Эксфера (многогранники)

В геометрии эксфера грани правильного многогранника — это сфера вне многогранника, которая касается грани и плоскостей, определяемых расширением соседних граней наружу. Она касается грани снаружи и касается прилегающих граней внутри.

Это трехмерный эквивалент вписанной окружности .

В целом сфера четко определена для любого лица, которое является правильным.многоугольник и ограничен гранями с одинаковыми двугранными угламина общих краях. Грани полуправильных многогранников часто имеют разные типы лиц, которые определяют сферы разного размера для каждого типа лица.

Параметры

Эксфера касается грани правильного многогранника в центре.круга этого лица. Если радиус эксферы обозначается r _ex , то радиус этой вписанной окружности r _в и двугранный угол между гранью и продолжением соседняя грань δ , центр эксферырасположен с точки зрения в середине одного краягрань, разделив двугранный угол пополам. Поэтому

$\tan {\frac {\delta }{2}}={\frac {r_{\mathrm {ex} }}{r_{\mathrm {in} }}}.$

δ — дополнение на 180 градусов к внутренний угол между гранями.

Тетраэдр

Применительно к геометрии тетраэдра с длиной ребра a ,у нас есть радиус вписанной окружности r _in = a /(2 √ 3 ) (полученный путем двойного деления площади лица ( a ² √ 3 )/4 черезпериметр 3 a ), двугранный угол δ = π - arccos(1/3) и, как следствие, r _ex = a / √ 6 .

Куб

Радиус сфер шести граней Куба равен радиусу вписанногосфера, поскольку δ и ее дополнение одинаковы, 90 градусов.

Икосаэдр

Двугранный угол, применимый к икосаэдру, получается по формулерассматривая координаты двух треугольников с общим ребром,например одна грань с вершинамив

$(0,-1,g),(g,0,1),(0,1,g),$

другой в

$(1,-g,0),(g,0,1),(0,-1,g),$

где g — золотое сечение . Вычитание координат вершинопределяет векторы ребер,

$(g,1,1-g),(-g,1,g-1)$

первого лица и

$(g-1,g,1),(-g,-1,g-1)$

другого. Перекрестные произведения ребер первой грани и второйвыход грани (не нормализованный) векторы нормали грани

$(2g-2,0,2g)\sim (g-1,0,g)$

первого и

$(g^{2}-g+1,-g-(g-1)^{2},1-g+g^{2})=(2,-2,2)\sim (1,-1,1)$

второй грани, используя g ² =1+г .Скалярное произведение этих двух нормалей граней дает косинус.двугранного угла,

$\cos \delta ={\frac {(g-1)\cdot 1+g\cdot 1}{{\sqrt {(g-1)^{2}+g^{2}}}{\sqrt {3}}}}={\frac {2g-1}{3}}={\frac {\surd 5}{3}}\approx 0.74535599.$ ОЭИС : A208899

$\therefore \delta \approx 0.72973\,\mathrm {rad} \approx 41.81^{\circ }$

$\therefore \tan {\frac {\delta }{2}}={\frac {\sin \delta }{1+\cos \delta }}={\frac {2}{3+\surd 5}}\approx 0.3819660$ ОЭИС : A132338

Для икосаэдра с длиной ребра a радиус вписанной окружности треугольных граней равен r _in = a /(2 √ 3 ) и, наконец, радиус 20 эксфер.

$r_{\mathrm {ex} }={\frac {a}{(3+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}}}\approx 0.1102641a.$

См. также

• Вдохновлять

Внешние ссылки

• Гербер, Леон (1977). «Ассоциированные и косоортологические симплексы» . Пер. Являюсь. Математика. Соц . 231 (1): 47–63. дои : 10.1090/S0002-9947-1977-0445393-6 . JSTOR   1997867 . МР   0445393 .
• Хаджа, Моваффак (2005). «Центры Жергонна и Нагеля n-мерного симплекса». Дж. Геом . 83 (1–2): 46–56. дои : 10.1007/s00022-005-0011-3 . S2CID   123076195 .