века Муллы Мухаммада Махди Нараки . ^[9] К 1850 году он уже поступил в обращение в Америке благодаря путеводителю по Месопотамии, опубликованному Джеймсом Филлипсом Флетчером. ^[12]^[13] Оно появилось в The Mathematical Monthly в 1859 году. ^[10]^[14] а версия с 17 слонами и заявленным китайским происхождением была включена в книгу «Ханки Панки: Книга фокусов» (Лондон, 1872 г.), отредактированную Уильямом Генри Кремером, но часто приписываемую Вильялбе Фрикеллу [ де ] или Генри Ллевеллину Уильямсу. ^[2]^[10] Эта же загадка впоследствии появилась в конце 19 — начале 20 веков в произведениях Генри Дьюдени , Сэма Лойда , ^[2] Эдуард Лукас , ^[9] Профессор Гофман , ^[15] и Эмиль Фуррей, ^[16] среди других. ^[17]^[18]^[19]^[20] Версия с 17 лошадьми была распространена в фольклоре Америки середины 20 века. ^[21]

Был рассказан вариант истории с 11 верблюдами, которых нужно разделить на 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 4 и 1 ⁄ 6 . ^[22]^[23] Другой вариант головоломки появляется в книге « Человек, который считал» , книге математических головоломок, первоначально опубликованной на португальском языке Жулио Сезаром де Мелло и Соузой в 1938 году. Эта версия начинается с 35 верблюдов, которые должны быть разделены в тех же пропорциях, что и 17. -верблюжья версия. После того, как герой повести одалживает верблюда, и 36 верблюдов делятся между тремя братьями, остаются два: один должен быть возвращен герою, а другой отдан ему в награду за его ловкость. В примечаниях к английскому переводу книги цитируется версия задачи о 17 верблюдах из работ Фурри и Гастона Бушени (1939). ^[10]

Помимо развлекательной математики, эта история использовалась в качестве основы для школьных уроков математики. ^[3]^[24] как притча о различных моральных принципах в религии, праве, экономике и политике, ^[19]^[25]^[26]^[27]^[28] и даже как объяснение катализа в химии. ^[29]

Обобщения

Пол Стокмейер, ученый-компьютерщик, определяет класс подобных головоломок для любого числа. $n$ животных, обладающих свойством, которое $n$ можно записать как сумму различных делителей $d_{1},d_{2},\dots$ из $n+1$ . В этом случае получается головоломка, в которой дроби, на которые $n$ животных следует разделить на ${\frac {d_{1}}{n+1}},{\frac {d_{2}}{n+1}},\dots .$ Потому что цифры $d_{i}$ были выбраны, чтобы разделить $n+1$ , все эти дроби упрощаются до единичных дробей . В сочетании с долей судьи в животных, $1/(n+1)$ , они создают египетской дроби . представление числа один в ^[2]

Числа верблюдов, которые можно взять за основу такой головоломки (т. е. числа $n$ которые можно представить в виде суммы различных делителей $n+1$ ) образуют целочисленную последовательность

1, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 35, 39, 41, ... ^[30]

С. Наранан, индийский физик, ищет более ограниченный класс обобщенных головоломок, состоящий всего из трех членов и с $n+1$ равно наименьшему общему кратному знаменателей трех единичных дробей, находя только семь возможных троек дробей, удовлетворяющих этим условиям. ^[11]

Бразильские исследователи Марсио Луис Феррейра Насименто и Луис Барко обобщают проблему дальше, как в случае с 35 верблюдами, на случаи, когда можно одолжить более одного верблюда, и количество возвращенных может быть больше, чем количество одолженных. ^[10]

См. также

Обезьяна и кокосы — более сложная головоломка с справедливым дележом.
Математика распределения , общие способы округления дробных подразделений на целые числа предметов.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сезиано, Жак (2014), «Разделение верблюдов» , Математическая реконструкция в средние века (на французском языке), Лозанна: Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, стр. 198–200, заархивировано из оригинала 25 марта 2023 г. , получено 25 марта 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Стокмейер, Пол К. (сентябрь 2013 г.), «О верблюдах, наследовании и дробных единицах», Math Horizons , 21 (1): 8–11, doi : 10.4169/mathhorizons.21.1.8 , JSTOR 10.4169/mathhorizons.21.1. 8 , Г-Н 3313765 , С2КИД 125145732
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бен-Хаим, Дэвид; Шалитин, Йехиэль; Ступель, Моше (февраль 2019 г.), «Исторические математические задачи, подходящие для занятий в классе», The Mathematical Gazette , 103 (556): 12–19, doi : 10.1017/mag.2019.2 , S2CID 86506133
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Финкель, Джошуа (1955), «Математическая загадка в угаритской керетской поэме», Annual Jewish Union College , 26 : 109–149, JSTOR 23506151
^ Энн, Премчанд (1998), «Египетские дроби и проблема наследования», The College Mathematics Journal , 29 (4): 296–300, doi : 10.1080/07468342.1998.11973958 , JSTOR 2687685 , MR 1648474
^ Каджори, Флориан (1894), История математики , MacMillan and Co., стр. 79–80.
^ Смит, Дэвид Юджин (1917), «О происхождении некоторых типичных задач», The American Mathematical Monthly , 24 (2): 64–71, doi : 10.2307/2972701 , JSTOR 2972701 , MR 1518704
^ Чаркоглу, Али; Эрдоган, Эмре (1998), «Справедливость при распределении мест в законодательном органе Турции: есть ли возможности для улучшения?», New Perspectives on Turkey , 19 : 97–124, doi : 10.1017/s0896634600003046 , S2CID 148547260
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Агерон, Пьер (2013), «Разделение семнадцати верблюдов и другие арифметики, приписываемые иммаму Али: движение и распространение историй из шиитской мусульманской традиции» (PDF) , Revue d'histoire des Mathematics (на французском языке)). , 19 (1): 1–41, заархивировано (PDF) из оригинала 24 марта 2023 г. , получено 24 марта 2023 г .; см., в частности, стр. 13–14.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Насименто, Марсио Луис Феррейра; Барко, Луис (сентябрь 2016 г.), «Человек, который любил считать, и невероятная история о 35 верблюдах» , Journal of Mathematics and the Arts , 10 (1–4): 35–43, doi : 10.1080/17513472.2016.1221211 , S2CID 54030575 , заархивировано из оригинала 25 марта 2023 г. , получено 25 марта 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Наранан, С. (1973), «Слоновье» уравнение, Mathematics Magazine , 46 (5): 276–278, doi : 10.2307/2688266 , JSTOR 2688266 , MR 1572070
^ Флетчер, Джеймс Филлипс (1850), Записки из Ниневии: и путешествия по Месопотамии, Ассирии и Сирии , Леа и Бланшар, стр. 206
^ Максхэм, Ефрем; Винг, Дэниел Рипли (24 октября 1850 г.), «Мудрый судья» , The Eastern Mail , vol. 4, нет. 14, Уотервилл, Мэн, с. 3, заархивировано из оригинала 24 марта 2023 г. , получено 24 марта 2023 г.
^ «Проблема» , Примечания и вопросы , The Mathematical Monthly , 1 (11): 362, август 1859 г., заархивировано из оригинала 25 марта 2023 г. , получено 25 марта 2023 г.
^ Профессор Хоффманн (1893), «№ XI — неуправляемое наследие» , «Загадки старые и новые » , Лондон: Фредерик Уорн и компания, стр. 147 ; решение, стр. 191–192.
^ Фуррей, Эмиль (1899), «Curieuxshares» , Récréations arithmetique (на французском языке), Париж: Librairie Nony, стр. 159
^ Моррелл, Э.В. (февраль 1897 г.), «Задачи для решения: арифметика, № 76», The American Mathematical Monthly , 4 (2): 61, doi : 10.2307/2970050 , JSTOR 2970050
^ Уайт, Уильям Ф. (1908), «Загадка верблюдов» , Альбом элементарной математики: заметки, развлечения, эссе , The Open Court Publishing Company, стр. 193
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вольф, сэр Генри Драммонд (1908), «Вдохновение парсов» , «Беспорядочные воспоминания » , том. II, Лондон: Макмиллан и компания, с. 56
^ Вентворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1909), Полная арифметика , Математическая серия Вентворта – Смита, Джинн и компания, стр. 467
^ Браун, Рэй Б. (осень 1961 г.), «Загадки округа Типпекано, Индиана», Фольклор Среднего Запада , 11 (3): 155–160, JSTOR 4317919
^ Ван Влек, Дж. Х. (январь 1929 г.), «Новая квантовая механика», Chemical Reviews , 5 (4): 467–507, doi : 10.1021/cr60020a006
^ Зайберт, Томас М. (декабрь 1987 г.), «Аргументы судьи», Аргументация: анализ и практика , Де Грюйтер, стр. 119–122, doi : 10.1515/9783110869170 , ISBN 978-3-11-013027-0
^ Койл, Стивен (ноябрь 2000 г.), «Дроби вызывают у меня горб», Математика в школе , 29 (5): 40, JSTOR 30215451
^ Анспах, CL (декабрь 1939 г.), «Вечные ценности», Christian Education , 23 (2): 96–102, JSTOR 41173250.
^ Чодош, Хирам Э. (март 2008 г.), « Восемнадцатый верблюд : реформа посредничества в Индии», German Law Journal , 9 (3): 251–283, doi : 10.1017/s2071832200006428 , S2CID 141042869
^ Ост, Ф. (июль 2011 г.), «Двенадцатый верблюд, или экономика справедливости», Journal of International Dispute Settlement , 2 (2): 333–351, doi : 10.1093/jnlids/idr003
^ Тойбнер, Гюнтер (2001), «Отчуждающее правосудие: о социальной прибавочной стоимости двенадцатого верблюда» , Нелькен, Дэвид; Прибан, Иржи (ред.), Новые границы Ло: последствия Lega Autopoiesis , Лондон: Ashgate, стр. 21–44, заархивировано из оригинала 08 июля 2023 г. , получено 26 марта 2023 г.
^ Суонн, WFG (июль 1931 г.), «Приветствие Американского физического общества», The Scientific Monthly , 33 (1): 5–10, Бибкод : 1931SciMo..33....5S , JSTOR 15070
^ Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A085493 (числа k, имеющие разбиение на отдельные делители k + 1)» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS

[sesiano-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сезиано, Жак (2014), «Разделение верблюдов» , Математическая реконструкция в средние века (на французском языке), Лозанна: Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, стр. 198–200, заархивировано из оригинала 25 марта 2023 г. , получено 25 марта 2023 г.

[stockmeyer-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Стокмейер, Пол К. (сентябрь 2013 г.), «О верблюдах, наследовании и дробных единицах», Math Horizons , 21 (1): 8–11, doi : 10.4169/mathhorizons.21.1.8 , JSTOR 10.4169/mathhorizons.21.1. 8 , Г-Н 3313765 , С2КИД 125145732

[bss-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бен-Хаим, Дэвид; Шалитин, Йехиэль; Ступель, Моше (февраль 2019 г.), «Исторические математические задачи, подходящие для занятий в классе», The Mathematical Gazette , 103 (556): 12–19, doi : 10.1017/mag.2019.2 , S2CID 86506133

[finkel-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Финкель, Джошуа (1955), «Математическая загадка в угаритской керетской поэме», Annual Jewish Union College , 26 : 109–149, JSTOR 23506151

[anne-5] Энн, Премчанд (1998), «Египетские дроби и проблема наследования», The College Mathematics Journal , 29 (4): 296–300, doi : 10.1080/07468342.1998.11973958 , JSTOR 2687685 , MR 1648474

[cajori-6] Каджори, Флориан (1894), История математики , MacMillan and Co., стр. 79–80.

[smith-7] Смит, Дэвид Юджин (1917), «О происхождении некоторых типичных задач», The American Mathematical Monthly , 24 (2): 64–71, doi : 10.2307/2972701 , JSTOR 2972701 , MR 1518704

[carerd-8] Чаркоглу, Али; Эрдоган, Эмре (1998), «Справедливость при распределении мест в законодательном органе Турции: есть ли возможности для улучшения?», New Perspectives on Turkey , 19 : 97–124, doi : 10.1017/s0896634600003046 , S2CID 148547260

[ageron-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Агерон, Пьер (2013), «Разделение семнадцати верблюдов и другие арифметики, приписываемые иммаму Али: движение и распространение историй из шиитской мусульманской традиции» (PDF) , Revue d'histoire des Mathematics (на французском языке)). , 19 (1): 1–41, заархивировано (PDF) из оригинала 24 марта 2023 г. , получено 24 марта 2023 г .; см., в частности, стр. 13–14.

[nasbar-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Насименто, Марсио Луис Феррейра; Барко, Луис (сентябрь 2016 г.), «Человек, который любил считать, и невероятная история о 35 верблюдах» , Journal of Mathematics and the Arts , 10 (1–4): 35–43, doi : 10.1080/17513472.2016.1221211 , S2CID 54030575 , заархивировано из оригинала 25 марта 2023 г. , получено 25 марта 2023 г.

[naranan-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Наранан, С. (1973), «Слоновье» уравнение, Mathematics Magazine , 46 (5): 276–278, doi : 10.2307/2688266 , JSTOR 2688266 , MR 1572070

[fletcher-12] Флетчер, Джеймс Филлипс (1850), Записки из Ниневии: и путешествия по Месопотамии, Ассирии и Сирии , Леа и Бланшар, стр. 206

[maxwin-13] Максхэм, Ефрем; Винг, Дэниел Рипли (24 октября 1850 г.), «Мудрый судья» , The Eastern Mail , vol. 4, нет. 14, Уотервилл, Мэн, с. 3, заархивировано из оригинала 24 марта 2023 г. , получено 24 марта 2023 г.

[tmm-14] «Проблема» , Примечания и вопросы , The Mathematical Monthly , 1 (11): 362, август 1859 г., заархивировано из оригинала 25 марта 2023 г. , получено 25 марта 2023 г.

[hoffmann-15] Профессор Хоффманн (1893), «№ XI — неуправляемое наследие» , «Загадки старые и новые » , Лондон: Фредерик Уорн и компания, стр. 147 ; решение, стр. 191–192.

[fourrey-16] Фуррей, Эмиль (1899), «Curieuxshares» , Récréations arithmetique (на французском языке), Париж: Librairie Nony, стр. 159

[morrell-17] Моррелл, Э.В. (февраль 1897 г.), «Задачи для решения: арифметика, № 76», The American Mathematical Monthly , 4 (2): 61, doi : 10.2307/2970050 , JSTOR 2970050

[white-18] Уайт, Уильям Ф. (1908), «Загадка верблюдов» , Альбом элементарной математики: заметки, развлечения, эссе , The Open Court Publishing Company, стр. 193

[drummond-19] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вольф, сэр Генри Драммонд (1908), «Вдохновение парсов» , «Беспорядочные воспоминания » , том. II, Лондон: Макмиллан и компания, с. 56

[wensmi-20] Вентворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1909), Полная арифметика , Математическая серия Вентворта – Смита, Джинн и компания, стр. 467

[browne-21] Браун, Рэй Б. (осень 1961 г.), «Загадки округа Типпекано, Индиана», Фольклор Среднего Запада , 11 (3): 155–160, JSTOR 4317919

[vv-22] Ван Влек, Дж. Х. (январь 1929 г.), «Новая квантовая механика», Chemical Reviews , 5 (4): 467–507, doi : 10.1021/cr60020a006

[seibert-23] Зайберт, Томас М. (декабрь 1987 г.), «Аргументы судьи», Аргументация: анализ и практика , Де Грюйтер, стр. 119–122, doi : 10.1515/9783110869170 , ISBN 978-3-11-013027-0

[coyle-24] Койл, Стивен (ноябрь 2000 г.), «Дроби вызывают у меня горб», Математика в школе , 29 (5): 40, JSTOR 30215451

[anspach-25] Анспах, CL (декабрь 1939 г.), «Вечные ценности», Christian Education , 23 (2): 96–102, JSTOR 41173250.

[chadosh-26] Чодош, Хирам Э. (март 2008 г.), « Восемнадцатый верблюд : реформа посредничества в Индии», German Law Journal , 9 (3): 251–283, doi : 10.1017/s2071832200006428 , S2CID 141042869

[ost-27] Ост, Ф. (июль 2011 г.), «Двенадцатый верблюд, или экономика справедливости», Journal of International Dispute Settlement , 2 (2): 333–351, doi : 10.1093/jnlids/idr003

[teubner-28] Тойбнер, Гюнтер (2001), «Отчуждающее правосудие: о социальной прибавочной стоимости двенадцатого верблюда» , Нелькен, Дэвид; Прибан, Иржи (ред.), Новые границы Ло: последствия Lega Autopoiesis , Лондон: Ashgate, стр. 21–44, заархивировано из оригинала 08 июля 2023 г. , получено 26 марта 2023 г.

[swann-29] Суонн, WFG (июль 1931 г.), «Приветствие Американского физического общества», The Scientific Monthly , 33 (1): 5–10, Бибкод : 1931SciMo..33....5S , JSTOR 15070

[oeis-30] Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A085493 (числа k, имеющие разбиение на отдельные делители k + 1)» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]