Троичная система счисления
| Часть серии о |
| Системы счисления |
|---|
| Список систем счисления |
Троичная / ˈ t ɜːr n ər i / ( система счисления также называемая системой счисления с основанием 3 или тройственной ) имеет три в качестве основы . Аналогично биту , троичная цифра — это трит ( tri nary dig it ). Один трит эквивалентен log 2 3 (около 1,58496) бит информации .
Хотя троичная система чаще всего относится к системе, в которой все три цифры являются неотрицательными числами; в частности, 0 , 1 и 2 , прилагательное также дает название сбалансированной тройной системе; Содержит цифры -1 , 0 и +1, используемые в логике сравнения и троичных компьютерах .
Сравнение с другими базами
[ редактировать ]Представления целых чисел в троичной системе не становятся слишком длинными так быстро, как в двоичной системе . Например, десятичное число 365 (10) или шестнадцатеричное число 1 405 (6) соответствует двоичному числу 1 0110 1101 (2) (девять битов ) и троичному числу 111 112 (3) (шесть цифр). Однако они по-прежнему гораздо менее компактны, чем соответствующие представления в таких системах счисления, как десятичная – см. ниже компактный способ кодификации троичной системы с использованием ненарной (основание 9) и семеричной системы счисления (основание 27).
| × | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
| 2 | 2 | 11 | 20 | 22 | 101 | 110 | 112 | 121 | 200 |
| 10 | 10 | 20 | 100 | 110 | 120 | 200 | 210 | 220 | 1 000 |
| 11 | 11 | 22 | 110 | 121 | 202 | 220 | 1 001 | 1 012 | 1 100 |
| 12 | 12 | 101 | 120 | 202 | 221 | 1 010 | 1 022 | 1 111 | 1 200 |
| 20 | 20 | 110 | 200 | 220 | 1 010 | 1 100 | 1 120 | 1 210 | 2 000 |
| 21 | 21 | 112 | 210 | 1 001 | 1 022 | 1 120 | 1 211 | 2 002 | 2 100 |
| 22 | 22 | 121 | 220 | 1 012 | 1 111 | 1 210 | 2 002 | 2 101 | 2 200 |
| 100 | 100 | 200 | 1 000 | 1 100 | 1 200 | 2 000 | 2 100 | 2 200 | 10 000 |
Числа от 0 до 3 3 − 1 в стандартной тройной системе тройной 0 1 2 10 11 12 20 21 22 Двоичный 0 1 10 11 100 101 110 111 1 000 Сенарий 0 1 2 3 4 5 10 11 12 Десятичный 0 1 2 3 4 5 6 7 8 тройной 100 101 102 110 111 112 120 121 122 Двоичный 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 1 0000 1 0001 Сенарий 13 14 15 20 21 22 23 24 25 Десятичный 9 10 11 12 13 14 15 16 17 тройной 200 201 202 210 211 212 220 221 222 Двоичный 1 0010 1 0011 1 0100 1 0101 1 0110 1 0111 1 1000 1 1001 1 1010 Сенарий 30 31 32 33 34 35 40 41 42 Десятичный 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Степени 3 в троичной системе тройной 1 10 100 1 000 10 000 Двоичный 1 11 1001 1 1011 101 0001 Сенарий 1 3 13 43 213 Десятичный 1 3 9 27 81 Власть 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 тройной 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 Двоичный 1111 0011 10 1101 1001 1000 1000 1011 1 1001 1010 0001 100 1100 1110 0011 Сенарий 1 043 3 213 14 043 50 213 231 043 Десятичный 243 729 2 187 6 561 19 683 Власть 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9
Что касается рациональных чисел , троичные числа предлагают удобный способ представления. 1/3 то же , что и шестереричная система (в отличие от ее громоздкого представления в виде бесконечной строки повторяющихся цифр в десятичном формате); но основным недостатком является то, что, в свою очередь, троичная система не предлагает конечного представления для 1 / 2 (ни для 1 / 4 , 1/8 является ; и т. д.), поскольку 2 не простым делителем основания как и в случае с основанием два, одна десятая (десятичная 1 / 10 , шестерка 1/14 ; ) ) невозможно представить точно (для этого потребуется, например, десятичное число ни одна шестая (шестеричная 1/10 , десятичный 1 / 6 ).
Троичные дроби Фракция 1 / 2 1 / 3 1 / 4 1 / 5 1 / 6 1 / 7 1 / 8 1 / 9 1 / 10 1 / 11 1 / 12 1 / 13 тройной 0. 1 0.1 0. 02 0. 0121 0.0 1 0. 010212 0. 01 0.01 0. 0022 0. 00211 0.0 02 0. 002 Двоичный 0.1 0. 01 0.01 0. 0011 0.0 01 0. 001 0.001 0. 000111 0.0 0011 0. 0001011101 0.00 01 0. 000100111011 Сенарий 0.3 0.2 0.13 0. 1 0.1 0. 05 0.043 0.04 0.0 3 0. 0313452421 0.03 0. 024340531215 Десятичный 0.5 0. 3 0.25 0.2 0.1 6 0. 142857 0.125 0. 1 0.1 0. 09 0.08 3 0. 076923
Сумма цифр в троичной системе в отличие от двоичной.
[ редактировать ]Значение двоичного числа с n битами, все из которых равны 1, равно 2. н − 1 .
Аналогично, для числа N ( b , d ) с базовыми цифрами b и d , каждая из которых является максимальным цифровым значением b - 1 , мы можем написать:
- N ( б , d ) знак равно ( б - 1) б д -1 + ( б - 1) б д -2 + … + ( б − 1) б 1 + ( б - 1) б 0 ,
- N ( б , d ) знак равно ( б - 1)( б д -1 + б д -2 + … + б 1 + 1),
- N ( б , d ) знак равно ( б - 1) M .
- бМ = б д + б д -1 + … + б 2 + б 1 и
- − М = − б д -1 − б д -2 − ... − б 1 − 1 , поэтому
- бМ - М = б д − 1 или
- М = b д - 1 / б - 1 .
Затем
- N ( б , d ) знак равно ( б - 1) M ,
- Н ( б , d ) знак равно ( б - 1)( б д - 1) / б - 1 ,
- N ( б , d ) знак равно б д − 1.
Для трехзначного троичного числа N (3, 3) = 3. 3 − 1 = 26 = 2 × 3 2 + 2 × 3 1 + 2 × 3 0 = 18 + 6 + 2 .
Компактное троичное представление: основания 9 и 27.
[ редактировать ]Ненарная (основание 9, каждая цифра — две троичные цифры) или семеричная (основание 27, каждая цифра — три троичные цифры) могут использоваться для компактного представления троичной системы, аналогично тому, как используются восьмеричная и шестнадцатеричная вместо двоичной системы .
Практическое использование
[ редактировать ]
В некоторой аналоговой логике состояние схемы часто выражается троично. Чаще всего это наблюдается в КМОП- схемах, а также в транзисторно-транзисторной логике с тотемным выходом . Говорят, что выходной сигнал имеет либо низкий уровень ( заземленный ), либо высокий, либо разомкнутый ( высокий Z ). В этой конфигурации выход схемы фактически напряжению вообще не подключен к какому-либо опорному . Когда сигнал обычно заземлен на определенный опорный уровень или на определенный уровень напряжения, такое состояние называется высоким импедансом , поскольку оно разомкнуто и служит своему собственному опорному значению. Таким образом, реальный уровень напряжения иногда непредсказуем.
Редкая широко используемая «троичная точка» предназначена для защитной статистики в американском бейсболе (обычно только для питчеров ), чтобы обозначить дробные части иннинга. Поскольку нападающей команде разрешено три аута , каждый аут считается одной третью защитного иннинга и обозначается как .1 . Например, если игрок сделал подачу во всех 4-м, 5-м и 6-м иннингах, а также получил 2 аута в 7-м иннинге, в столбце его поданных иннингов для этой игры будет указано 3,2 , что эквивалентно 3 + 2 ⁄ 3 (которое иногда используется некоторыми рекордсменами в качестве альтернативы). В этом случае только дробная часть числа записывается в троичной форме. [1] [2]
Троичные числа можно использовать для удобной передачи самоподобных структур, таких как треугольник Серпинского или множество Кантора . Кроме того, оказывается, что троичное представление полезно для определения множества Кантора и связанных с ним наборов точек из-за способа построения множества Кантора. Множество Кантора состоит из точек от 0 до 1, которые имеют троичное выражение, не содержащее ни одного экземпляра цифры 1. [3] [4] Любое завершающее расширение в тройной системе эквивалентно выражению, которое идентично с точностью до члена, предшествующего последнему ненулевому члену, за которым следует член, на единицу меньший, чем последний ненулевой член первого выражения, за которым следует бесконечный хвост двойки. Например: 0,1020 эквивалентно 0,1012222... поскольку расширения одинаковы до тех пор, пока в первом выражении не появится «двойка», двойка была уменьшена во втором расширении, а конечные нули были заменены конечными двойками во втором выражении.
Тернарная система - это целочисленная система с самой низкой экономией системы счисления , за которой следуют двоичная и четверичная система счисления . Это связано с его близостью к математической константе e . Из-за этой эффективности он использовался в некоторых вычислительных системах. Он также используется для представления деревьев с тремя вариантами , таких как системы меню телефона, которые обеспечивают простой путь к любой ветке.
Форма избыточного двоичного представления , называемая двоичной системой счисления со знаком , иногда используется в низкоуровневом программном и аппаратном обеспечении для быстрого сложения целых чисел, поскольку она может исключить переносы . [5]
Троичный двоично-кодированный
[ редактировать ]Моделирование троичных компьютеров с использованием двоичных компьютеров или взаимодействие между троичными и двоичными компьютерами может включать использование троичных чисел в двоичном коде (BCT), где два или три бита используются для кодирования каждой триты. [6] [7] Кодирование BCT аналогично двоично-десятичному кодированию (BCD). Если значения трита 0, 1 и 2 закодированы как 00, 01 и 10, преобразование в любом направлении между двоично-троичным кодом и двоичным кодом может быть выполнено за логарифмическое время . [8] библиотека кода C, поддерживающая арифметику BCT. Доступна [9]
Попробуйте
[ редактировать ]Некоторые троичные компьютеры, такие как « Сетунь», определили трит как шесть тритов. [10] или примерно 9,5 бит (содержащий больше информации, чем фактический двоичный байт ). [11]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Эшли МакЛеннан (9 января 2019 г.). «Полное руководство по бейсбольной статистике для новичков: статистика подачи и ее значение» . Будьте здоровы, мальчики . Проверено 30 июля 2020 г.
- ^ «Статистика – Команда – Питчинг» . MLB (Высшая лига бейсбола) . Проверено 30 июля 2020 г.
- ^ Солтанифар, Мохсен (2006). «О последовательности канторовых фракталов». Журнал Роуз Халман по математике для студентов . 7 (1). Бумага 9.
- ^ Солтанифар, Мохсен (2006). «Другое описание семейства канторовых множеств среднего –α». Американский журнал студенческих исследований . 5 (2): 9–12.
- ^ Фатак, Д.С.; Корень, И. (1994). «Гибридные системы счисления со знаком и цифрами: унифицированная структура для избыточных представлений чисел с ограниченными цепочками распространения переноса» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . 43 (8): 880–891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . дои : 10.1109/12.295850 .
- ^ Фридер, Гидеон; Лук, Клемент (февраль 1975 г.). «Алгоритмы двоично-кодированных сбалансированных и обычных троичных операций». Транзакции IEEE на компьютерах . С-24 (2): 212–215. дои : 10.1109/TC.1975.224188 . S2CID 38704739 .
- ^ Пархами, Бехруз; Маккеун, Майкл (03 ноября 2013 г.). «Арифметика со сбалансированными троичными числами в двоичном кодировании». Конференция Asilomar 2013 по сигналам, системам и компьютерам . Пасифик Гроув, Калифорния, США. стр. 1130–1133. дои : 10.1109/ACSSC.2013.6810470 . ISBN 978-1-4799-2390-8 . S2CID 9603084 .
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) - ^ Джонс, Дуглас В. (июнь 2016 г.). «Двоично-троичная система и ее обратная» .
- ^ Джонс, Дуглас В. (29 декабря 2015 г.). «Тернарные типы данных для программистов на языке C» .
- ^ Импальяццо, Джон; Пройдаков, Эдуард (2006). Перспективы советской и российской вычислительной техники . Первая конференция ИФИП WG 9.7, SoRuCom, 2006. Петрозаводск, Россия: Springer . ISBN 978-3-64222816-2 .
- ^ Брюсенцов, Н.П.; Маслов, С.П.; Рамиль Альварес, судья; Жоголев Е.А. «Разработка троичных компьютеров в МГУ» . Проверено 20 января 2010 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Хейс, Брайан (ноябрь – декабрь 2001 г.). «Третья база» (PDF) . Американский учёный . 89 (6). Сигма Си , Общество научных исследований: 490–494. дои : 10.1511/2001.40.3268 . Архивировано (PDF) из оригинала 30 октября 2019 г. Проверено 12 апреля 2020 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Тернарная арифметика. Архивировано 14 мая 2011 г. в Wayback Machine.
- Троичная счетная машина Томаса Фаулера
- Преобразование троичной системы счисления - включает дробную часть из Maths Is Fun
- Замена троичной системы счисления Гидеона Фридера