Образное число

Термин «фигурное число» используется разными авторами для обозначения членов разных наборов чисел, от треугольных чисел до различных форм (многоугольные числа) и разных размеров (многогранные числа). Термин может означать

многоугольное число
число, представленное как дискретный $r$ -мерный правильный геометрический узор из $r$ -мерных шаров, такой как многоугольное число (для $r = 2$ ) или многогранное число (для $r = 3$ ).
член подмножества вышеуказанных наборов, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа и их аналоги в других измерениях. ^[1]

Терминология [ править ]

Некоторые виды фигурных чисел обсуждались в XVI и XVII веках под названием «цифровое число». ^[2]

В исторических трудах по греческой математике предпочтительным термином было фигурное число . ^[3]^[4]

Возвращаясь к книге Якоба Бернулли « Ars Conjectandi» , ^[1] термин фигурное число используется для треугольных чисел, состоящих из последовательных целых чисел , тетраэдральных чисел , состоящих из последовательных треугольных чисел и т. д. Они оказываются биномиальными коэффициентами . При таком использовании квадратные числа (4, 9, 16, 25, ...) не будут считаться фигурными числами, если рассматривать их как расположенные в квадрате.

В ряде других источников термин фигурное число используется как синоним многоугольных чисел , либо просто обычного вида, либо и тех, и центрированных многоугольных чисел . ^[5]

История [ править ]

Говорят, что математическое изучение фигурных чисел началось с Пифагора , возможно, на основе вавилонских или египетских предшественников. Создание того класса фигурных чисел, который пифагорейцы изучали с помощью гномонов, также приписывают Пифагору. К сожалению, нет достоверного источника для этих утверждений, поскольку все сохранившиеся сочинения о пифагорейцах ^[6] произошли столетия спустя. ^[7] Спевсипп является самым ранним источником, раскрывающим точку зрения, согласно которой десять, как четвертое треугольное число, на самом деле было тетрактисом , который, как предполагалось, имел большое значение для пифагорейства . ^[8] Фигурные числа были предметом озабоченности пифагорейского мировоззрения. Было хорошо понятно, что некоторые числа могут иметь много образов, например, 36 — это и квадрат, и треугольник, а также различные прямоугольники.

Современное изучение фигурных чисел восходит к Пьеру де Ферма , в частности, к теореме Ферма о многоугольных числах . Позже это стало важной темой для Эйлера , который дал явную формулу для всех треугольных чисел, которые также являются идеальными квадратами , среди многих других открытий, касающихся фигурных чисел.

Фигурные числа сыграли значительную роль в современной развлекательной математике. ^[9] В исследовательской математике числа фигур изучаются с помощью полиномов Эрхарта , полиномов , которые подсчитывают количество целых точек в многоугольнике или многограннике, когда он расширяется на заданный коэффициент. ^[10]

Треугольные числа и их аналоги в высших измерениях [ править ]

Треугольные числа для $n = 1, 2, 3, ...$ являются результатом сопоставления линейных чисел (линейных гномонов) для $n = 1, 2, 3, ...$ :

Это биномиальные коэффициенты $\textstyle {\binom {n+1}{2}}$ . Это случай $r = 2$ того, что $r$ -я диагональ треугольника Паскаля при $r \geq 0$ состоит из фигурных чисел для $r$ -мерных аналогов треугольников ( $r$ -мерных симплексов ).

Симплициальные многогранные числа для $r = 1, 2, 3, 4,...$ :

$P_{1}(n)={\frac {n}{1}}={\binom {n+0}{1}}={\binom {n}{1}}$ (линейные числа),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ ( треугольные числа ),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}$ ( тетраэдрические числа ),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}$ (пентахорические числа, пентатопические числа , 4-симплексные числа),

$\qquad \vdots$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}$ ( $r$ – номера тем, $r$ – симплексные номера).

Термины «квадратное число» и «кубическое число» происходят от их геометрического представления в виде квадрата или куба . Разность двух положительных треугольных чисел является трапециевидным числом .

Гномон [ править ]

Гномон — это деталь , добавляемая к фигурному числу для преобразования его в следующее большее число.

Например, гномоном квадратного числа является нечетное число , общего вида $2 n + 1$ , $n = 0, 1, 2, 3,...$ . Квадрат размера 8, составленный из гномонов, выглядит так:

{\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\2&2&3&4&5&6&7&8\\3&3&3&4&5&6&7&8\\4&4&4&4&5&6&7&8\\5&5&5&5&5&6&7&8\\6&6&6&6&6&6&7&8\\7&7&7&7&7&7&7&8\\8&8&8&8&8&8&8&8\end{matrix}}

Для преобразования $n$ -квадрата (квадрата размера $n$ ) в $(n + 1)$ -квадрат необходимо присоединить $2 n + 1$ элементов: по одному к концу каждой строки ( $n$ элементов), по одному к концу каждой столбец ( $n$ элементов) и один в углу. Например, при преобразовании квадрата 7 в квадрат 8 мы добавляем 15 элементов; эти присоединения обозначены восьмерками на рисунке выше.

Этот гномонический метод также обеспечивает математическое доказательство того, что сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n. 2$ ; на рисунке показано 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8. ².

Существует аналогичный «гномон», в котором центрированные шестиугольные числа складываются в кубы каждого целого числа.

Примечания [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел . Том. 2. п. 3. ISBN 978-0-8284-0086-2 . Проверено 15 августа 2021 г.
^ Симпсон, Дж.А.; Вайнер, ESC, ред. (1992). «Фигурное число». Компактный Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 587.
^ Хит, сэр Томас (1921). История греческой математики . Том. 1. Оксфорд в Clarendon Press.
^ Мазиарц, Эдвард А.; Гринвуд, Томас (1968). Греческая математическая философия . Книги Барнса и Нобл. ISBN 978-1-56619-954-4 .
^ «Фигурные числа» . Матигон . Проверено 15 августа 2021 г.
^ Тейлор, Томас (2006). Теоретическая арифметика пифагорейцев . Прометей Траст. ISBN 978-1-898910-29-9 .
^ Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (второе изд.). п. 48.
^ Жмудь, Леонид (2019): От числового символизма к арифмологии . В: Л. Шиммельпфенниг (ред.): Системы чисел и букв на службе религиозного образования . Тюбинген: Серафим, 2019. стр.25-45.
^ Крайчик, Морис (2006). Математические развлечения (2-е исправленное изд.). Дуврские книги . ISBN 978-0-486-45358-3 .
^ Бек, М.; Де Лоэра, JA ; Девелин, М.; Пфайфл, Дж.; Стэнли, РП (2005). «Коэффициенты и корни полиномов Эрхарта». Целочисленные точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация . Созерцание Математика. Том. 374. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 15–36. МР 2134759 .

Ссылки [ править ]

Газале, Мидхат Дж. (1999), «Гномон: от фараонов к фракталам», European Journal of Physics , 20 (6), Princeton University Press : 523, Bibcode : 1999EJPh...20..523G , doi : 10.1088/0143 -0807/20/6/501 , ISBN 978-0-691-00514-0
Деза, Елена ; Деза, Мишель Мари (2012), Фигурные числа, первое издание , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 1. От Фалеса до Евклида , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-97448-8
Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 2. От Аристарха до Диофанта , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-96877-7
Диксон, Леонард Юджин (1923), История теории чисел , Chelsea Publishing Co , ASIN B000OKO3TK
Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К., История математики (2-е изд.)

[Dickson-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел . Том. 2. п. 3. ISBN 978-0-8284-0086-2 . Проверено 15 августа 2021 г.

[2] Симпсон, Дж.А.; Вайнер, ESC, ред. (1992). «Фигурное число». Компактный Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 587.

[3] Хит, сэр Томас (1921). История греческой математики . Том. 1. Оксфорд в Clarendon Press.

[4] Мазиарц, Эдвард А.; Гринвуд, Томас (1968). Греческая математическая философия . Книги Барнса и Нобл. ISBN 978-1-56619-954-4 .

[5] «Фигурные числа» . Матигон . Проверено 15 августа 2021 г.

[6] Тейлор, Томас (2006). Теоретическая арифметика пифагорейцев . Прометей Траст. ISBN 978-1-898910-29-9 .

[7] Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (второе изд.). п. 48.

[8] Жмудь, Леонид (2019): От числового символизма к арифмологии . В: Л. Шиммельпфенниг (ред.): Системы чисел и букв на службе религиозного образования . Тюбинген: Серафим, 2019. стр.25-45.

[9] Крайчик, Морис (2006). Математические развлечения (2-е исправленное изд.). Дуврские книги . ISBN 978-0-486-45358-3 .

[10] Бек, М.; Де Лоэра, JA ; Девелин, М.; Пфайфл, Дж.; Стэнли, РП (2005). «Коэффициенты и корни полиномов Эрхарта». Целочисленные точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация . Созерцание Математика. Том. 374. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 15–36. МР 2134759 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]