Функции полезности для неделимых товаров.

Некоторые разделы экономики и теории игр имеют дело с неделимыми товарами , дискретными предметами, которыми можно торговать только целиком. Например, на комбинаторных аукционах существует конечный набор предметов, и каждый агент может купить подмножество предметов, но предмет не может быть разделен между двумя или более агентами.

Обычно предполагается, что каждый агент приписывает субъективную полезность каждому подмножеству предметов. Это можно представить одним из двух способов:

Порядковое отношение предпочтения полезности , обычно обозначаемое знаком $\succ$ . Тот факт, что агент предпочитает набор $A$ в набор $B$ написано $A\succ B$ . Если агент лишь слабо предпочитает $A$ (т.е. либо предпочитает $A$ или безразличен между $A$ и $B$ ) тогда это написано $A\succeq B$ .
Кардинальная функция полезности , обычно обозначаемая $u$ . Утилита, которую агент получает из набора $A$ написано $u(A)$ . Кардинальные функции полезности часто нормализуются так, что $u(\emptyset )=0$ , где $\emptyset$ пустое множество.

Кардинальная функция полезности подразумевает отношение предпочтения: $u(A)>u(B)$ подразумевает $A\succ B$ и $u(A)\geq u(B)$ подразумевает $A\succeq B$ . Функции полезности могут иметь несколько свойств. ^{[ 1 ]}

Монотонность

Монотонность означает, что агент всегда (слабо) предпочитает иметь дополнительные элементы. Формально:

Для отношения предпочтения: $A\supseteq B$ подразумевает $A\succeq B$ .
Для функции полезности: $A\supseteq B$ подразумевает $u(A)\geq u(B)$ (т.е. u — монотонная функция ).

Монотонность эквивалентна предположению о свободном распоряжении : если агент всегда может отказаться от ненужных предметов, то дополнительные предметы никогда не смогут уменьшить полезность.

Аддитивность

Аддитивная утилита
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
имеет	7
яблоко и шляпа	12

Аддитивность (также называемая линейностью или модульностью ) означает, что «целое равно сумме своих частей». То есть полезность набора предметов равна сумме полезностей каждого предмета в отдельности. Это свойство актуально только для кардинальных функций полезности. Он говорит, что для каждого набора $A$ предметов,

u(A)=\sum _{x\in A}u({x})

предполагая, что $u(\emptyset )=0$ . Другими словами, $u$ является аддитивной функцией . Эквивалентное определение: для любых наборов предметов $A$ и $B$ ,

u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).

Аддитивная функция полезности характерна для независимых товаров . Например, яблоко и шляпа считаются независимыми: полезность, которую человек получает от яблока, одинакова независимо от того, есть у него шляпа или нет, и наоборот. Типичная функция полезности для этого случая приведена справа.

Субмодулярность и супермодулярность

Субмодульная утилита
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
хлеб	7
яблоко и хлеб	9

Субмодулярность означает, что «целое не больше суммы своих частей (а может быть и меньше)». Формально для всех множеств $A$ и $B$ ,

u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)

Другими словами, $u$ является субмодульной функцией множества .

Эквивалентным свойством является убывающая предельная полезность , что означает, что для любых множеств $A$ и $B$ с $A\subseteq B$ и каждый $x\notin B$ : ^{[ 2 ]}

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

.

Субмодульная функция полезности характерна для товаров-заменителей . Например, яблоко и буханку хлеба можно считать заменителями: полезность, которую человек получает от употребления яблока, меньше, если он уже съел хлеб (и наоборот), поскольку в этом случае он менее голоден. Типичная функция полезности для этого случая приведена справа.

Супермодульная утилита
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
нож	7
яблоко и нож	15

Супермодулярность является противоположностью субмодулярности: она означает, что «целое не меньше суммы своих частей (а может быть и больше)». Формально для всех множеств $A$ и $B$ ,

u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)

Другими словами, $u$ является супермодульной функцией множества .

Эквивалентным свойством является возрастающая предельная полезность , что означает, что для всех множеств $A$ и $B$ с $A\subseteq B$ и каждый $x\notin B$ :

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

.

Супермодульная функция полезности характерна для дополняющих друг друга товаров . Например, яблоко и нож можно считать взаимодополняющими: полезность, которую человек получает от яблока, больше, если у него уже есть нож (и наоборот), поскольку яблоко, разрезав его ножом, легче съесть. Возможная функция полезности для этого случая приведена справа.

Функция полезности аддитивна тогда и только тогда, когда она одновременно субмодулярна и супермодулярна.

Субаддитивность и супераддитивность

Субаддитивный, но не субмодульный
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X или Y или Z	2
X,Y или Y,Z или Z,X	3
X,Y,Z	5

Субаддитивность означает, что для каждой пары непересекающихся множеств $A,B$

u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)

Другими словами, $u$ является субаддитивной функцией множества .

Предполагая $u(\emptyset )$ неотрицательна, каждая субмодулярная функция субаддитивна. Однако существуют неотрицательные субаддитивные функции, которые не являются субмодулярными. Например, предположим, что есть 3 одинаковых предмета, $X,Y$ , и Z, а полезность зависит только от их количества. В таблице справа описана функция полезности, которая является субаддитивной, но не субмодульной, поскольку

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Супераддитивный, но не супермодульный
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X или Y или Z	1
X,Y или Y,Z или Z,X	3
X,Y,Z	4

Супераддитивность означает, что для каждой пары непересекающихся множеств $A,B$

u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)

Другими словами, $u$ является супераддитивной функцией множества .

Предполагая $u(\emptyset )$ неположительна, каждая супермодулярная функция супераддитивна. Однако существуют неотрицательные супераддитивные функции, которые не являются супермодулярными. Например, предположим, что есть 3 одинаковых предмета, $X,Y$ , и Z, а полезность зависит только от их количества. В таблице справа описана функция полезности, которая неотрицательна и супераддитивна, но не супермодулярна, поскольку

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Функция полезности с $u(\emptyset )=0$ называется аддитивной тогда и только тогда, когда она одновременно супераддитивна и субаддитивна.

При типичном предположении, что $u(\emptyset )=0$ , каждая субмодулярная функция субаддитивна, а каждая супермодулярная функция супераддитивна. Без каких-либо предположений о полезности пустого множества эти соотношения не выполняются.

В частности, если субмодулярная функция не субаддитивна, то $u(\emptyset )$ должно быть отрицательным. Например, предположим, что есть два элемента, $X,Y$ , с $u(\emptyset )=-1$ , $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ и $u(\{X,Y\})=3$ . Эта функция полезности является субмодулярной и супермодулярной и неотрицательной, за исключением пустого множества, но не является субаддитивной, поскольку

u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).

Кроме того, если супермодулярная функция не является супераддитивной, то $u(\emptyset )$ должен быть положительным. Предположим вместо этого, что $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$ . Эта функция полезности неотрицательна, супермодулярна и субмодулярна, но не является супераддитивной, поскольку

u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).

Спрос на единицу продукции

Полезность единичного спроса
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
груша	7
яблоко и груша	7

Единичный спрос (UD) означает, что агент хочет только один товар. Если агент получает два или более товара, он использует тот из них, который дает ему наибольшую полезность, а остальные отбрасывает. Формально:

Для отношения предпочтения: для каждого множества $B$ есть подмножество $A\subseteq B$ с мощностью $|A|=1$ , такой, что $A\succeq B$ .
Для функции полезности: Для каждого набора $A$ : ^{[ 3 ]}

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

Функция единичного спроса представляет собой крайний случай субмодулярной функции. Это характерно для товаров, являющихся чистыми заменителями. Например, если есть яблоко и груша, и агент хочет съесть один фрукт, то его функция полезности равна единичному спросу, как показано в таблице справа.

Валовые заменители

Иллюстрация отношений содержания между общими классами функций полезности.

Валовые заменители (GS) означают, что агенты рассматривают товары как товары-заменители или независимые товары , но не как дополняющие товары . Существует множество формальных определений этого свойства, и все они эквивалентны.

Любая оценка UD соответствует GS, но обратное неверно.
Любая оценка GS является субмодульной, но обратное неверно.

Более подробную информацию см. в разделе Валовые заменители (неделимые статьи) .

Следовательно, между классами существуют следующие отношения:

UD\subsetneq GS\subsetneq Submodular\subsetneq Subadditive

См. схему справа.

Агрегаты функций полезности

Функция полезности описывает счастье человека. Часто нам нужна функция, описывающая счастье всего общества. Такая функция называется функцией общественного благосостояния и обычно представляет собой совокупную функцию двух или более функций полезности. Если отдельные функции полезности аддитивны , то для совокупных функций справедливо следующее:

Совокупный функция	Свойство	Пример значения функций на {a}, {b} и {a,b }
Совокупный функция	Свойство	ж	г	час	совокупность(f,g,h)
Сумма	Добавка	1,3; 4	3,1; 4		4,4; 8
Средний	Добавка	1,3; 4	3,1; 4		2,2; 4
Минимум	Супер-добавка	1,3; 4	3,1; 4		1,1; 4
Максимум	Субдобавка	1,3; 4	3,1; 4		3,3; 4
медиана	ни один	1,3; 4	3,1; 4	1,1; 2	1,1; 4
медиана	ни один	1,3; 4	3,1; 4	3,3; 6	3,3; 4

См. также

Ссылки

^ Гюль, Ф.; Стакетти, Э. (1999). «Вальрасово равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории . 87 : 95–124. дои : 10.1006/jeth.1999.2531 .
^ Мулен, Эрве (1991). Аксиомы совместного принятия решений . Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521424585 .
^ Купманс, ТК; Бекманн, М. (1957). «Проблемы назначения и место экономической деятельности» (PDF) . Эконометрика . 25 (1): 53–76. дои : 10.2307/1907742 . JSTOR 1907742 .

[gs99-1] Гюль, Ф.; Стакетти, Э. (1999). «Вальрасово равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории . 87 : 95–124. дои : 10.1006/jeth.1999.2531 .

[2] Мулен, Эрве (1991). Аксиомы совместного принятия решений . Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521424585 .

[kb57-3] Купманс, ТК; Бекманн, М. (1957). «Проблемы назначения и место экономической деятельности» (PDF) . Эконометрика . 25 (1): 53–76. дои : 10.2307/1907742 . JSTOR 1907742 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]