Основная лемма теории решета.

В теории чисел фундаментальной леммой теории решета является любой из нескольких результатов, которые систематизируют процесс применения методов решета к конкретным задачам. Хальберштам и Ричерт писать:

Любопытной особенностью ситовой литературы является то, что, несмотря на частое использование Брюна, метода было лишь несколько попыток сформулировать общую теорему Брюна (например, теорему 2.1); в результате появилось удивительно много статей, в которых весьма подробно повторяются этапы аргументации Брюна.

Даймонд и Хальберштам приписывают терминологическую «Основную лемму» Ионасу Кубилюсу .

Общие обозначения

Мы используем такие обозначения:

• $A$ представляет собой набор $X$ положительные целые числа и $A_{d}$ является его подмножеством целых чисел, делящихся на $d$
• $w(d)$ и $R_{d}$ являются функциями $A$ и из $d$ которые оценивают количество элементов $A$ которые делятся на $d$, по формуле

$\left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.$

Таким образом $w(d)/d$ представляет приблизительную плотность членов, делящуюся на $d$, и $R_{d}$ представляет собой ошибку или остаточный член.

• $P$ представляет собой набор простых чисел, а $P(z)$ является произведением этих простых чисел $\leq z$
• $S(A,P,z)$ это количество элементов $A$ не делится ни на одно простое число $P$ то есть $\leq z$
• $\kappa$ – постоянная, называемая плотностью просеивания, это появляется в предположениях ниже. Это средневзвешенное число классов остатков, отсеянных каждым простым числом.

Основная лемма о комбинаторном решете

Эта формулировка принадлежит Тененбаум. Другие составы находятся в Halberstam & Richert , в Гривзе, и в Friedlander & Iwaniec . Делаем предположения:

• $w(d)$ является мультипликативной функцией .
• Плотность просеивания $\kappa$ удовлетворяет, для некоторой постоянной $C$ и любые действительные числа $\eta$ и $\xi$ с $2\leq \eta \leq \xi$:

$\prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).$

Есть параметр $u\geq 1$ это в нашем распоряжении. У нас равномерно в $A$, $X$, $z$, и $u$ что

$S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).$

В приложениях мы подбираем $u$ чтобы получить лучший член ошибки. В сите это связано с количеством уровней принципа включения-исключения .

Основная лемма о решете Сельберга.

Этот препарат от Halberstam & Richert . Другая формула есть в Diamond & Halberstam .

Делаем предположения:

• $w(d)$ является мультипликативной функцией .
• Плотность просеивания $\kappa$ удовлетворяет, для некоторой постоянной $C$ и любые действительные числа $\eta$ и $\xi$ с $2\leq \eta \leq \xi$:

$\qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.$

• ${\frac {w(p)}{p}}<1-c$ для небольшого фиксированного $c$ и все $p$.
• $|R(d)|\leq w(d)$ для всех квадратныхбесплатно $d$ чьи простые факторы находятся в $P$.

Основная лемма имеет почти тот же вид, что и для комбинаторного решета. Писать $u=\ln {X}/\ln {z}$. Вывод таков:

$S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.$

Обратите внимание, что $u$ больше не является независимым параметром в нашем распоряжении, а контролируется выбором $z$.

Заметим, что член ошибки здесь слабее, чем в основной лемме о комбинаторном решете. Хальберштам и Рихерт отмечают: «Таким образом, неверно утверждать, как это время от времени утверждается в литературе, что сито Сельберга всегда лучше, чем сито Брюна».