Модель Николсона – Бейли

Модель Николсона-Бейли была разработана в 1930-х годах для описания динамики популяции сопряженной системы хозяин - паразитоид . ^а Он назван в честь Александра Джона Николсона и Виктора Альберта Бейли . Системы хозяин-паразит и жертва-хищник также могут быть представлены с помощью модели Николсона-Бейли. Модель тесно связана с моделью Лотки-Вольтерры , которая описывает динамику антагонистических популяций (жертв и хищников) с помощью дифференциальных уравнений .

В модели используются разностные уравнения (дискретное время) для описания роста популяций паразитов-хозяев. Модель предполагает, что паразитоиды ищут хозяев случайным образом и что предполагается, что и паразитоиды, и хозяева распределены в окружающей среде несмежным («сгруппированным») образом. В своем первоначальном виде модель не допускает стабильного сосуществования. Последующие уточнения модели, в частности добавление зависимости плотности от нескольких членов, позволили такому сосуществованию произойти.

Уравнения

Вывод

Модель определяется в дискретном времени. Обычно это выражается как ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

${\begin{array}{rcl}H_{t+1}&=&kH_{t}e^{-aP_{t}}\\P_{t+1}&=&cH_{t}\left(1-e^{-aP_{t}}\right)\end{array}}$

где H - размер популяции хозяина, P - размер популяции паразитоида, k - скорость размножения хозяина, a - эффективность поиска паразитоида и c - среднее количество жизнеспособных яиц, которые паразитоид откладывает на одном хозяине.

Эту модель можно объяснить на основе вероятности. ^{[ 3 ]} $e^{-aP_{t}}$ это вероятность того, что хозяин выживет $P_{t}$ хищники; тогда как $1-e^{-aP_{t}}$ в том, что они этого не сделают, учитывая, что паразитоид в конечном итоге вылупится в личинку и убежит.

Анализ модели Николсона – Бейли.

Когда $0<k<1$ , $({\bar {H}},{\bar {P}})=(0,0)$ является единственной неотрицательной неподвижной точкой, и все неотрицательные решения сходятся к $(0,0)$ . Когда $k=1$ , все неотрицательные решения лежат на линиях уровня функции $z=H+P-{\text{ln}}(P)$ и сходятся к фиксированной точке на $P$ -ось. ^{[ 4 ]} Когда $k>1$ , эта система допускает одну неустойчивую положительную неподвижную точку при

${\begin{array}{rcl}{\bar {H}}&=&{\frac {k\,{\text{ln}}(k)}{(k-1)\,ac}}\\{\bar {P}}&=&{\frac {{\text{ln}}(k)}{a}}\end{array}}.$

Это было доказано ^{[ 5 ]} что все положительные решения, начальные условия которых не равны $({\bar {H}},{\bar {P}})$ неограничены и совершают колебания с бесконечно возрастающей амплитудой.

Вариации

К модели можно добавить зависимость от плотности, предположив, что скорость роста хозяина снижается при высокой численности. Уравнение паразитоида не меняется, а уравнение хозяина модифицируется:

${\begin{array}{rcl}H_{t+1}&=&H_{t}e^{r(1-H_{t}/K)}e^{-aP_{t}}\\P_{t+1}&=&cH_{t}\left(1-e^{-aP_{t}}\right)\end{array}}$

Скорость роста хозяина k заменяется на r когда плотность популяции хозяина достигает K. , который становится отрицательным ,

См. также

Примечания

^a К паразитоидам относятся насекомые, которые помещают свои яйцеклетки в яйца или личинки других существ (как правило, также и других насекомых). ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Бейли, Вирджиния (1931). «Взаимодействие хозяев и паразитов». Ежеквартальный журнал математики . ос-2 (1): 68–77. дои : 10.1093/qmath/os-2.1.68 .
^ Николсон, Эй Джей; Бейли, Вирджиния (1935). «Баланс популяций животных. Часть I.». Труды Лондонского зоологического общества . 105 (3): 551–598. дои : 10.1111/j.1096-3642.1935.tb01680.x .
^ Jump up to: ^а ^б Логан, Дж. Дэвид; Волесенский, Виллиан Р. (2009). Математические методы в биологии . Чистая и прикладная математика: серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. Джон Уайли и сыновья. п. 214. ИСБН 978-0-470-52587-6 .
^ Сюй, С.-Б.; Ли, М.-К.; Лю, В.; Малкин, М. (2003). «Гетероклиническое слоение, глобальные колебания модели Николсона-Бейли и задержка потери устойчивости» . Дискретные и непрерывные динамические системы . 9 (6): 1465–1492. дои : 10.3934/dcds.2003.9.1465 .
^ Джеймисон, WT; Рейс, Дж. (2018). «Глобальное поведение классической модели Николсона-Бейли» . Журнал математического анализа и приложений . 461 (1): 492–499. дои : 10.1016/j.jmaa.2017.12.071 .

Дальнейшее чтение

Хоппер, Дж. Л. (1987). «Возможности и недостатки ученых-антиподов: А. Дж. Николсон и В. А. Бейли о балансе популяций животных». Исторические записи австралийской науки . 7 (2): 179–188. дои : 10.1071/hr9880720179 .

Внешние ссылки

[bailey-1] Бейли, Вирджиния (1931). «Взаимодействие хозяев и паразитов». Ежеквартальный журнал математики . ос-2 (1): 68–77. дои : 10.1093/qmath/os-2.1.68 .

[nick-2] Николсон, Эй Джей; Бейли, Вирджиния (1935). «Баланс популяций животных. Часть I.». Труды Лондонского зоологического общества . 105 (3): 551–598. дои : 10.1111/j.1096-3642.1935.tb01680.x .

[logan-3] Jump up to: ^а ^б Логан, Дж. Дэвид; Волесенский, Виллиан Р. (2009). Математические методы в биологии . Чистая и прикладная математика: серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. Джон Уайли и сыновья. п. 214. ИСБН 978-0-470-52587-6 .

[Hsu-4] Сюй, С.-Б.; Ли, М.-К.; Лю, В.; Малкин, М. (2003). «Гетероклиническое слоение, глобальные колебания модели Николсона-Бейли и задержка потери устойчивости» . Дискретные и непрерывные динамические системы . 9 (6): 1465–1492. дои : 10.3934/dcds.2003.9.1465 .

[Jamieson-5] Джеймисон, WT; Рейс, Дж. (2018). «Глобальное поведение классической модели Николсона-Бейли» . Журнал математического анализа и приложений . 461 (1): 492–499. дои : 10.1016/j.jmaa.2017.12.071 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]