Матрица сообщества

В математической биологии матрица сообщества представляет собой линеаризацию обобщенного уравнения Лотки-Вольтерра в точке равновесия . Собственные значения матрицы сообщества определяют устойчивость точки равновесия.

For example, the Lotka–Volterra predator–prey model is

${\begin{array}{rcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&x(\alpha -\beta y)\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&-y(\gamma -\delta x),\end{array}}$

где x ( t ) обозначает количество добычи, y ( t ) — количество хищников, а α , β , γ и δ — константы. По теореме Хартмана–Гробмана нелинейная система топологически эквивалентна линеаризации системы относительно точки равновесия ( x *, y *), которая имеет вид

${\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=\mathbf {A} {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},$

где u = x − x * и v = y − y *. В математической биологии матрица Якобиана $\mathbf {A}$ оцениваемая в точке равновесия ( x *, y *), называется матрицей сообщества. По теореме об устойчивом многообразии , если одно или оба собственных значения $\mathbf {A}$ имеют положительную действительную часть, то равновесие неустойчиво, но если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то оно устойчиво.

См. также

• Парадокс обогащения

Ссылки

• Мюррей, Джеймс Д. (2002), Математическая биология I. Введение , Междисциплинарная прикладная математика, том. 17 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-95223-9 .