Абстрактная аналитическая теория чисел

Абстрактная аналитическая теория чисел — это раздел математики , который использует идеи и методы классической аналитической теории чисел и применяет их к множеству различных математических областей. Классическая теорема о простых числах служит прототипом примера, и акцент делается на абстрактных результатах асимптотического распределения . Теория была изобретена и развита такими математиками, как Джон Кнопфмахер и Арне Берлинг в двадцатом веке.

Арифметические полугруппы

Фундаментальным понятием является арифметическая полугруппа , которая представляет собой коммутативный моноид G, удовлетворяющий следующим свойствам:

• Существует счетное подмножество (конечное или счетное) P группы G такое, что каждый элемент a ≠ 1 в G имеет уникальную факторизацию вида

$a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$

где p _i — различные элементы P , α _i — положительные целые числа , r может зависеть от a , и две факторизации считаются одинаковыми, если они различаются только порядком указанных множителей. Элементы P называются простыми G числами .

• Существует вещественное отображение нормы $|{\mbox{ }}|$ на G такая, что
  1. $|1|=1$
  2. $|p|>1{\mbox{ for all }}p\in P$
  3. $|ab|=|a||b|{\mbox{ for all }}a,b\in G$
  4. Общее количество $N_{G}(x)$ элементов $a\in G$ нормы $|a|\leq x$ конечно, для каждого вещественного $x>0$.

Аддитивные системы счисления

«Аддитивная система счисления» перенаправляется сюда. Нумерацию пищевых добавок см. в E. номере

Аддитивная система счисления — это арифметическая полугруппа, в которой основной моноид G является свободным абелевым . Нормальную функцию можно записать аддитивно.

Если норма целочисленная, мы связываем функции счета a ( n ) и p ( n ) с G , где p подсчитывает количество элементов P нормы n , а a подсчитывает количество элементов G нормы n . Обозначим A ( x ) и P ( x ) соответствующие формальные степенные ряды . У нас есть фундаментальная идентичность

$A(x)=\sum _{n}a(n)x^{n}=\prod _{n}(1-x^{n})^{-p(n)}\$

который формально кодирует уникальное выражение каждого элемента G как произведения элементов P . Радиус сходимости G степенного — это радиус сходимости ряда A ( ) x .

Фундаментальное тождество имеет альтернативную форму

$A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)\ .$

Примеры

• Прототипическим примером арифметической полугруппы является полугруппа натуральных чисел Z. G = мультипликативная ⁺ = {1, 2, 3, ...}, с подмножеством рациональных простых чисел P = {2, 3, 5, ...}. Здесь норма целого числа просто $|n|=n$, так что $N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor$, наибольшее целое число, не превосходящее x .

• Если K — поле алгебраических чисел , т. е. конечное расширение поля рациональных чисел Q , то множество G всех ненулевых идеалов в кольце целых чисел O _K поля K образует арифметическую полугруппу с единичным элементом O _K и нормой идеал I задается мощностью факторкольца O _K / I . В этом случае подходящим обобщением теоремы о простых числах является простых идеалах , описывающая асимптотическое распределение идеалов в OK _{теорема Ландау о} .

• Можно рассмотреть различные арифметические категории , удовлетворяющие теореме типа Крулля-Шмидта. Во всех этих случаях элементы G являются классами изоморфизма в соответствующей категории , а P состоит из всех классов изоморфизма неразложимых объектов, т.е. объектов, которые не могут быть разложены как прямое произведение ненулевых объектов. Некоторые типичные примеры приведены ниже.
  • Категория всех конечных абелевых групп при обычной операции прямого произведения и отображении нормы $|A|=\operatorname {card} (A).$ Неразложимыми объектами являются циклические группы простого степенного порядка.
  • Категория всех компактных односвязных глобально симметричных римановых многообразий относительно риманова произведения многообразий и отображения нормы $|M|=c^{\dim M},$ где c > 1 фиксировано, а dim M обозначает размерность многообразия M . Неразложимыми объектами являются компактные односвязные неприводимые симметрические пространства.
  • Категория всех псевдометризуемых конечных топологических пространств относительно топологической суммы и отображения нормы. $|X|=2^{\operatorname {card} (X)}.$ Неразложимыми объектами являются связные пространства .

Методы и приемы

Использование арифметических функций и дзета-функций широко распространено. Идея состоит в том, чтобы распространить различные аргументы и методы арифметических функций и дзета-функций в классической аналитической теории чисел на контекст произвольной арифметической полугруппы, которая может удовлетворять одной или нескольким дополнительным аксиомам. Такой типичной аксиомой является следующая, обычно называемая в литературе «Аксиомой А»:

• Аксиома А. Существуют положительные константы A и $\delta$и константа $\nu$ с $0\leq \nu <\delta$, такой, что $N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ as }}x\rightarrow \infty .$

Для любой арифметической полугруппы, удовлетворяющей аксиоме А , имеется следующая абстрактная теорема о простых числах :

$\pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty$

где π _G ( x ) = общее количество элементов p в P нормы | р | ≤ х .

Арифметическое образование

Понятие арифметической формации обеспечивает обобщение группы идеальных классов в теории алгебраических чисел и позволяет получать абстрактные результаты асимптотического распределения при ограничениях. В случае числовых полей, например, это теорема плотности Чеботарёва . Арифметическая формация — это арифметическая полугруппа G что фактор G /≡ является конечной абелевой группой A. с отношением эквивалентности ≡ такая , Этот фактор представляет собой группу классов формации, а классы эквивалентности представляют собой обобщенные арифметические прогрессии или обобщенные идеальные классы. Если х — характер A , то мы можем определить ряд Дирихле

$\sum _{g\in G}\chi ([g])|g|^{-s}$

что дает понятие дзета-функции для арифметической полугруппы.

См. также

• Аксиома А , свойство динамических систем.
• Дзета-функция Берлинга

Ссылки

• Беррис, Стэнли Н. (2001). Теоретико-числовая плотность и логические предельные законы . Математические обзоры и монографии. Том. 86. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-2666-2 . Збл   0995.11001 .
• Кнопфмахер, Джон (1990) [1975]. Абстрактная аналитическая теория чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publishing. ISBN  0-486-66344-2 . Артикул   0743.11002 .
• Монтгомери, Хью Л .; Воган, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 97. с. 278. ИСБН  978-0-521-84903-6 . Збл   1142.11001 .