Снежинка Коха

Первые четыре итерации снежинки Коха

Первые семь итераций в анимации

Увеличение вершины кривой Коха

Увеличение точки, которая не является вершиной, может привести к повороту кривой.

Кох антиснежинка

Первые четыре итерации

Шестая итерация

Снежинка Коха (также известная как кривая Коха , звезда Коха или остров Коха) . ) — это фрактальная кривая и один из самых ранних фракталов описанных . Он основан на кривой Коха, которая появилась в статье 1904 года под названием «О непрерывной кривой без касательных, которую можно построить на основе элементарной геометрии». шведского математика Хельге фон Коха .

Снежинку Коха можно строить итеративно, в последовательность этапов. Первый этап представляет собой равносторонний треугольник, и каждый последующий этап формируется путем добавления внешних изгибов к каждой стороне предыдущего этапа, образуя равносторонние треугольники меньшего размера. Области, заключенные последовательными этапами построения снежинки, сходятся к ${\tfrac {8}{5}}$ раз превышает площадь исходного треугольника, а периметры последовательных ступеней неограниченно увеличиваются. Следовательно, снежинка охватывает конечную площадь, но имеет бесконечный периметр .

Снежинка Коха была построена как пример непрерывной кривой, где провести касательную линию невозможно к какой-либо точке. В отличие от более ранней функции Вейерштрасса , доказательство которой было чисто аналитическим, снежинка Коха была создана для того, чтобы ее можно было геометрически представить в то время, так что это свойство также можно было увидеть с помощью «наивной интуиции».

Строительство

Снежинку Коха можно построить, начав с равностороннего треугольника , а затем рекурсивно изменяя каждый сегмент линии следующим образом:

1. разделите отрезок прямой на три отрезка одинаковой длины.
2. нарисуйте равносторонний треугольник, у которого средний сегмент из шага 1 является основанием и направлен наружу.
3. удалите отрезок линии, который является основанием треугольника из шага 2.

Первая итерация этого процесса создает контур гексаграммы .

Снежинка Коха — это предел, к которому можно приблизиться, поскольку описанные выше шаги выполняются бесконечно. Кривая Коха, первоначально описанная Хельге фон Кохом, построена с использованием только одной из трех сторон исходного треугольника. Другими словами, три кривые Коха образуют снежинку Коха.

Представление номинально плоской поверхности на основе кривой Коха аналогичным образом может быть создано путем многократного сегментирования каждой линии в виде пилообразной структуры сегментов под заданным углом.

Фрактальная шероховатая поверхность, построенная из нескольких итераций кривой Коха.

Характеристики

Периметр снежинки Коха

Каждая итерация умножает количество сторон снежинки Коха на четыре, поэтому количество сторон после $n$ итерации задаются следующим образом:

$$N_{n}=3\cdot 4^{n}\,.$$

Если исходный равносторонний треугольник имеет стороны длиной $s$, длина каждой стороны снежинки после $n$ итерации:

$$S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,,$$

обратная в три степень, кратная исходной длине раза.Периметр снежинки после $n$ итерации:

$$P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$$

Кривая Коха имеет бесконечную длину , поскольку общая длина кривой увеличивается в раз. ${\tfrac {4}{3}}$ с каждой итерацией. На каждой итерации создается в четыре раза больше сегментов линий, чем на предыдущей итерации, причем длина каждого из них равна ${\tfrac {1}{3}}$ длина сегментов на предыдущем этапе. Следовательно, длина кривой после $n$ итерации будут $({\tfrac {4}{3}})^{n}$ раз превышает периметр исходного треугольника и не ограничен, так как $n$ стремится к бесконечности.

Предел периметра

Поскольку количество итераций стремится к бесконечности, предел периметра равен:

$$\lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,$$

с ${\tfrac {4}{3}}>1$.

Ан ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}$-мерная мера существует, но до сих пор не вычислена. Были изобретены только верхняя и нижняя границы.

Площадь снежинки Коха

На каждой итерации добавляется новый треугольник с каждой стороны предыдущей итерации, поэтому количество новых треугольников, добавленных за итерацию, $n$ является:

$$T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,$$

Площадь каждого нового треугольника, добавленного за итерацию, равна ${\tfrac {1}{9}}$ площади каждого треугольника, добавленного на предыдущей итерации, то есть площадь каждого треугольника, добавленного на итерации $n$ является:

$$a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.$$

где $a_{0}$ - площадь исходного треугольника. Общая новая площадь, добавленная за итерацию $n$ поэтому:

$$b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}$$

Общая площадь снежинки после $n$ итерации:

$$A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.$$

Сложение геометрической суммы дает:

$$A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.$$

Границы территории

Граница территории составляет:

$$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,$$

с ${\tfrac {4}{9}}<1$.

Таким образом, площадь снежинки Коха равна ${\tfrac {8}{5}}$ площади исходного треугольника. Выражается через длину стороны $s$ исходного треугольника это: $${\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.$$

Тело революции

Объем тела вращения снежинки Коха вокруг оси симметрии исходного равностороннего треугольника единичной стороны равен ${\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .$

Другие объекты недвижимости

Снежинка Коха самовоспроизводится: шесть меньших копий окружают одну большую копию в центре. Следовательно, это ирреп-тайл нереп-7 (см. Rep-тайле обсуждение в ).

Фрактальная размерность кривой Коха равна ${\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186$. Это больше, чем у линии ( $=1$), но меньше, чем у Пеано пространства кривой заполнения ( $=2$).

Невозможно провести касательную к какой-либо точке кривой.

Представление в виде кривой де Рама

Кривая Коха возникает как частный случай кривой де Рама . Кривые де Рама представляют собой отображения канторова пространства на плоскость, обычно расположенные так, чтобы образовывать непрерывную кривую. Каждая точка непрерывной кривой де Рама соответствует действительному числу в единичном интервале. Для кривой Коха кончики снежинки соответствуют диадическим рациональным числам : каждый кончик может быть однозначно помечен отдельным диадическим рациональным числом.

Тесселяция самолета

Тесселяция снежинкой Коха двух размеров.

Плоскость можно мозаикировать копиями снежинок Коха двух разных размеров. Однако такая мозаика невозможна, используя только снежинки одного размера. Поскольку каждую снежинку Коха в мозаике можно разделить на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти мозаику, в которой одновременно используется более двух размеров. Для замощения плоскости можно использовать снежинки Коха и антиснежинки Коха одинакового размера.

Последовательность Туэ – Морса и графика черепах

Изображение черепахи — это кривая, которая генерируется, если автомат запрограммирован с помощью последовательности.Если члены последовательности Туэ-Морса используются для выбора состояний программы:

• Если $t(n)=0$, продвинемся на одну единицу,
• Если $t(n)=1$, повернуть против часовой стрелки на угол ${\tfrac {\pi }{3}}$,

результирующая кривая сходится к снежинке Коха.

Представление в виде системы Линденмайера

Кривая Коха может быть выражена следующей системой переписывания ( системой Линденмайера ):

Алфавит : Ф

Константы : +, −

Аксиома : F

Правила производства :

Ф → Ф+Ф--Ф+Ф

Здесь F означает «натянуть вперед», - означает «повернуть направо на 60°», а + означает «повернуть налево на 60°».

Чтобы создать снежинку Коха, в качестве аксиомы можно было бы использовать F--F--F (равносторонний треугольник).

Варианты кривой Коха

Следуя концепции фон Коха, было разработано несколько вариантов кривой Коха, учитывающих прямые углы ( квадратичные ), другие углы ( Чезаро ), круги и многогранники , а также их расширения до более высоких измерений (Sphereflake и Kochcube соответственно).

Вариант ( размер , угол )	Иллюстрация	Строительство
≤1D, угол 60–90°	Фрактал Чезаро (85°)	Фрактал Чезаро — это вариант кривой Коха с углом от 60° до 90°. Первые четыре итерации антиснежинки Чезаро (четыре кривые по 60°, расположенные в квадрате по 90°)
≈1,46D, угол 90°	Квадратичная кривая типа 1	Первые две итерации
1,5D, угол 90°	Квадратичная кривая типа 2	Колбаса Минковского Первые две итерации. Его фрактальная размерность равна ${\tfrac {3}{2}}$ и находится ровно посередине между измерениями 1 и 2. Поэтому его часто выбирают при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов.
≤2D, угол 90°	Третья итерация	Остров Минковского Четыре квадратичные кривые типа 2, расположенные в квадрате
≈1,37D, угол 90°	Квадратичный отщеп	4 квадратичные кривые типа 1, расположенные в виде многоугольника: первые две итерации. Известная как « Колбаска Минковского ». его фрактальная размерность равна ${\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521$.
≤2D, угол 90°	Квадратичный антифлейк	анти Кривая -вышивки крестом , квадратичная чешуйка типа 1, с кривыми, обращенными внутрь, а не наружу ( фрактал Вичека )
≈1,49D, угол 90°	Квадратичный крест	Еще одна вариация. Его фрактальная размерность равна ${\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49$.
≤2D, угол 90°	Квадратичный остров	Квадратичная кривая, итерации 0, 1 и 2; измерение ${\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61$
≤2D, угол 60°	с поверхности Коха	Первые три итерации естественного расширения кривой Коха в двух измерениях.
≤2D, угол 90°	Первая (синий блок), вторая (плюс зеленые блоки), третья (плюс желтые блоки) и четвертая (плюс прозрачные блоки) итерации 3D квадратичного фрактала Коха типа 1.	Расширение квадратичной кривой первого типа. На иллюстрации слева показан фрактал после второй итерации. Анимация квадратичной поверхности
≤3D, любой	Кривая Коха в 3D	Трехмерный фрактал, построенный из кривых Коха. Форму можно рассматривать как трехмерное продолжение кривой в том же смысле, в каком пирамиду Серпинского и губку Менгера можно считать продолжением треугольника Серпинского и ковра Серпинского . Версия кривой, использованная для этой формы, использует углы 85°.

Квадраты можно использовать для создания подобных фрактальных кривых. Начав с единичного квадрата и добавляя к каждой стороне на каждой итерации квадрат размером в одну треть от квадратов на предыдущей итерации, можно показать, что и длина периметра, и общая площадь определяются геометрической прогрессией. Прогрессия области сходится к $2$ а прогрессия по периметру стремится к бесконечности, так что, как и в случае со снежинкой Коха, мы имеем конечную площадь, ограниченную бесконечной фрактальной кривой. Полученная область заполняет квадрат с тем же центром, что и оригинал, но вдвое большей площади и повернутый на ${\tfrac {\pi }{4}}$ радианы, периметр соприкасается, но никогда не перекрывается.

Общая площадь, охватываемая $n$итерация: $$A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,$$

а общая длина периметра равна: $$P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,$$который приближается к бесконечности как $n$ увеличивается.

Функционализация

График функции Коха

Помимо кривой, в статье Хельге фон Коха, в которой была установлена ​​кривая Коха, показано изменение кривой как пример непрерывной всюду , но нигде не дифференцируемой функции, которую в то время можно было представить геометрически. Из базовой прямой, представленной как AB, график можно построить, рекурсивно применив следующее к каждому сегменту:

• Разделите отрезок линии ( XY разделенные точками C и E. ) на три части одинаковой длины ,
• Проведите линию DM , где M — середина CE , а DM перпендикулярна начальному основанию AB , имеющую длину ${\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}$.
• Нарисуйте линии CD и DE и сотрите линии CE и DM .

каждая точка AB Можно показать, что сходится к одной высоте. Если $y=\phi (x)$ определяется как расстояние этой точки до начальной базы, тогда $\phi (x)$ как функция непрерывна всюду и нигде не дифференцируема.

См. также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Рог Гавриила (бесконечная площадь поверхности, но объем ограничен)
• Кривая Госпера (также известная как кривая Пеано-Госпера или кривая Змеи )
• Кривая Осгуда
• Самоподобие
• Терагон
• Функция Вейерштрасса
• Парадокс береговой линии

Дальнейшее чтение

• Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (2001) [1940]. «IX Изменение и изменчивость § Снежинка» . Математика и воображение . Дувр Пресс . стр. 344–351. ISBN  0-486-41703-4 .

Внешние ссылки

Внешние видео
Фрактал Коха Снежинка – Ханская Академия

• (2000) «Кривая фон Коха», компьютерная лаборатория efg в Wayback Machine (архивировано 20 июля 2017 г.)
• Стихотворение Бернта Валя «Кривая Коха» , Wahl.org . Проверено 23 сентября 2019 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Снежинка Коха» . Математический мир . Проверено 23 сентября 2019 г.
  • «7 итераций кривой Коха» . Вольфрама Альфа -сайт . Проверено 23 сентября 2019 г.
  • «Квадратные фрактальные кривые Коха» . Демонстрационный проект Wolfram . Проверено 23 сентября 2019 г.
  • «Квадратная фрактальная поверхность Коха» . Демонстрационный проект Wolfram . Проверено 23 сентября 2019 г.
• Применение кривой Коха к антенне
• Анимация WebGL, показывающая построение поверхности Коха , tchaumeny.github.io . Проверено 23 сентября 2019 г.
• «Математический анализ кривой Коха и квадратичной кривой Коха» (PDF) . Архивировано из оригинала (pdf) 26 апреля 2012 года . Проверено 22 ноября 2011 г.