Абстрактная аналитическая теория чисел

Абстрактная аналитическая теория чисел — это раздел математики , который использует идеи и методы классической аналитической теории чисел и применяет их к множеству различных математических областей. Классическая теорема о простых числах служит прототипом примера, и акцент делается на абстрактных результатах асимптотического распределения . Теория была изобретена и развита такими математиками, как Джон Кнопфмахер и Арне Берлинг в двадцатом веке.

Арифметические полугруппы [ править ]

Фундаментальным понятием является арифметическая полугруппа , которая представляет собой коммутативный моноид G , удовлетворяющий следующим свойствам:

Существует счетное подмножество (конечное или счетное) P группы G такое, что каждый элемент a ≠ 1 в G имеет уникальную факторизацию вида

a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}

где pi _— различные элементы P , α _i — положительные целые числа , r может зависеть от a , и две факторизации считаются одинаковыми, если они различаются только порядком указанных множителей. Элементы P называются простыми числами G .

Существует вещественное отображение нормы $|{\mbox{ }}|$ $|{\mbox{ }}|$ на G такая, что
1. $|1|=1$
2. $|p|>1{\mbox{ for all }}p\in P$
3. $|ab|=|a||b|{\mbox{ for all }}a,b\in G$
4. Общее количество $N_{G}(x)$ элементов $a\in G$ нормы $|a|\leq x$ конечно, для каждого вещественного $x>0$ .

Аддитивные системы счисления [ править ]

Аддитивная система счисления — это арифметическая полугруппа, в которой основной моноид G является свободным абелевым . Нормальную функцию можно записать аддитивно. ^[1]

Если норма целочисленная, мы связываем функции счета a ( n ) и p ( n ) с G , где p подсчитывает количество элементов P нормы n , а a подсчитывает количество элементов G нормы n . Обозначим A ( x ) и P ( x ) соответствующие формальные степенные ряды . У нас есть фундаментальная идентичность ^[2]

A(x)=\sum _{n}a(n)x^{n}=\prod _{n}(1-x^{n})^{-p(n)}\

который формально кодирует уникальное выражение каждого элемента G как произведения элементов P . Радиус сходимости G A — это сходимости степенного ряда радиус ( x ). ^[3]

Фундаментальное тождество имеет альтернативную форму ^[4]

A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)\ .

Примеры [ править ]

Прототипическим примером арифметической полугруппы является полугруппа натуральных чисел = G мультипликативная Z. ⁺= {1, 2, 3, ...}, с подмножеством рациональных простых чисел P = {2, 3, 5, ...}. Здесь норма целого числа просто $|n|=n$ , так что $N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor$ , наибольшее целое число, не превосходящее x .

Если K — поле алгебраических чисел , т. е. конечное расширение поля рациональных чисел Q , то множество G всех ненулевых идеалов в кольце целых чисел O _K поля K образует арифметическую полугруппу с единичным элементом O _K и нормой идеал I задается мощностью факторкольца O _K / I . подходящим обобщением теоремы о простых числах является теорема Ландау о простых идеалах , описывающая асимптотическое распределение идеалов в OK _{В этом случае} .

Можно рассмотреть различные арифметические категории , удовлетворяющие теореме типа Крулля-Шмидта. Во всех этих случаях элементы G являются классами изоморфизма в соответствующей категории , а P состоит из всех классов изоморфизма неразложимых объектов, т.е. объектов, которые не могут быть разложены как прямое произведение ненулевых объектов. Некоторые типичные примеры приведены ниже.
- Категория всех конечных абелевых групп при обычной операции прямого произведения и отображении нормы $|A|=\operatorname {card} (A).$ Неразложимыми объектами являются циклические группы простого степенного порядка.
- Категория всех компактных односвязных глобально симметричных римановых многообразий относительно риманова произведения многообразий и отображения нормы $|M|=c^{\dim M},$ где c > 1 фиксировано, а dim M обозначает размерность многообразия M . Неразложимыми объектами являются компактные односвязные неприводимые симметрические пространства.
- Категория всех псевдометризуемых конечных топологических пространств относительно топологической суммы и отображения нормы. $|X|=2^{\operatorname {card} (X)}.$ Неразложимыми объектами являются связные пространства .

Методы и приемы [ править ]

Использование арифметических функций и дзета-функций широко распространено. Идея состоит в том, чтобы распространить различные аргументы и методы использования арифметических функций и дзета-функций в классической аналитической теории чисел на контекст произвольной арифметической полугруппы, которая может удовлетворять одной или нескольким дополнительным аксиомам. Такой типичной аксиомой является следующая, обычно называемая в литературе «Аксиомой А»:

Аксиома А. Существуют положительные константы A и $\delta$ и константа $\nu$ с $0\leq \nu <\delta$ , такой, что $N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ as }}x\rightarrow \infty .$ ^[5]

Для любой арифметической полугруппы, удовлетворяющей аксиоме А , имеется следующая абстрактная теорема о простых числах : ^[6]

\pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty

где π _G ( x ) = общее количество элементов p в P нормы | р | ≤ х .

Арифметическое образование [ править ]

Понятие арифметической формации обеспечивает обобщение группы идеальных классов в теории алгебраических чисел и позволяет получать абстрактные результаты асимптотического распределения при ограничениях. В случае числовых полей, например, это теорема плотности Чеботарёва . Арифметическая формация — это арифметическая полугруппа G что фактор G /≡ является конечной абелевой группой A. с отношением эквивалентности ≡ такая , Этот фактор представляет собой группу классов формации, а классы эквивалентности представляют собой обобщенные арифметические прогрессии или обобщенные идеальные классы. Если х — характер A , то мы можем определить ряд Дирихле

\sum _{g\in G}\chi ([g])|g|^{-s}

что дает понятие дзета-функции для арифметической полугруппы. ^[7]

См. также [ править ]

Аксиома А , свойство динамических систем.
Дзета-функция Берлинга

Ссылки [ править ]

^ Беррис (2001) стр.20
^ Беррис (2001) стр.26
^ Беррис (2001) стр.31
^ Беррис (2001) стр.34
^ Кнопфмахер (1990) стр.75
^ Кнопфмахер (1990) стр.154
^ Кнопфмахер (1990), стр. 250–264.

Беррис, Стэнли Н. (2001). Теоретико-числовая плотность и логические предельные законы . Математические обзоры и монографии. Том. 86. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2666-2 . Збл 0995.11001 .
Кнопфмахер, Джон (1990) [1975]. Абстрактная аналитическая теория чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2 . Збл 0743.11002 .
Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 97. с. 278. ИСБН 978-0-521-84903-6 . Збл 1142.11001 .

[Bur20-1] Беррис (2001) стр.20

[Bur26-2] Беррис (2001) стр.26

[Bur31-3] Беррис (2001) стр.31

[Bur34-4] Беррис (2001) стр.34

[K75-5] Кнопфмахер (1990) стр.75

[K154-6] Кнопфмахер (1990) стр.154

[7] Кнопфмахер (1990), стр. 250–264.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]