Проблема Уоринга

В теории чисел проблема Уоринга спрашивает, имеет ли каждое натуральное число k соответствующее положительное целое число s, такое, что каждое натуральное число является суммой не более s натуральных чисел, возведенных в степень k . Например, каждое натуральное число представляет собой сумму не более 4 квадратов, 9 кубов или 19 четвертых степеней. Задача Уоринга была предложена в 1770 году Эдвардом Уорингом , в честь которого она и названа. Его утвердительный ответ, известный как теорема Гильберта-Уоринга , был дан Гильбертом в 1909 году. ^[1] У задачи Уоринга есть собственная предметная классификация математики , 11P05, «Задача Уоринга и ее варианты».

Лагранжа о четырех квадратах Связь с теоремой

Задолго до того, как Уоринг сформулировал свою проблему, Диофант задался вопросом, можно ли представить каждое положительное целое число в виде суммы четырех полных квадратов, больших или равных нулю. Этот вопрос позже стал известен как гипотеза Баше, после перевода Диофанта в 1621 году Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком , и он был решен Жозефом-Луи Лагранжем в его теореме о четырех квадратах в 1770 году, в том же году, когда Уоринг выдвинул свою гипотезу. Уоринг стремился обобщить эту проблему, пытаясь представить все положительные целые числа в виде суммы кубов, целых чисел в четвертой степени и т. д., чтобы показать, что любое положительное целое число может быть представлено как сумма других целых чисел, возведенных в определенную степень. и что всегда существовало максимальное количество целых чисел, возведенных в определенную степень, необходимое для представления всех положительных целых чисел таким образом.

Число g ( k ) [ править ]

Для каждого $k$ , позволять $g(k)$ обозначаем минимальное число $s$ из $k$ степени натуральных чисел, необходимые для представления всех положительных целых чисел. Каждое положительное целое число само по себе является суммой одной первой степени, поэтому $g(1)=1$ . Некоторые простые вычисления показывают, что для числа 7 требуется 4 квадрата, для числа 23 требуется 9 кубиков, ^[2] и 79 требует 19 четвертых полномочий; эти примеры показывают, что $g(2)\geq 4$ , $g(3)\geq 9$ , и $g(4)\geq 19$ . Уоринг предположил, что эти нижние границы на самом деле являются точными значениями.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах 1770 года гласит, что каждое натуральное число представляет собой сумму не более четырех квадратов. Поскольку трех квадратов недостаточно, эта теорема устанавливает $g(2)=4$ . Теорема Лагранжа о четырех квадратах была высказана в издании Баше года 1621 Диофанта «Арифметики» ; Ферма утверждал, что у него есть доказательство, но не опубликовал его. ^[3]

С годами были установлены различные границы с использованием все более изощренных и сложных методов доказательства. Например, Лиувилль показал, что $g(4)$ не превосходит 53. Харди и Литтлвуд показали, что все достаточно большие числа представляют собой сумму не более 19 четвертых степеней.

Что $g(3)=9$ была основана с 1909 по 1912 год Виферихом. ^[4] и Эй Джей Кемпнер , ^[5] $g(4)=19$ в 1986 году Р. Баласубраманян , Ф. Дресс и Ж.-М. Дешуйе , ^[6]^[7] $g(5)=37$ в 1964 году Чэнь Цзинжунь и $g(6)=73$ в 1940 году Пиллаи . ^[8]

Позволять $\lfloor x\rfloor$ и $\{x\}$ обозначают соответственно целую и дробную часть положительного действительного числа $x$ . Учитывая число $c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}$ , только $2^{k}$ и $1^{k}$ может использоваться для представления $c$ ; самое экономичное представление требует $\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1$ условия $2^{k}$ и $2^{k}-1$ условия $1^{k}$ . Отсюда следует, что $g(k)$ по крайней мере так же велик, как $2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ . Это заметил Я. А. Эйлер , сын Леонарда Эйлера , примерно в 1772 году. ^[9] Более поздние работы Диксона , Пиллая , Рубугундея , Нивена. ^[10] и многие другие доказали это

g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.\end{cases}}

Нет значения $k$ известно, за что $2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}$ . Малер ^[11] доказал, что таких может быть только конечное число. $k$ , и Кубина и Вундерлих ^[12] показали, что любой такой $k$ должен удовлетворить $k>471\,600\,000$ . Таким образом, предполагается, что этого никогда не происходит, т.е. $g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2$ для каждого положительного целого числа $k$ .

Первые несколько значений $g(k)$ являются:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (последовательность A002 804 в OEIS ) .

Число G ( k ) [ править ]

Из работы Харди и Литтлвуда , ^[13] соответствующая величина G ( k ) изучалась с помощью g ( k ). G ( k ) определяется как наименьшее положительное целое число s такое, что каждое достаточно большое целое число (т. е. каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено как сумма не более s положительных целых чисел в степени k . Очевидно, G (1) = 1. Поскольку квадраты конгруэнтны 0, 1 или 4 (по модулю 8), ни одно целое число, соответствующее 7 (по модулю 8), не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, а это означает, что G (2) ≥ 4 . Поскольку G ( k ) ≤ g ( k ) для всех k , это показывает, что G (2) = 4 . Давенпорт показал ^[14] что G (4) = 16 в 1939 году, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, соответствующее от 1 до 14 по модулю 16, можно записать как сумму 14 четвертых степеней (Воган в 1986 году). ^[15] и 1989 год ^[16] сократил 14 биквадратов последовательно до 13 и 12). Точное значение G ( k ) неизвестно для любого другого k , но существуют границы.

Нижние оценки для G ( k ) [ править ]

Границы
1 = Г(1) = 1
4 = Г(2) = 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 = Г(4) = 16
6 ≤ Г(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ Г(8) ≤ 42
13 ≤ Г(9) ≤ 50
12 ≤ Г(10) ≤ 59
12 ≤ Г(11) ≤ 67
16 ≤ Г(12) ≤ 76
14 ≤ Г(13) ≤ 84
15 ≤ Г(14) ≤ 92
16 ≤ Г(15) ≤ 100
64 ≤ Г(16) ≤ 109
18 ≤ Г(17) ≤ 117
27 ≤ Г(18) ≤ 125
20 ≤ Г(19) ≤ 134
25 ≤ Г(20) ≤ 142

Число G ( k ) больше или равно

2 ^{р +2}	если к = 2 ^р при r ≥ 2 или k = 3 × 2 ^р;
п ^{р +1}	если p — простое число больше 2 и k = p ^р( п - 1);
( п ^{р +1} − 1)/2	если p — простое число больше 2 и k = p ^р(р - 1)/2;
к + 1	для всех целых чисел k больше 1.

В отсутствие ограничений на конгруэнтность аргумент плотности предполагает, что G ( k ) должно равняться k + 1 .

Верхние оценки для G ( k ) [ править ]

G (3) не меньше 4 (поскольку кубы конгруэнтны 0, 1 или −1 по модулю 9); для чисел меньше 1,3 × 10 ⁹, 1 290 740 — последнее, для которого требуется 6 кубиков, а количество чисел между N и 2 N, требующих 5 кубиков, падает с увеличением N с достаточной скоростью, чтобы люди поверили, что G (3) = 4 ; ^[17] самое большое известное сейчас число, не являющееся суммой 4 кубов, равно 7 373 170 279 850 , ^[18] и там авторы приводят разумные аргументы в пользу того, что это может быть максимально возможное значение. Верхняя оценка G (3) ≤ 7 принадлежит Линнику в 1943 году. ^[19] (Для всех неотрицательных целых чисел требуется не более 9 кубов, а самые большие целые числа, требующие 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, предположительно равны 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850 соответственно.)

13 792 — это наибольшее число, требующее 17 четвертых степеней (Дешуйе, Хеннекар и Ландро показали в 2000 г. ^[20] что каждое число между 13 793 и 10 ²⁴⁵ требуется не более 16, а Кавада, Вули и Дешуйе продлили ^[21] Результат Давенпорта 1939 года показывает, что каждое число больше 10 ²²⁰ требуется не более 16). Числа вида 31·16 ^н всегда требуют 16 четвертых степеней.

68 578 904 422 — последнее известное число, для которого требуется 9 пятых степеней (целочисленная последовательность S001057, Тони Д. Ноу, 4 июля 2017 г.), 617 597 724 — последнее число меньше 1,3 × 10. ⁹ для этого требуется 10 пятых степеней, а 51 033 617 — это последнее число меньше 1,3 × 10. ⁹ для этого нужно 11.

Верхние оценки справа при k = 5, 6, ..., 20 принадлежат Воану и Вули . ^[22]

Используя свой усовершенствованный метод Харди-Литтлвуда , И. М. Виноградов опубликовал многочисленные уточнения, приведшие к

G(k)\leq k(3\log k+11)

в 1947 году ^[23] и, в конечном счете,

G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)

для неуказанной постоянной C и достаточно большого k в 1959 году. ^[24]

Применяя свою p -адическую форму метода Харди–Литлвуда–Рамануджана–Виноградова для оценки тригонометрических сумм, в которых суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Анатолий Алексеевич Карацуба получил ^[25] (1985) новая оценка Харди функции $G(k)$ (для $k\geq 400$ ):

G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k.

Дальнейшие уточнения были получены Воаном в 1989 году. ^[16]

что для некоторой константы C Затем Вули установил , ^[26]

G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck.

Обзорная статья Воана и Вули 2002 года была на тот момент всеобъемлющей. ^[22]

См. также [ править ]

Теорема Ферма о многоугольных числах , согласно которой каждое положительное целое число является суммой не более n n . -угольных чисел
Проблема Уоринга – Гольдбаха , проблема представления чисел в виде суммы степеней простых чисел.
Проблема суммы подмножества — алгоритмическая задача, которую можно использовать для нахождения кратчайшего представления данного числа в виде суммы степеней.
Гипотезы Поллока
Суммы трех кубов , обсуждает, какие числа являются суммой трех не обязательно положительных кубов.
Задача о суммах четырех кубов : обсуждается, является ли каждое рациональное целое число суммой четырех кубов рациональных целых чисел.

Примечания [ править ]

^ Гильберт, Дэвид (1909). «Доказательство представимости целых чисел фиксированным числом n-ных степеней (проблема Уоринга)» . Математические анналы (на немецком языке). 67 (3): 281–300. дои : 10.1007/bf01450405 . МР1511530 . S2CID 179177986 .
^ Помните, что мы ограничиваемся натуральными числами. При использовании обычных целых чисел нетрудно записать 23 как сумму 4 кубов, например $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ или $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ .
^ Диксон, Леонард Юджин (1920). «Глава VIII». История теории чисел . Том. II: Диофантовый анализ. Институт Карнеги в Вашингтоне .
^ Виферих, Артур (1909). «Доказательство теоремы о том, что каждое целое число можно представить в виде суммы не более девяти положительных кубов» . Математические анналы (на немецком языке). 66 (1): 95–101. дои : 10.1007/BF01450913 . S2CID 121386035 .
^ Кемпнер, Обри (1912). «Замечания о проблеме Уоринга» . Математические анналы (на немецком языке). 72 (3): 387–399. дои : 10.1007/BF01456723 . S2CID 120101223 .
^ Баласубраманиан, Рамачандран; Дешуйе, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). «Проблема Варинга для биквадратов. I. Диаграмма решения» [Проблема Варинга для биквадратов. I. Эскиз решения]. Доклады Академии наук, серия I (на французском языке). 303 (4): 85–88. МР 0853592 .
^ Баласубраманиан, Рамачандран; Дешуйе, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). «Проблема Варинга для биквадратов. II. Вспомогательные результаты для асимптотической теоремы» [Проблема Варинга для биквадратов. II. Вспомогательные результаты для асимптотической теоремы. Доклады Академии наук, серия I (на французском языке). 303 (5): 161–163. МР 0854724 .
^ Пиллаи, СС (1940). «О проблеме Уоринга g (6) = 73». Учеб. Индийский акад. Наука . 12 :30–40. дои : 10.1007/BF03170721 . МР 0002993 . S2CID 185097940 .
^ Л. Эйлер , «Opera posthuma» (1), 203–204 (1862).
^ Нивен, Иван М. (1944). «Нерешенный случай проблемы Уоринга». Американский журнал математики . 66 (1). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 137–143. дои : 10.2307/2371901 . JSTOR 2371901 . МР 0009386 .
^ Малер, Курт (1957). «О дробных частях степеней рационального числа II». Математика . 4 (2): 122–124. дои : 10.1112/s0025579300001170 . МР 0093509 .
^ Кубина, Джеффри М.; Вундерлих, Марвин К. (1990). «Расширение гипотезы Уоринга до 471 600 000». Математика. Комп. 55 (192): 815–820. Бибкод : 1990MaCom..55..815K . дои : 10.2307/2008448 . JSTOR 2008448 . МР 1035936 .
^ Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э. (1922). «Некоторые проблемы Partitio Numerorum : IV. Сингулярный ряд в проблеме Уоринга и значение числа G (k)». Mathematische Zeitschrift . 12 (1): 161–188. дои : 10.1007/BF01482074 . ISSN 0025-5874 .
^ Давенпорт, Х. (1939). «О проблеме Уоринга для четвертых держав». Анналы математики . 40 (4): 731–747. Бибкод : 1939АнМат..40..731Д . дои : 10.2307/1968889 . JSTOR 1968889 .
^ Воан, RC (1986). «О проблеме Уоринга для меньших показателей». Труды Лондонского математического общества . с3-52(3): 445–463. дои : 10.1112/plms/s3-52.3.445 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Воган, RC (1989). «Новый итерационный метод в задаче Уоринга». Акта Математика . 162 (0): 1–71. дои : 10.1007/BF02392834 . ISSN 0001-5962 .
^ Натансон (1996 , стр. 71).
^ Дешуйе, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар; И. Густи Путу Пурнаба, Приложение (2000). «7373170279850» . Математика вычислений . 69 (229): 421–439. дои : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .
^ У. В. Линник. «О представлении больших чисел в виде суммы семи кубов». Мат. Сб. Н.С. 12(54), 218–224 (1943).
^ Дешуйе, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар (2000). «Проблема Уоринга для шестнадцати биквадратов – численные результаты» . Бордоский журнал теории чисел . 12 (2): 411–422. дои : 10.5802/jtnb.287 .
^ Дешуйе, Жан-Марк; Кавада, Коичи; Вули, Тревор Д. (2005). «О суммах шестнадцати биквадратов». Мемуары Французского математического общества . 1 :1–120. дои : 10.24033/msmf.413 . ISSN 0249-633X .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Воган, RC; Вули, Тревор (2002). «Проблема Уоринга: обзор». В Беннете, Майкл А.; Берндт, Брюс К.; Бостон, Найджел; Даймонд, Гарольд Г.; Хильдебранд, Адольф Дж.; Филипп, Уолтер (ред.). Теория чисел для тысячелетия . Том. III. Натик, Массачусетс: АК Питерс. стр. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9 . МР 1956283 .
^ Виноградов, Иван Матвеевич (1 сентября 2004 г.) [1947]. Метод тригонометрических сумм в теории чисел . Перевод Рота, К.Ф.; Давенпорт, Энн. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43878-8 .
^ И. М. Виноградов, "О верхней оценке $G(n)$", Изв. АН СССР сер. мат., 23:5 (1959), 637–642" . Math-Net.Ru (на русском языке) . Проверено 18 апреля 2024 г.
^ Карацуба, А.А. (1985). «О функции G ( n ) в задаче Варинга». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Математика . 27 (49:5): 935–947. Бибкод : 1986ИзМат..27..239К . дои : 10.1070/IM1986v027n02ABEH001176 .
^ Воан, RC (1997). Метод Харди-Литтлвуда . Кембриджские трактаты по математике. Том. 125 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-57347-5 . Збл 0868.11046 .

Ссылки [ править ]

Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков, А. А. Карацуба , "Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе". Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, (2004).
Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков, "Теория кратных тригонометрических сумм". Москва: Наука, (1987).
Ю. Линник В. , "Элементарное решение задачи Варинга методом Шнирельмана". Мат. Сб., Н. Сер. 12 (54), 225–230 (1943).
Р. К. Воган , «Новый итерационный метод в задаче Уоринга». Acta Mathematica (162), 1–71 (1989).
И. М. Виноградов , "Метод тригонометрических сумм в теории чисел". Трав. Инст. Математика. Стеклофф (23), 109 стр. (1947).
I. M. Vinogradov, "On an upper bound for G ( n )". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (23), 637–642 (1959).
И. М. Виноградов, А. А. Карацуба, "Метод тригонометрических сумм в теории чисел", Тр. Стеклова. Математика. , 168, 3–30 (1986); перевод из Труды Мат. Инст. Стеклова, 168, 4–30 (1984).
Эллисон, WJ (1971). «Проблема Уоринга» . Американский математический ежемесячник . 78 (1): 10–36. дои : 10.2307/2317482 . JSTOR 2317482 . Обзор содержит точную формулу для G ( k ), упрощенную версию доказательства Гильберта и множество ссылок.
Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-40026-6 . Имеет элементарное доказательство существования G ( k ) с использованием плотности Шнирельмана .
Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 164. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-94656-Х . Збл 0859.11002 . Имеет доказательства теоремы Лагранжа, теоремы о многоугольных числах , доказательства Гильберта гипотезы Уоринга и доказательства Харди-Литтлвуда асимптотической формулы для числа способов представить N как сумму s k -х степеней.
Ганс Радемахер и Отто Теплиц , «Удовольствие от математики» (1933) ( ISBN 0-691-02351-4 ). Имеет доказательство теоремы Лагранжа, доступное для школьников.

Внешние ссылки [ править ]

«Проблема Варинга» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Гильберт, Дэвид (1909). «Доказательство представимости целых чисел фиксированным числом n-ных степеней (проблема Уоринга)» . Математические анналы (на немецком языке). 67 (3): 281–300. дои : 10.1007/bf01450405 . МР1511530 . S2CID 179177986 .

[2] Помните, что мы ограничиваемся натуральными числами. При использовании обычных целых чисел нетрудно записать 23 как сумму 4 кубов, например $2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}$ или $29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}$ .

[3] Диксон, Леонард Юджин (1920). «Глава VIII». История теории чисел . Том. II: Диофантовый анализ. Институт Карнеги в Вашингтоне .

[4] Виферих, Артур (1909). «Доказательство теоремы о том, что каждое целое число можно представить в виде суммы не более девяти положительных кубов» . Математические анналы (на немецком языке). 66 (1): 95–101. дои : 10.1007/BF01450913 . S2CID 121386035 .

[5] Кемпнер, Обри (1912). «Замечания о проблеме Уоринга» . Математические анналы (на немецком языке). 72 (3): 387–399. дои : 10.1007/BF01456723 . S2CID 120101223 .

[6] Баласубраманиан, Рамачандран; Дешуйе, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). «Проблема Варинга для биквадратов. I. Диаграмма решения» [Проблема Варинга для биквадратов. I. Эскиз решения]. Доклады Академии наук, серия I (на французском языке). 303 (4): 85–88. МР 0853592 .

[7] Баласубраманиан, Рамачандран; Дешуйе, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). «Проблема Варинга для биквадратов. II. Вспомогательные результаты для асимптотической теоремы» [Проблема Варинга для биквадратов. II. Вспомогательные результаты для асимптотической теоремы. Доклады Академии наук, серия I (на французском языке). 303 (5): 161–163. МР 0854724 .

[8] Пиллаи, СС (1940). «О проблеме Уоринга g (6) = 73». Учеб. Индийский акад. Наука . 12 :30–40. дои : 10.1007/BF03170721 . МР 0002993 . S2CID 185097940 .

[9] Л. Эйлер , «Opera posthuma» (1), 203–204 (1862).

[10] Нивен, Иван М. (1944). «Нерешенный случай проблемы Уоринга». Американский журнал математики . 66 (1). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 137–143. дои : 10.2307/2371901 . JSTOR 2371901 . МР 0009386 .

[11] Малер, Курт (1957). «О дробных частях степеней рационального числа II». Математика . 4 (2): 122–124. дои : 10.1112/s0025579300001170 . МР 0093509 .

[12] Кубина, Джеффри М.; Вундерлих, Марвин К. (1990). «Расширение гипотезы Уоринга до 471 600 000». Математика. Комп. 55 (192): 815–820. Бибкод : 1990MaCom..55..815K . дои : 10.2307/2008448 . JSTOR 2008448 . МР 1035936 .

[Hardy_Littlewood_1922_pp._161–188-13] Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э. (1922). «Некоторые проблемы Partitio Numerorum : IV. Сингулярный ряд в проблеме Уоринга и значение числа G (k)». Mathematische Zeitschrift . 12 (1): 161–188. дои : 10.1007/BF01482074 . ISSN 0025-5874 .

[14] Давенпорт, Х. (1939). «О проблеме Уоринга для четвертых держав». Анналы математики . 40 (4): 731–747. Бибкод : 1939АнМат..40..731Д . дои : 10.2307/1968889 . JSTOR 1968889 .

[Vaughan_1986_pp._445–463-15] Воан, RC (1986). «О проблеме Уоринга для меньших показателей». Труды Лондонского математического общества . с3-52(3): 445–463. дои : 10.1112/plms/s3-52.3.445 .

[Vaughan_1989_pp._1–71-16] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Воган, RC (1989). «Новый итерационный метод в задаче Уоринга». Акта Математика . 162 (0): 1–71. дои : 10.1007/BF02392834 . ISSN 0001-5962 .

[17] Натансон (1996 , стр. 71).

[x7373170279850-18] Дешуйе, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар; И. Густи Путу Пурнаба, Приложение (2000). «7373170279850» . Математика вычислений . 69 (229): 421–439. дои : 10.1090/S0025-5718-99-01116-3 .

[19] У. В. Линник. «О представлении больших чисел в виде суммы семи кубов». Мат. Сб. Н.С. 12(54), 218–224 (1943).

[sixteen-biquadrates-20] Дешуйе, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар (2000). «Проблема Уоринга для шестнадцати биквадратов – численные результаты» . Бордоский журнал теории чисел . 12 (2): 411–422. дои : 10.5802/jtnb.287 .

[Deshouillers_Kawada_Wooley_2005_pp._1–120-21] Дешуйе, Жан-Марк; Кавада, Коичи; Вули, Тревор Д. (2005). «О суммах шестнадцати биквадратов». Мемуары Французского математического общества . 1 :1–120. дои : 10.24033/msmf.413 . ISSN 0249-633X .

[Vaughan-Wooley-22] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Воган, RC; Вули, Тревор (2002). «Проблема Уоринга: обзор». В Беннете, Майкл А.; Берндт, Брюс К.; Бостон, Найджел; Даймонд, Гарольд Г.; Хильдебранд, Адольф Дж.; Филипп, Уолтер (ред.). Теория чисел для тысячелетия . Том. III. Натик, Массачусетс: АК Питерс. стр. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9 . МР 1956283 .

[Vinogradov_1947-23] Виноградов, Иван Матвеевич (1 сентября 2004 г.) [1947]. Метод тригонометрических сумм в теории чисел . Перевод Рота, К.Ф.; Давенпорт, Энн. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43878-8 .

[Math-Net.Ru_z658-24] И. М. Виноградов, "О верхней оценке $G(n)$", Изв. АН СССР сер. мат., 23:5 (1959), 637–642" . Math-Net.Ru (на русском языке) . Проверено 18 апреля 2024 г.

[25] Карацуба, А.А. (1985). «О функции G ( n ) в задаче Варинга». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Математика . 27 (49:5): 935–947. Бибкод : 1986ИзМат..27..239К . дои : 10.1070/IM1986v027n02ABEH001176 .

[Vaughan-26] Воан, RC (1997). Метод Харди-Литтлвуда . Кембриджские трактаты по математике. Том. 125 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-57347-5 . Збл 0868.11046 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]