Задача о сумме четырех кубиков

Нерешенная задача по математике :

Является ли каждое целое число суммой четырех идеальных кубов?

(еще нерешенные задачи по математике)

Задача о сумме четырех кубов ли каждое целое число спрашивает, является суммой четырех кубов целых чисел. Предполагается, что ответ положительный, но эта гипотеза не доказана и не опровергнута. Некоторые из кубов могут быть отрицательными числами , в отличие от проблемы Уоринга о суммах кубов, где они должны быть положительными.

Частичные результаты

Замены $X=T$, $Y=T$, и $Z=-T+1$ в личности $$(X+Y+Z)^{3}-X^{3}-Y^{3}-Z^{3}=3(X+Y)(X+Z)(Y+Z)$$привести к идентичности $$(T+1)^{3}+(-T)^{3}+(-T)^{3}+(T-1)^{3}=6T,$$который показывает, что каждое целое число, кратное 6, представляет собой сумму четырех кубов. (В более общем плане то же доказательство показывает, что каждое число, кратное 6, в каждом кольце представляет собой сумму четырех кубов.)

Поскольку каждое целое число конгруэнтно своему собственному кубу по модулю 6, отсюда следует, что каждое целое число является суммой пяти кубов целых чисел.

В 1966 году В. А. Демьяненко доказал, что любое целое число, не совпадающее ни с 4, ни с −4 по модулю 9, является суммой четырех кубов целых чисел. Для этого он использовал следующие личности: $${\begin{aligned}6x&=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3}\\6x+3&=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3}\\18x+1&=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+(-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3}\\18x+7&=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3}\\18x+8&=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}\ .\end{aligned}}$$Эти тождества (и те, которые получены из них путем перехода к противоположностям ) сразу показывают, что любое целое число, которое не соответствует ни 4, ни -4 по модулю 9 и не соответствует ни 2, ни -2 по модулю 18, является суммой четырех кубов целых чисел. . Используя более тонкие рассуждения, Демьяненко доказал, что целые числа, равные 2 или -2 по модулю 18, также являются суммами четырех кубов целых чисел.

Таким образом, проблема возникает только для целых чисел, соответствующих 4 или -4 по модулю 9. Одним из примеров является $$13=10^{3}+7^{3}+1^{3}+(-11)^{3},$$но неизвестно, можно ли каждое такое целое число записать в виде суммы четырех кубов.

корпус 18x±2

Согласно Анри Коэна переводу статьи Демьяненко эти тождества

$${\begin{aligned}54x+2&=(29484x^{2}+2211x+43)^{3}+(-29484x^{2}-2157x-41)^{3}+(9828x^{2}+485x+4)^{3}+(-9828x^{2}-971x-22)^{3}\\54x+20&=(3x-11)^{3}+(-3x+10)^{3}+(x+2)^{3}+(-x+7)^{3}\\216x-16&=(14742x^{2}-2157x+82)^{3}+(-14742x^{2}+2211x-86)^{3}+(4914x^{2}-971x+44)^{3}+(-4914x^{2}+485x-8)^{3}\\216x+92&=(3x-164)^{3}+(-3x+160)^{3}+(x-35)^{3}+(-x+71)^{3}\end{aligned}}$$вместе со своими дополнительными тождествами покидают случай 108x±38, доказывая утверждение. В своей статье он также доказывает случай 108x±38.

См. также

• Суммы трёх кубиков