Летний инструмент

Чтобы узнать о зданиях непрямоугольной архитектуры, см. Zome (архитектура) .

Zometool — это игрушечный конструктор , созданный в сотрудничестве Стива Баера (создателя архитектуры Zome) , художника Кларка Ричерта , Пола Хильдебрандта (нынешнего генерального директора Zometool) и соавтора Марка Пеллетье. Его производит компания Zometool, Inc. По словам компании, Zometool в первую очередь был разработан для детей. Zometool также использовался в других областях, включая математику и физику. Например, апериодические мозаики , такие как мозаики Пенроуза, можно моделировать с помощью Zometool. Инструмент обучения был разработан изобретателем-дизайнером Стивом Баером, его женой Холли и другими.

Ромбикосидодекаэдр

Zometool Пластиковый конструктор производится одноименной частной компанией, расположенной недалеко от Лонгмонта, штат Колорадо , и которая произошла от компании Бэра ZomeWorks. Его элементы состоят из небольших соединительных узлов и стоек различных цветов. Общая форма соединительного узла представляет собой неоднородный небольшой ромбикосидодекаэдр , каждая грань которого заменена небольшим отверстием. Концы стоек спроектированы таким образом, чтобы они помещались в отверстия узлов соединителя, что позволяет синтезировать самые разные конструкции. Идея кодирования формы трех типов стоек была разработана Марком Пеллетье и Полем Хильдебрандтом. Чтобы создать «шарики» или узлы, Пеллетье и Хильдебрандт изобрели систему из 62 гидравлических штифтов, которые соединялись вместе, образуя форму. Первый соединительный узел вышел из формы 1 апреля 1992 года.

За годы, прошедшие с 1992 года, Zometool расширила линейку своей продукции, хотя базовая конструкция соединительного узла не изменилась, поэтому все детали на сегодняшний день совместимы друг с другом. С 1992 по 2000 год Zometool производила комплекты с соединительными узлами и синими, желтыми и красными стойками. В 2000 году Zometool представила зеленые стойки, предложенные французским архитектором Фабьеном Вьеном , которые можно использовать для построения правильных тетраэдра и октаэдра. В 2003 году Zometool немного изменил стиль стоек. Стойки «с защелками» имеют другую текстуру поверхности, а также имеют более длинные выступы, которые обеспечивают более прочное соединение узла соединителя и стойки.

Характеристики

Стойка и шаровая опора Zometool

Цвет стойки Zometool связан с ее сечением, а также с формой отверстия узла разъема, в которое она входит. Каждая синяя стойка имеет прямоугольное поперечное сечение, каждая желтая стойка имеет треугольное поперечное сечение, а каждая красная стойка имеет пятиугольное поперечное сечение. Поперечное сечение зеленой стойки представляет собой ромб с соотношением сторон √2, но поскольку узлы соединителя не содержат отверстий в необходимых положениях, зеленые стойки вместо этого вписываются в любое из 12 пятиугольных отверстий с 5 возможными ориентациями для каждого отверстия, 60 возможные ориентации во всем; использовать их не так просто, как другие стойки.

В своих средних точках каждая из желтых и красных стоек имеет изгиб, при котором форма поперечного сечения меняется на противоположную. Эта конструктивная особенность заставляет узлы соединителей на концах стойки иметь одинаковую ориентацию. Аналогично, поперечное сечение синей стойки представляет собой неквадратный прямоугольник, что опять же гарантирует, что два узла на концах имеют одинаковую ориентацию. Вместо скручивания зеленые стойки имеют два изгиба, которые позволяют им входить в пятиугольные отверстия узла соединителя, находящиеся с небольшим смещением от оси стойки. ^{[ нужна ссылка ]}

Среди других мест слово зомэ происходит от термина зона. Система зомэ допускает не более 61 зоны. Формы поперечного сечения соответствуют цветам, а они, в свою очередь, соответствуют цветам зон. Таким образом, система зомэ имеет 15 синих зон, 10 желтых зон, 6 красных зон и 30 зеленых зон. Две фигуры связаны с синим цветом. Синие стойки прямоугольного сечения предназначены для размещения в тех же зонах, что и синие стойки, но их длина составляет половину длины синей стойки; поэтому эти стойки часто называют «полусиними» (и изначально они были голубого цвета). Сине-зеленые стойки с ромбическим поперечным сечением лежат в тех же зонах, что и зеленые стойки, но они сконструированы так, что соотношение ромбической сине-зеленой стойки к синей стойке составляет 1:1 (в отличие от зеленой стойки). √2:1). Из-за такого соотношения длин сине-зеленые стойки, имеющие ромбическое сечение, математически не принадлежат системе зомэ. ^{[ нужна ссылка ]}

Математика Zometools

Длины стоек подчиняются математической схеме: для любого цвета существуют длины, которые увеличиваются в постоянный коэффициент примерно в 1,618, число, которое соответствует так называемому « золотому сечению », которое обозначается греческой буквой фи ( $\varphi$ или $\phi$). Золотое сечение — это соотношение, при котором сумма двух величин равна отношению тех же величин, основанному на наибольшем значении двух чисел.

Таким образом,

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi$

Применение золотого сечения для системы зомэ заключается в том, что для каждого цвета

существует такая длина, что длина длинной стойки равна длине средней стойки, соединенной с короткой стойкой.

Другими словами, длина длинной стойки равна сумме длины средней стойки и длины короткой стойки.

Определение

Зоме определяется в терминах векторного пространства $\mathbb {R} ^{3}$, оснащенное стандартным внутренним произведением, также известным как трехмерное евклидово пространство.

Позволять $\varphi$ обозначим золотое сечение и пусть $H_{3}$ обозначим группу симметрии конфигурации векторов $(0,\pm \varphi ,\pm 1)$, $(\pm \varphi ,\pm 1,0)$, и $(\pm 1,0,\pm \varphi )$. Группа $H_{3}$, пример группы Коксетера , известен как группа икосаэдра, потому что это группа симметрии правильного икосаэдра, имеющего эти векторы в качестве вершин. Подгруппа $H_{3}$ состоящий из элементов с определителем 1 (т.е. вращений), изоморфен $A_{5}$.

Определите «стандартные синие векторы» как $A_{5}$-орбита вектора $(2,0,0)$. Определите «стандартные желтые векторы» как $A_{5}$-орбита вектора $(1,1,1)$. Определите «стандартные красные векторы» как $A_{5}$-орбита вектора $(0,\varphi ,1)$. «Стойкой» системы зоме является любой вектор, который можно получить из стандартных векторов, описанных выше, путем масштабирования в любой степени. $\varphi ^{n}$, где $n$ является целым числом. «Узлом» системы зомэ является любой элемент подгруппы $\mathbb {R} ^{3}$ создаваемый стойками. Наконец, «система зоме» — это совокупность всех пар $(N,S)$, где $N$ представляет собой набор узлов и $S$ это набор пар $(v,w)$ такой, что $v$ и $w$ находятся в $N$ и разница $v-w$ это стойка.

Тогда имеется 30, 20 и 12 стандартных векторов синего, желтого и красного цветов соответственно. Соответственно, подгруппа стабилизатора синей, желтой или красной стойки изоморфна циклической группе порядка 2, 3 или 5 соответственно. Следовательно, синие, желтые и красные стойки можно также описать как «прямоугольные», «треугольные» и «пятиугольные» соответственно.

Систему зомэ можно расширить за счет присоединения зеленых векторов. «Стандартные зеленые векторы» включают в себя $A_{5}$-орбита вектора $(2,2,0)$ а «зеленая стойка» - это любой вектор, который можно получить путем масштабирования стандартного зеленого вектора по любой целой степени. $\varphi ^{n}$. Как и выше, можно проверить наличие $|A_{5}|$=60 стандартных зеленых векторов. Затем можно улучшить систему зомэ, включив в нее эти зеленые стойки. Это не повлияет на набор узлов.

Определенная выше абстрактная система zome важна по следующему факту: каждая связанная модель zome имеет точное изображение в системе zome. Обратное утверждение верно лишь отчасти, но это обусловлено лишь законами физики. Например, радиус узла zometool положителен (в отличие от того, что математически узел представляет собой одну точку), поэтому невозможно создать модель zometool, в которой два узла разделены сколь угодно малым заданным расстоянием. Аналогичным образом, когда-либо будет изготовлено только конечное количество стоек, и зеленую стойку нельзя разместить в непосредственной близости от красной стойки или другой зеленой стойки, с которой она имеет одно и то же отверстие (даже если они математически различны).

Как система моделирования

Соединение пяти кубов, визуализированное в ZomeCAD.

Соединение пяти тетраэдров, визуализированное в vZome.

Система zome особенно полезна для моделирования одномерных скелетов высокосимметричных объектов в трехмерном и четырехмерном евклидовом пространстве. Наиболее известными среди них являются пять Платоновых тел и 4-мерные многогранники, связанные со 120-ячеечным и 600-ячеечным многогранниками . Однако с использованием системы zome можно моделировать многие другие математические объекты, в том числе:

• Три из четырех многогранников Кеплера-Пуансо.
• Правильные многогранные соединения
• Правильные четырехмерные многогранники и некоторые соединения
• Множество звездочек ромботриаконтаэдра
• Множество звездочек правильного икосаэдра
• Зоноэдры , особенно ромбический эннеаконтаэдр и ромбический триаконтаэдр.
• Гиперкубы размером 61 или меньше.
• Наиболее однородные многогранники (за исключением тех, которые сформированы с помощью операции прижима )
• Многие однородные 4-многогранники
• Торольда Госсета Исключительные полуправильные многогранники в 6, 7 и 8 измерениях.
• Некоторые твердые вещества Джонсона
• Конфигурация Дезарга
• Два каталонских тела
• Классические и исключительные корневые системы
• Триальность (из теории Ли)

Использование зомэ не ограничивается чистой математикой. Другие области применения включают изучение инженерных проблем, особенно структур стальных ферм, изучение некоторых молекулярных , нанотрубных и вирусных структур, а также создание поверхностей из мыльной пленки .

Дальнейшее чтение

• Стив Баер. Зоме Праймер. Корпорация Zomeworks, 1970 год.
• Дэвид Бут. Новый учебник Zome по пятикратной симметрии, Иштван Харгиттай (редактор). Всемирная научная издательская компания, 1992.
• Джордж Харт , Четырехмерная проекция многогранника. Труды Шестой международной конференции Общества искусства, математики и архитектуры Техасского университета A&M. Май 2007.
• Джордж Харт и Анри Пиччиотто. Геометрия Zome: практическое обучение с моделями Zome. Ключевая учебная программа, 2001. ISBN   1-55953-385-4 .
• Пол Р. Хильдебрандт и Марк Г. Пеллетье (1985). «Набор для геометрического моделирования и способ его изготовления» . Патент США № 4701131.
• Пауль Хильдебрандт. Скульптура в стиле Зоме. Труды, Мосты в Лондоне: связи между математикой, искусством и музыкой , Реза Сарханги и Джон Шарп (редакторы). (2006) 335–342.
• Дэвид А. Рихтер. Два результата, касающиеся модели Zome с 600 ячейками. Труды, «Ренессанс Банф: математические связи между математикой, искусством и музыкой» , Роберт Муди и Реза Сарханги (редакторы). (2005) 419–426.
• Дэвид А. Рихтер и Скотт Вортманн. Зеленые кватернионы, устойчивая симметрия и октаэдрический зом. Труды, Мосты в Лондоне: связи между математикой, искусством и музыкой , Реза Сарханги и Джон Шарп (редакторы). (2006) 429–436.
• Стивен Ф. Роджерс и Пол Р. Хильдебрандт (2002) «Соединения для комплекта геометрического моделирования» . Патент США № 6840699 B2.

Внешние ссылки

• Zome Geometry Джорджа Харта и Анри Пиччиотто .
• Zometool - Сайт производителя.
• Японский клуб Zome (на японском языке)
• Вайсштейн, Эрик В. «Зоме» . Математический мир .

Программное обеспечение

• vZome