Точная диагонализация

Точная диагонализация (ED) — это численный метод, используемый в физике для определения собственных состояний и собственных значений энергии квантового гамильтониана . В этом методе гамильтониан для дискретной конечной системы выражается в матричной форме и диагонализируется с помощью компьютера. Точная диагонализация возможна только для систем с несколькими десятками частиц из-за экспоненциального роста размерности гильбертова пространства с размером квантовой системы. Он часто используется для изучения решеточных моделей, включая модель Хаббарда , модель Изинга , модель Гейзенберга , t - J модель и модель SYK .

Значения ожидания от точной диагонализации

После определения собственных состояний $|n\rangle$ и энергии $\epsilon _{n}$ данного гамильтониана точная диагонализация может использоваться для получения средних значений наблюдаемых. Например, если ${\mathcal {O}}$ является наблюдаемой величиной, ее тепловое математическое ожидание равно

$\langle {\mathcal {O}}\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}\langle n|{\mathcal {O}}|n\rangle ,$

где $Z=\sum _{n}e^{-\beta \epsilon _{n}}$ это функция распределения . Если наблюдаемую можно записать в исходный базис задачи, то эту сумму можно оценить после преобразования в базис собственных состояний.

функции Грина Аналогично можно оценить . Например, запаздывающая функция Грина $G^{R}(t)=-i\theta (t)\langle [A(t),B(0)]\rangle$ можно написать

$G^{R}(t)=-{\frac {i\theta (t)}{Z}}\sum _{n,m}\left(e^{-\beta \epsilon _{n}}-e^{-\beta \epsilon _{m}}\right)\langle n|A(0)|m\rangle \langle m|B(0)|n\rangle e^{-i(\epsilon _{m}-\epsilon _{n})t/\hbar }.$

Точную диагонализацию можно также использовать для определения временной эволюции системы после закалки. Предположим, что система подготовлена ​​в исходном состоянии. $|\psi \rangle$, а затем на время $t>0$ развивается под новым гамильтонианом, ${\mathcal {H}}$. Состояние во время $t$ является

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}e^{-i\epsilon _{n}t/\hbar }\langle n|\psi (0)\rangle |n\rangle .$

Требования к памяти

Размерность гильбертова пространства, описывающего квантовую систему, экспоненциально масштабируется с размером системы. Например, рассмотрим систему $N$ спины локализованы в фиксированных узлах решетки. Размерность локального базиса равна 2, поскольку состояние каждого спина можно описать как суперпозицию спина вверх и вниз, обозначаемую $\left|\uparrow \right\rangle$ и $\left|\downarrow \right\rangle$. Полная система имеет размерность $2^{N}$, а гамильтониан, представленный в виде матрицы, имеет размер $2^{N}\times 2^{N}$. Это означает, что время вычислений и требования к памяти очень неблагоприятно масштабируются при точной диагонализации. На практике требования к памяти можно уменьшить, воспользовавшись симметрией задачи, наложив законы сохранения, работая с разреженными матрицами или используя другие методы.

Наивные оценки требований к памяти при точной диагонализации спин- 1/2 системы выполняются на компьютере. Предполагается, что гамильтониан хранится в виде матрицы чисел двойной точности с плавающей запятой .

Количество сайтов	Количество штатов	Размер гамильтониана в памяти
4	16	2048 Б
9	512	2 МБ
16	65536	34 ГБ
25	33554432	9 ПБ
36	6.872e10	40 ЗБ

Сравнение с другими методами

Точная диагонализация полезна для извлечения точной информации о конечных системах. Однако часто изучаются небольшие системы, чтобы получить представление о бесконечных решетчатых системах. Если диагонализированная система слишком мала, ее свойства не будут отражать свойства системы в термодинамическом пределе , и говорят, что моделирование страдает от эффектов конечного размера.

В отличие от некоторых других методов точной теории, таких как метод Монте-Карло вспомогательного поля , точная диагонализация позволяет получить функции Грина непосредственно в реальном времени, а не в мнимом времени . В отличие от других методов, точные результаты диагонализации не требуют численного и аналитического продолжения . Это преимущество, поскольку численное аналитическое продолжение является некорректной и сложной задачей оптимизации.

Приложения

• Может использоваться в качестве решателя примесей для методов динамической теории среднего поля .

• В сочетании с масштабированием конечных размеров оценка энергии основного состояния и критических показателей одномерной модели Изинга с поперечным полем .

• Исследование различных свойств двумерной модели Гейзенберга в магнитном поле, включая антиферромагнетизм и скорость спиновых волн.

• Изучение веса Друде двумерной модели Хаббарда.

• Изучение вневременных корреляций (OTOC) и скремблирования в модели SYK.

• Моделирование резонансных рентгеновских спектров сильно коррелированных материалов.

Реализации

Существуют многочисленные пакеты программного обеспечения, реализующие точную диагонализацию квантовых гамильтонианов. К ним относятся QuSpin , ALPS , DoQo , EdLib , edrixs и многие другие.

Обобщения

Точные результаты диагонализации многих небольших кластеров можно объединить для получения более точной информации о системах в термодинамическом пределе с использованием численного связанного кластерного расширения .

См. также

• Алгоритм Ланцоша

Внешние ссылки

• Квантовое моделирование/Точная диагонализация
• Полное руководство по диагонализации ALPS. Архивировано 23 июля 2019 г. на Wayback Machine.
• Точная диагонализация и метод Ланцоша в книге Э. Паварини, Э. Коха и С. Чжана (ред.): Методы многих тел для реальных материалов, Юлих, 2019 г., ISBN 978-3-95806-400-3