Группа числовой ренормализации

Группа числовой ренормализации ( NRG ) — это метод, разработанный Кеннетом Уилсоном для решения некоторых задач многих тел, где квантовая физика примесей играет ключевую роль.

История

Группа числовой ренормализации — это по своей сути непертурбативная процедура, которая изначально использовалась для решения модели Кондо . Модель Кондо представляет собой упрощенную теоретическую модель, которая описывает систему магнитных примесей со спином 1/2 , которые взаимодействуют с металлическими электронами проводимости (например, примеси железа в золоте). Эту проблему, как известно, трудно решить теоретически, поскольку пертурбативные методы не работают при низких энергиях. Однако Уилсону удалось впервые с помощью числовой ренормгруппы доказать, что основное состояние модели Кондо является синглетным. Но, возможно, более важно то, что в область теории конденсированного состояния были введены понятия перенормировки , неподвижных точек и ренормализационного группового потока — именно за это Вильсон получил Нобелевскую премию в 1982 году. Полное поведение модели Кондо, включая обе высокотемпературный режим «локального момента» и низкотемпературный режим «сильной связи» фиксируются числовой перенормировочной группой; Было показано, что экспоненциально малый энергетический масштаб T _K (недоступный из прямой теории возмущений ) управляет всеми свойствами при низких энергиях, при этом все физические наблюдаемые величины, такие как удельное сопротивление, термодинамика, динамика и т. д., демонстрируют универсальный масштаб. Это характерная особенность многих задач физики конденсированного состояния и, в частности, центральная тема квантовой физики примесей. В оригинальном примере модели Кондо локальный момент примеси полностью экранируется ниже T _K электронами проводимости посредством знаменитого эффекта Кондо ; и одним из известных последствий является то, что такие материалы демонстрируют минимум удельного сопротивления при низких температурах, вопреки ожиданиям, основанным исключительно на стандартном вкладе фононов , где, по прогнозам, удельное сопротивление монотонно уменьшается с температурой.

Само существование локальных моментов в реальных системах, конечно, предполагает наличие сильных электрон-электронных корреляций. Модель примеси Андерсона описывает квантовый уровень с локальным кулоновским отталкиванием между электронами (а не со спином), который туннельно связан с металлическими электронами проводимости. В однозаселенном режиме примеси модель Кондо можно вывести из модели Андерсона, но последняя содержит другую физику, связанную с флуктуациями заряда. Группа числовой перенормировки была расширена для работы с моделью Андерсона (охватывающей, таким образом, как физику Кондо, так и физику валентных флуктуаций) Х. Р. Кришнамурти и др. в 1980 году. Действительно, с тех пор произошли различные важные события: Bulla et al.

Техника

Группа числовой ренормализации — это итерационная процедура, которая является примером метода группы ренормализации .

Этот метод состоит в том, чтобы сначала разделить зону проводимости на логарифмические интервалы (т.е. интервалы, которые экспоненциально уменьшаются по мере приближения к энергии Ферми). Сохраняется одно состояние зоны проводимости из каждого интервала, т. е. полностью симметричная комбинация всех состояний в этом интервале. Зона проводимости теперь «логарифмически дискретизирована». Гамильтониан теперь может быть преобразован в так называемую линейную цепную форму, в которой примесь связана только с одним состоянием зоны проводимости, которое связано с еще одним состоянием зоны проводимости и так далее. Важно отметить, что эти связи экспоненциально уменьшаются вдоль цепи, так что, хотя преобразованный гамильтониан предназначен для бесконечной цепи, можно рассматривать цепь конечной длины и при этом получать полезные результаты.

Единственное ограничение зоны проводимости состоит в том, что она не взаимодействует. Последние события сделать возможным отображение общей многоканальной зоны проводимости со смешением каналов в цепочку Вильсона, и вот реализация на Python.

Как только гамильтониан примет форму линейной цепочки, можно начать итерационный процесс. Сначала рассматривается изолированная примесь, которая будет иметь некоторый характерный набор энергетических уровней. Затем можно рассмотреть возможность добавления к цепочке первой орбитали зоны проводимости. Это приводит к расщеплению энергетических уровней изолированной примеси. Затем рассматривается эффект добавления дополнительных орбиталей вдоль цепочки, что приводит к дальнейшему расщеплению ранее полученных уровней энергии. Поскольку связи уменьшаются вдоль цепочки, последовательные расщепления, вызванные добавлением орбиталей в цепочку, уменьшаются.

Когда к цепочке добавляется определенное количество орбиталей, у нас появляется набор энергетических уровней для этой конечной цепочки. Очевидно, это не истинный набор энергетических уровней для бесконечной цепочки, но это хорошее приближение к истинному набору в температурном диапазоне, где: дальнейшее расщепление, вызванное добавлением большего количества орбиталей, незначительно, и у нас достаточно орбиталей в цепочке для учета расщеплений, которые актуальны в этом температурном диапазоне. В результате результаты, полученные для цепи любой конкретной длины, действительны только в определенном температурном диапазоне, диапазоне, который смещается в сторону более низких температур по мере увеличения длины цепи. Это означает, что, рассматривая результаты при разных длинах цепей, можно построить картину поведения системы в широком диапазоне температур.

Гамильтониан для линейной цепи конечной длины является примером эффективного гамильтониана. Это не полный гамильтониан бесконечной линейной цепной системы, но в определенном диапазоне температур он дает результаты, аналогичные полному гамильтониану.