Динамическая теория среднего поля

Динамическая теория среднего поля ( DMFT ) — это метод определения электронной структуры сильно коррелированных материалов . приближение независимых электронов, которое используется в теории функционала плотности и обычных расчетах зонной структуры В таких материалах нарушается . Динамическая теория среднего поля, непертурбативная трактовка локальных взаимодействий между электронами, устраняет разрыв между пределом почти свободного электронного газа и атомным пределом физики конденсированного состояния .

DMFT состоит в преобразовании решеточной задачи многих тел задачу многих тел в локальную , называемую моделью примеси. Хотя проблема решетки в целом неразрешима, модель примеси обычно решается с помощью различных схем. Отображение само по себе не является приближением. Единственное приближение, которое делается в обычных схемах DMFT, - это предположить, что собственная энергия решетки является не зависящей от импульса (локальной) величиной. Это приближение становится точным в пределе решеток с бесконечной координацией .

Одним из главных успехов DMFT является описание фазового перехода между металлом и изолятором Мотта силы электронных корреляций при увеличении . Он был успешно применен к реальным материалам в сочетании с приближением локальной плотности теории функционала плотности.

Связь с теорией среднего поля

DMFT-трактовка решеточных квантовых моделей аналогична с помощью теории среднего поля трактовке классических моделей, таких как модель Изинга, (MFT) . В модели Изинга проблема решетки отображается в эффективную проблему одного узла, намагниченность которой должна воспроизводить намагниченность решетки через эффективное «среднее поле». Это условие называется условием самосогласования. Он предусматривает, что одноузловые наблюдаемые должны воспроизводить решеточные «локальные» наблюдаемые посредством эффективного поля. В то время как N-узловой гамильтониан Изинга трудно решить аналитически (на сегодняшний день аналитические решения существуют только для 1D и 2D случаев), проблема одного узла легко решается.

Аналогично, DMFT отображает проблему решетки ( например, модель Хаббарда ) на проблему одного узла. В DMFT локальной наблюдаемой является локальная функция Грина . Таким образом, условие самосогласованности для DMFT заключается в том, что примесная функция Грина воспроизводит локальную функцию Грина решетки через эффективное среднее поле, которое в DMFT является функцией гибридизации. $\Delta (\tau )$ модели примесей. DMFT обязан своим названием тому факту, что среднее поле $\Delta (\tau )$ зависит от времени или является динамическим. Это также указывает на основное различие между MFT Изинга и DMFT: MFT Изинга отображает проблему N-спиновой проблемы в задачу с одним участком и одним спином. DMFT отображает проблему решетки на проблему одного узла, но последняя по сути остается проблемой N тел, которая фиксирует временные флуктуации из-за электрон-электронных корреляций.

Описание DMFT для модели Хаббарда

Отображение DMFT

Одноорбитальная модель Хаббарда

Модель Хаббарда описывает локальное взаимодействие между электронами противоположного спина с помощью одного параметра: $U$. Гамильтониан Хаббарда может иметь следующий вид:

$H_{\text{Hubbard}}=t\sum _{\langle ij\rangle \sigma }c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+U\sum _{i}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }$

где при подавлении индексов спина 1/2 $\sigma$, $c_{i}^{\dagger },c_{i}$ обозначают операторы рождения и уничтожения электрона на локализованной орбитали на месте $i$, и $n_{i}=c_{i}^{\dagger }c_{i}$.

Были сделаны следующие предположения:

• только одна орбиталь вносит вклад в электронные свойства (как это может быть в случае атомов меди в сверхпроводящих купратах , чьи $d$-зоны невырождены),
• орбитали настолько локализованы, что только перескок ближайших соседей $t$ принимается во внимание

Вспомогательная задача: примесная модель Андерсона.

Модель Хаббарда в целом неразрешима с помощью обычных методов расширения возмущений. DMFT отображает эту решеточную модель на так называемую модель примесей Андерсона (AIM). Эта модель описывает взаимодействие одного узла (примеси) с «ванной» электронных уровней (описываемой операторами уничтожения и рождения $a_{p\sigma }$ и $a_{p\sigma }^{\dagger }$) посредством функции гибридизации. Модель Андерсона, соответствующая нашей одноузловой модели, представляет собой одноорбитальную примесную модель Андерсона, гамильтонова формулировка которой предполагает подавление некоторых индексов спина 1/2. $\sigma$, является:

$H_{\text{AIM}}=\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}a_{p}^{\dagger }a_{p}} _{H_{\text{bath}}}+\underbrace {\sum _{p\sigma }\left(V_{p}^{\sigma }c_{\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }+h.c.\right)} _{H_{\text{mix}}}+\underbrace {Un_{\uparrow }n_{\downarrow }-\mu \left(n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\right)} _{H_{\text{loc}}}$

где

• $H_{\text{bath}}$ описывает некоррелированные электронные уровни $\epsilon _{p}$ из ванны
• $H_{\text{loc}}$ описывает примесь, где два электрона взаимодействуют с энергетической стоимостью $U$
• $H_{\text{mix}}$ описывает гибридизацию (или связь) между примесью и ванной посредством условий гибридизации. $V_{p}^{\sigma }$

Функция Мацубары Грина этой модели, определяемая формулой $G_{\text{imp}}(\tau )=-\langle Tc(\tau )c^{\dagger }(0)\rangle$, полностью определяется параметрами $U,\mu$ и так называемая функция гибридизации $\Delta _{\sigma }(i\omega _{n})=\sum _{p}{\frac {|V_{p}^{\sigma }|^{2}}{i\omega _{n}-\epsilon _{p}}}$, которое представляет собой преобразование Фурье за ​​мнимое время $\Delta _{\sigma }(\tau )$.

Эта функция гибридизации описывает динамику прыжков электронов в ванну и из нее. Он должен воспроизводить динамику решетки так, чтобы функция Грина примеси была такой же, как функция Грина локальной решетки. Она связана с невзаимодействующей функцией Грина соотношением:

$({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})=i\omega _{n}+\mu -\Delta (i\omega _{n})$ (1)

Решение модели примеси Андерсона состоит в вычислении наблюдаемых, таких как взаимодействующая функция Грина. $G(i\omega _{n})$ для данной функции гибридизации $\Delta (i\omega _{n})$ и $U,\mu$. Это трудная, но не неразрешимая проблема. Существует несколько способов решения AIM, например:

• Группа числовой ренормализации
• Точная диагонализация
• Итеративная теория возмущений
• Непересекающееся приближение
• Монте-Карло непрерывного времени Квантовые алгоритмы

Уравнения самосогласования

Условие самосогласования требует наличия примесной функции Грина $G_{\mathrm {imp} }(\tau )$ совпадать с локальной решеточной функцией Грина $G_{ii}(\tau )=-\langle Tc_{i}(\tau )c_{i}^{\dagger }(0)\rangle$:

$G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=G_{ii}(i\omega _{n})=\sum _{k}{\frac {1}{i\omega _{n}+\mu -\epsilon (k)-\Sigma (k,i\omega _{n})}}$

где $\Sigma (k,i\omega _{n})$ обозначает собственную энергию решетки.

DMFT-приближение: локальность собственной энергии решетки

Единственные приближения DMFT (кроме приближения, которое можно сделать для решения модели Андерсона) состоят в пренебрежении пространственными флуктуациями собственной энергии решетки путем приравнивания ее к собственной энергии примеси:

$\Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{imp}(i\omega _{n})$

Это приближение становится точным в пределе решеток с бесконечной координацией, то есть когда число соседей каждого узла бесконечно. Действительно, можно показать, что при диаграммном разложении собственной энергии решетки при переходе в бесконечный координационный предел выживают только локальные диаграммы.

Таким образом, как и в классических теориях среднего поля, DMFT должна становиться более точной по мере увеличения размерности (и, следовательно, количества соседей). Иными словами, для малых размерностей пространственные флуктуации сделают приближение DMFT менее надежным.

Пространственные флуктуации становятся актуальными и в окрестностях фазовых переходов . Здесь DMFT и классические теории среднего поля приводят к критическим показателям среднего поля , выраженные изменения перед фазовым переходом не отражаются на собственной энергии DMFT.

Цикл DMFT

Для нахождения локальной решеточной функции Грина необходимо определить такую ​​гибридизационную функцию, чтобы соответствующая примесная функция Грина совпадала с искомой локальной решеточной функцией Грина. Наиболее распространенным способом решения этой проблемы является использование метода прямой рекурсии, а именно для заданного $U$, $\mu$ и температура $T$:

1. Начните с предположения о $\Sigma (k,i\omega _{n})$ (как правило, $\Sigma (k,i\omega _{n})=0$)
2. Сделайте приближение DMFT: $\Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})$
3. Вычислите локальную функцию Грина $G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})$
4. Вычислите динамическое среднее поле $\Delta (i\omega )=i\omega _{n}+\mu -G_{\mathrm {loc} }^{-1}(i\omega _{n})-\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})$
5. Решите AIM для новой примесной функции Грина. $G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})$, извлекаем его собственную энергию: $\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})-(G_{\mathrm {imp} })^{-1}(i\omega _{n})$
6. Возвращаемся к шагу 2 до сходимости, а именно когда $G_{\mathrm {imp} }^{n}=G_{\mathrm {imp} }^{n+1}$.

Приложения

Функция Грина локальной решетки и другие примесные наблюдаемые могут быть использованы для расчета ряда физических величин как функции корреляций. $U$, ширина полосы, заполнение (химический потенциал $\mu$) и температура $T$:

• спектральная функция (которая дает зонную структуру)
• кинетическая энергия
• двухместное размещение сайта
• функции отклика (сжимаемость, оптическая проводимость, теплоемкость)

В частности, сокращение двухместного размещения, как $U$ Увеличение является признаком перехода Мотта.

Расширения DMFT

DMFT имеет несколько расширений, распространяющих вышеуказанный формализм на многоорбитальные задачи с несколькими узлами, дальние корреляции и неравновесие.

Мультиорбитальное расширение

DMFT можно распространить на модели Хаббарда с несколькими орбиталями, а именно с электрон-электронными взаимодействиями вида $U_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }$ где $\alpha$ и $\beta$ обозначают разные орбитали. Сочетание с теорией функционала плотности (DFT+DMFT) затем позволяет провести реалистичный расчет коррелирующих материалов.

Расширенный DMFT

Расширенное DMFT дает локальную собственную энергию примеси для нелокальных взаимодействий и, следовательно, позволяет нам применять DMFT для более общих моделей, таких как модель tJ .

Кластер ДМФТ

Чтобы улучшить приближение DMFT, модель Хаббарда можно сопоставить с задачей многоузловой примеси (кластера), что позволяет добавить некоторую пространственную зависимость к собственной энергии примеси. Кластеры содержат от 4 до 8 сайтов при низкой температуре и до 100 сайтов при высокой температуре.

Приближение динамического кластера типичной среды (TMDCA) - это непертурбативный подход для получения основного электронного состояния сильно коррелированных систем многих тел, построенный на приближении динамического кластера (DCA).

Схематические расширения

Пространственные зависимости собственной энергии за пределами DMFT, включая дальнодействующие корреляции вблизи фазового перехода , могут быть получены также посредством схематического расширения DMFT. используя сочетание аналитических и численных методов. Отправная точка динамической вершинной аппроксимации а в подходе дуальных фермионов — это локальная двухчастичная вершина .

Неравновесный

DMFT использовался для изучения неравновесного транспорта и оптических возбуждений. Здесь надежный расчет функции Грина AIM вне равновесия остается большой проблемой. DMFT также применялся к экологическим моделям для описания динамики среднего поля сообщества с термодинамическим количеством видов.

См. также

• Сильно коррелированный материал

Внешние ссылки

• Сильно коррелированные материалы: идеи динамической теории среднего поля Г. Котляр и Д. Фоллхардт
• Конспекты лекций о подходе LDA+DMFT к сильно коррелирующим материалам Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
• Конспект лекций DMFT в 25 лет: Бесконечные измерения Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
• Конспект лекций DMFT – От бесконечных измерений к реальным материалам Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
• Конспект лекций Динамическая теория среднего поля коррелированных электронов Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
• DMFT для двухсайтового димера Хаббарда: в Динамической теории среднего поля для материалов, Ева Паварини
• https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf
• DMFT для двухсайтового димера Хаббарда: в «Решении проблемы сильной корреляции в материалах», Ева Паварини
• https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8