Теорема Ландау о простых идеалах

В алгебраической теории чисел теорема о простых идеалах является в числовом поле обобщением теоремы о простых числах . Он предоставляет асимптотическую формулу для подсчета количества простых идеалов числового поля K с нормой не X. более

Пример

Чего ожидать, можно увидеть уже для гауссовских целых чисел . Там для любого простого числа p вида 4 n + 1 p действует как произведение двух гауссовских простых чисел нормы p . Простые числа вида 4 n + 3 остаются простыми, что дает гауссово простое число нормы p. ² . Следовательно, нам следует оценить

$2r(X)+r^{\prime }({\sqrt {X}})$

где r считает простые числа в арифметической прогрессии 4 n + 1, а r ′ в арифметической прогрессии 4 n + 3. По количественной форме теоремы Дирихле о простых числах каждое из r ( Y ) и r ′ ( Y ) асимптотически

${\frac {Y}{2\log Y}}.$

Следовательно, член 2 r ( X ) доминирует и асимптотически равен

${\frac {X}{\log X}}.$

Общие числовые поля

Эта общая закономерность справедлива для числовых полей в целом, так что в теореме о простых идеалах доминируют идеалы нормы - простое число. Как Эдмунд Ландау доказал в Ландау в 1903 году , для нормы не выше X та же асимптотическая формула

${\frac {X}{\log X}}$

всегда держит. Эвристически это связано с тем, что логарифмическая производная дзета -функции Дедекинда от K всегда имеет простой полюс с вычетом -1 при s = 1.

Как и в случае с теоремой о простых числах, более точную оценку можно дать с помощью логарифмической интегральной функции . Число простых идеалов нормы ≤ X равно

$\mathrm {Li} (X)+O_{K}(X\exp(-c_{K}{\sqrt {\log(X)}})),\,$

где c _K — константа, зависящая K. от

См. также

• Абстрактная аналитическая теория чисел

Ссылки

• Алина Кармен Кожокару ; М. Рам Мурти (8 декабря 2005 г.). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 66. Издательство Кембриджского университета . стр. 35–38. ISBN  0-521-61275-6 .
• Ландау, Эдмунд (1903). «Новое доказательство теоремы о простых числах и доказательство теоремы о простых идеалах» . Математические летописи . 56 (4): 645–670. дои : 10.1007/BF01444310 . S2CID   119669682 .
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт С. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. С. 266–268. ISBN  978-0-521-84903-6 .