Открытое состояние установки

открытое множество, покрывающее треугольник Серпинского вместе с одним из его отображений ψ _i .

Во фрактальной геометрии условие открытого множества ( OSC ) является обычно налагаемым условием для самоподобных фракталов. В некотором смысле это условие накладывает ограничения на перекрытие во фрактальной конструкции. В частности, для данной итерированной функциональной системы отображений сжимающих $\psi _{1},\ldots ,\psi _{m}$, условие открытого множества требует, чтобы существовало непустое открытое множество V, удовлетворяющее двум условиям:

1. $\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,$
2. Наборы $\psi _{1}(V),\ldots ,\psi _{m}(V)$ попарно не пересекаются.

Представлен в 1946 году компанией PAP Moran. условие открытого множества используется для вычисления размеров некоторых самоподобных фракталов, в частности «Прокладки Серпинского». Он также используется для упрощения расчета меры упаковки.

Эквивалентная формулировка условия открытого множества состоит в том, чтобы потребовать, чтобы s-мерная мера Хаусдорфа множества была больше нуля.

Вычисление размерности Хаусдорфа

Когда условие открытого множества выполняется и каждый $\psi _{i}$ является подобием (то есть композицией изометрии и расширения вокруг некоторой точки), то единственная фиксированная точка $\psi$ - это множество, хаусдорфова размерность которого является единственным решением : следующих задач

$\sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.$

где r _i — величина расширения подобия.

С помощью этой теоремы можно рассчитать размерность Хаусдорфа прокладки Серпинского. Рассмотрим три неколлинеарные точки a ₁ , a ₂ , a ₃ в плоскости R. ² и пусть $\psi _{i}$ быть расширением отношения 1/2 вокруг a _i . Единственная непустая неподвижная точка соответствующего отображения $\psi$ — прокладка Серпинского, а размерность s — единственное решение

$\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=3\left({\frac {1}{2}}\right)^{s}=1.$

Взяв натуральные логарифмы обеих частей приведенного выше уравнения, мы можем найти s , то есть: s = ln(3)/ln(2). Прокладка Серпинского является самоподобной и удовлетворяет требованиям OSC.

Сильное открытое состояние

Условие сильного открытого множества (SOSC) является расширением условия открытого множества. Фрактал F удовлетворяет SOSC, если в дополнение к удовлетворению OSC пересечение между F и открытым множеством V непусто. Эти два условия эквивалентны для самоподобных и самоконформных множеств, но не для некоторых классов других множеств, таких как функциональные системы с бесконечными отображениями и в неевклидовых метрических пространствах. В этих случаях SOCS действительно является более сильным условием.

См. также

• Набор Кантора
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Размерность Минковского – Булиганда
• Размер упаковки