Метод круга Харди – Рамануджана – Литтлвуда.

В математике метод круга Харди -Рамануджана-Литтлвуда является методом аналитической теории чисел . Она названа в честь Г.Х. Харди , С. Рамануджана и Дж. Э. Литтлвуда , развивших ее в серии статей по проблеме Уоринга .

История

Первоначальную идею обычно приписывают работе Харди со Шринивасой Рамануджаном несколькими годами ранее, в 1916 и 1917 годах, об асимптотике статистической суммы . Ее подхватили многие другие исследователи, в том числе Гарольд Дэвенпорт и И. М. Виноградов , которые несколько модифицировали формулировку (перейдя от комплексного анализа к экспоненциальным суммам ), не меняя при этом общих линий. За этим последовали сотни статей, и по состоянию на 2022 г. метод все еще дает результаты. Этот метод является предметом монографии Vaughan (1997) Р. К. Вогана .

Схема

Цель — доказать асимптотическое поведение ряда: показать, что a _n ~ F ( n ) для некоторой функции. Это делается путем взятия производящей функции ряда и последующего вычисления остатков около нуля (по сути, коэффициентов Фурье ). Технически производящая функция масштабируется так, чтобы иметь радиус сходимости 1, поэтому она имеет особенности на единичной окружности - поэтому невозможно взять контурный интеграл по единичной окружности.

Метод круга заключается, в частности, в том, как вычислить эти остатки, разделив круг на второстепенные дуги (большая часть круга) и большие дуги (маленькие дуги, содержащие наиболее значимые особенности), а затем ограничивая поведение на второстепенных дугах. Ключевое понимание состоит в том, что во многих представляющих интерес случаях (таких как тэта-функции ) особенности возникают в корнях единицы , а значимость особенностей находится в порядке последовательности Фарея . Таким образом, можно исследовать наиболее существенные особенности и, если повезет, вычислить интегралы.

Настройка

Рассматриваемая окружность изначально была единичной окружностью на комплексной плоскости. что для последовательности комплексных чисел an _n для Предполагая, что проблема была сначала сформулирована в терминах , = 0, 1, 2, 3, ... нам нужна некоторая асимптотическая информация типа a _n ~ F ( n ) , где у нас есть какое-то эвристическое основание угадать форму, которую принимает F ( анзац ), мы пишем

$f(z)=\sum a_{n}z^{n}$

степенного ряда производящая функция . Интересны случаи, когда f имеет радиус сходимости, равный 1, и мы предполагаем, что поставленная задача была изменена, чтобы представить эту ситуацию.

Остатки

следует, Из этой формулировки непосредственно из теоремы о вычетах что

$I_{n}=\oint _{C}f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}$

для целых чисел n ≥ 0 , где C — круг радиуса r с центром в 0, для любого r с 0 < r <1 ; другими словами, $I_{n}$ представляет собой контурный интеграл , проинтегрированный по описанному кругу, пройденному один раз против часовой стрелки. Мы хотели бы взять r = 1 напрямую, то есть использовать контур единичной окружности. В формулировке комплексного анализа это проблематично, поскольку значения f там не могут быть определены.

Особенности на единичной окружности

Проблема, решаемая методом круга, состоит в том, чтобы заставить принять r = 1 за счет хорошего понимания природы особенностей f, которые проявляются на единичном круге. Фундаментальное понимание заключается в роли, которую играет последовательность рациональных чисел Фэрея или, что то же самое, корни из единицы :

$\zeta \ =\exp \left({\frac {2\pi ir}{s}}\right).$

Здесь знаменатель s , полагая, что r / s в самых низких терминах , оказывается, определяет относительную важность сингулярного поведения типичного f вблизи ζ .

Метод

Таким образом можно выразить метод круга Харди-Литтлвуда для комплексно-аналитической формулировки. Вклады в оценку In _{следует} при r → 1 рассматривать двумя способами, традиционно называемыми главными дугами и второстепенными дугами . Мы разделим корни из единицы ζ на два класса в зависимости от того, s ⩽ N или s > N , где N — функция от n , которую нам удобно выбирать. Интеграл I _n разбивается на интегралы каждый по некоторой дуге окружности, прилегающей к ζ , длина которой зависит от s (опять же на наше усмотрение). Дуги составляют целый круг; сумма интегралов по большим дугам должна составить 2 πiF ( n ) (реально, это произойдет до управляемого остаточного члена). Сумма интегралов по малым дугам заменяется верхней оценкой , меньшей по порядку, чем F ( n ) .

Обсуждение

Если говорить так смело, то совсем не ясно, можно ли заставить это работать. Понимание, связанное с этим, довольно глубоко. Одним из очевидных источников является теория тэта-функций .

Проблема Уоринга

В контексте проблемы Уоринга степени тета-функций являются производящими функциями для функции суммы квадратов . Их аналитическое поведение известно гораздо точнее, чем, например, для кубов.

Типичное сингулярное поведение тета-функции .

Как показывает диаграмма в искусственных цветах, это тот случай, когда для тета-функции «самая важная» точка на граничном круге находится в точке z = 1 ; за которым следует z = −1 , а затем два комплексных кубических корня из единицы в отметки 7 часов и 11 часов. имеют корни четвертой степени из единицы i и − i После этого наибольшее значение . Хотя ничто в этом не гарантирует, что аналитический метод будет работать, оно объясняет обоснование использования критерия типа ряда Фарея для корней из единицы.

В случае проблемы Уоринга необходимо взять достаточно большую степень производящей функции, чтобы создать ситуацию, в которой сингулярности, организованные в так называемые сингулярные серии , преобладают. Чем менее расточительны оценки, использованные для остальных, тем точнее результаты. Как Брайан Бёрч выразился , этот метод по своей сути расточителен. Это не относится к случаю статистической суммы, которая сигнализировала о возможности того, что в благоприятной ситуации потери от оценок можно будет контролировать.

Vinogradov trigonometric sums

Позднее И. М. Виноградов расширил методику, заменив формулировку экспоненциальной суммы f ( z ) конечным рядом Фурье , так что соответствующий интеграл I _n является коэффициентом Фурье . Виноградов применил конечные суммы к проблеме Уоринга в 1926 году, и общий метод тригонометрических сумм стал известен как «метод круга Харди, Литтлвуда и Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова». По сути, все это означает отбрасывание всего «хвоста» производящей функции, что позволяет значение r установить в ограничивающей операции непосредственно на значение 1.

Приложения

Уточнения метода позволили доказать результаты о решениях однородных диофантовых уравнений , если число переменных k велико по сравнению со степенью d (см теорему Берча ., например, ). Это оказывается вкладом в принцип Хассе , способный давать количественную информацию. Если d фиксировано, а k мало, требуются другие методы, и действительно, принцип Хассе имеет тенденцию не работать.

Контур Радемахера

Круги Форда : круг опирается на каждую дробь в низших терминах. Темные кружки относятся к дробям 0, 1, 1 / 2 , 1 / 3 , 2 / 3 , 1 / 4 , 3 / 4 , 1 / 5 , 2 / 5 , 3/5 ​ ​ и 4 / 5 . Каждая окружность касается базовой линии и соседних окружностей (см. также касательные к окружностям ). Дроби с одинаковым знаменателем имеют кружки одинакового размера.

В частном случае, когда метод окружности применяется для нахождения коэффициентов модулярной формы отрицательного веса, Ганс Радемахер нашел модификацию контура, которая заставляет ряды, возникающие из метода окружности, сходиться к точному результату. Для описания его контура удобно заменить единичную окружность верхней полуплоскостью, сделав замену z = exp(2π iτ ) , так что контурный интеграл становится интегралом от τ = i до τ = 1 + i . (Число i можно заменить любым числом в верхней полуплоскости , но i — наиболее удобный выбор.) Контур Радемахера (более или менее) задается границами всех кругов Форда от 0 до 1, как показано на диаграмме. Замена прямой от i на 1+ i границами этих окружностей — нетривиальный предельный процесс, который можно обосновать для модулярных форм, имеющих отрицательный вес, а с большей осторожностью можно обосновать и для непостоянных членов. для случая веса 0 (другими словами, модульные функции ).

Ссылки

• Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97127-8
• Марджанишвили, К.К. (1985), «Иван Матвеевич Виноградов: краткий очерк его жизни и творчества», И.М. Виноградов, Избранные произведения , Берлин {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Радемахер, Ганс (1943), «О разложении статистической суммы в ряд», Анналы математики , вторая серия, 44 (3), Анналы математики, Vol. 44, № 3: 416–422, номер документа : 10.2307/1968973 , JSTOR   1968973 , MR   0008618.
• Воган, Р.К. (1997), Метод Харди – Литтлвуда , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 125 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-57347-4

Дальнейшее чтение

• Ван, Юань (1991). Диофантовы уравнения и неравенства в полях алгебраических чисел . Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-58171-7 . ISBN  9783642634895 . ОСЛК   851809136 .

Внешние ссылки

• Теренс Тао , Эвристические ограничения метода круга , сообщение в блоге, 2012 г.