Пентатопное число

Вывод пентатопных чисел из выровненного слева треугольника Паскаля .

  Натуральные числа

  Треугольные числа

  Тетраэдрические числа

  Пентатопные числа

  5-симплексные числа

  6-симплексные числа

  7-симплексные числа

В теории чисел пентатопное число — это число в пятой ячейке любой строки треугольника Паскаля, начиная со строки из 5 членов 1 4 6 4 1 , либо слева направо, либо справа налево. Он назван так потому, что представляет собой количество трехмерных единичных сфер , которые могут быть упакованы в пентатоп (четырехмерный тетраэдр ) с увеличивающейся длиной сторон.

Первые несколько чисел такого типа:

1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210 , 330 , 495 , 715 , 1001 , 1365 (последовательность A000332 в OEIS )

Пентатоп сфер со стороной 5 содержит 70 3- . Каждый слой представляет собой одно из первых пяти тетраэдрических чисел . Например, нижний (зеленый) слой содержит 35 сфер . всего

Пентатопные числа относятся к классу фигурных чисел , которые можно представить в виде правильных дискретных геометрических узоров.

Формула

Формула n- го пентатопного числа представлена ​​четвертым возрастающим факториалом n, разделенным на факториал 4:

$P_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}.$

Числа пентатопов также можно представить в виде биномиальных коэффициентов :

$P_{n}={\binom {n+3}{4}},$

это количество различных четверок , которые можно выбрать из n + 3 объектов, и оно читается вслух как « n плюс три выбирают четыре».

Характеристики

Два из каждых трёх пентатопных чисел также являются пятиугольными числами . Точнее, (3 k − 2) -е число пентатопа всегда является $\left({\tfrac {3k^{2}-k}{2}}\right)$пентагональное число и (3 k − 1) -е пентатопное число всегда $\left({\tfrac {3k^{2}+k}{2}}\right)$пятиугольное число. обобщенное (3k ) -е пентатопное число — это пятиугольное число, полученное взятием отрицательного индекса $-{\tfrac {3k^{2}+k}{2}}$ в формуле пятиугольных чисел. (Эти выражения всегда дают целые числа ).

Бесконечная сумма обратных величин всех пентатопных чисел равна ⁠ 4 / 3 ⁠ . Это можно получить с помощью телескопического ряда .

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4!}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {4}{3}}.$

Пентатопные числа можно представить как сумму первых n тетраэдрических чисел :

$P_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Te} _{k},$

а также связаны с самими тетраэдрическими числами:

$P_{n}={\tfrac {1}{4}}(n+3)\mathrm {Te} _{n}.$

Никакое простое число не является предшественником пентатопного числа (нужно проверить только -1 и 4 = 2). ² ), а самое большое полупростое число , являющееся предшественником пентатопного числа, — 1819.

Точно так же единственные простые числа, предшествующие 6-симплексному числу, — это 83 и 461.

Тест на пентатопные числа

Мы можем вывести этот тест из формулы для n- го пентатопного числа.

Учитывая положительное целое число x , чтобы проверить, является ли оно пентатопным числом, мы можем вычислить положительный корень, используя метод Феррари :

$n={\frac {{\sqrt {5+4{\sqrt {24x+1}}}}-3}{2}}.$

Число x является пятитопом тогда и только тогда, когда n — натуральное число . В этом случае x — это n -е пентатопное число.

Генерирующая функция

для Производящая функция чисел пентатопов:

${\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .$

Приложения

В биохимии числа пентатопов представляют собой количество возможных расположений n различных полипептидных субъединиц в тетрамерном (тетраэдрическом) белке.