Мультипликативный каскад

В математике мультипликативный каскад представляет собой фрактальное / мультифрактальное распределение точек, полученное посредством итеративного и мультипликативного случайного процесса .

Определение

Графики выше являются примерами мультипликативных каскадных мультифракталов.

Чтобы создать эти дистрибутивы, необходимо предпринять несколько шагов. Во-первых, мы должны создать решетку ячеек, которая будет нашим основным полем плотности вероятности.

Во-вторых, используется итерационный процесс для создания нескольких уровней решетки: на каждой итерации ячейки разбиваются на четыре равные части (ячейки). Затем каждой новой ячейке случайным образом присваивается вероятность из набора $\lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace$ без замены, где $p_{i}\in [0,1]$. Этот процесс продолжается до N- го уровня. Например, при построении такой модели до уровня 8 мы получаем 4 ⁸ массив ячеек.

В-третьих, ячейки заполняются следующим образом: вероятность занятости ячейки принимается как произведение собственных pi _клетки и всех ее родителей (до уровня 1). Схема отклонения Монте-Карло используется повторно до тех пор, пока не будет получена желаемая популяция клеток, следующим образом: координаты ячеек x и y выбираются случайным образом, и назначается случайное число от 0 до 1; затем ячейка ( x , y ) заполняется в зависимости от того, меньше ли присвоенное число (результат: не заполнено) или больше или равно (результат: заполнено) вероятности занятия ячейки.

Примеры

Три мультипликативных каскада.
Генераторы (слева направо): $\lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,1,1,0\rbrace$, $\lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,0.75,0.75,0.5\rbrace$, $\lbrace p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\rbrace =\lbrace 1,0.5,0.5,0.25\rbrace$

Чтобы построить приведенные выше графики, мы заполнили поле плотности вероятности 5000 точками в пространстве 256 × 256.

Пример поля плотности вероятности:

Фракталы, как правило, не инвариантны к масштабу и поэтому не могут считаться стандартными фракталами . Однако их можно считать мультифракталами . Размерности Реньи (обобщенные) можно предсказать теоретически. Это можно показать это как $N\rightarrow \infty$,

$D_{q}={\frac {\log _{2}\left(f_{1}^{q}+f_{2}^{q}+f_{3}^{q}+f_{4}^{q}\right)}{1-q}},$

где N – уровень измельчения сетки и,

$f_{i}={\frac {p_{i}}{\sum _{i}p_{i}}}.$

См. также

• Фрактальное измерение
• Размерность Хаусдорфа
• Масштабная инвариантность