Хилл тетраэдр

В геометрии представляют тетраэдры Хилла собой семейство , заполняющих пространство тетраэдров . Они были открыты в 1896 году М. Дж. М. Хиллом , профессором математики Университетского колледжа Лондона что они ножнично-конгруэнтны кубу , который показал , .

Строительство

Для каждого $\alpha \in (0,2\pi /3)$ , позволять $v_{1},v_{2},v_{3}\in \mathbb {R} ^{3}$ быть тремя единичными векторами с углом $\alpha$ между каждыми двумя из них.Дайте определение тетраэдра Хилла. $Q(\alpha )$ следующее:

Q(\alpha )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1}\leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.

Особый случай $Q=Q(\pi /2)$ тетраэдр, у которого все стороны прямоугольные треугольники, два со сторонами $(1,1,{\sqrt {2}})$ и два с боками $(1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ . Людвиг Шлефли учился $Q$ как частный случай ортосхемы , а Х. С. М. Коксетер назвал ее характерным тетраэдром кубического заполнения пространства.

Характеристики

Куб можно замостить шестью копиями $Q$ . ^[1]
Каждый $Q(\alpha )$ можно разрезать на три многогранника, которые можно снова собрать в призму .

Обобщения

В 1951 году Хьюго Хадвигер нашел следующее n -мерное обобщение тетраэдров Хилла:

Q(w)\,=\,\{c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n}v_{n}\mid 0\leq c_{1}\leq \cdots \leq c_{n}\leq 1\},

где векторы $v_{1},\ldots ,v_{n}$ удовлетворить $(v_{i},v_{j})=w$ для всех $1\leq i<j\leq n$ , и где $-1/(n-1)<w<1$ . Хадвигер показал, что все такие симплексы ножнично конгруэнтны гиперкубу .

Ссылки

^ «Тетраэдры, заполняющие пространство — демонстрационный проект Вольфрама» .

М. Дж. М. Хилл, Определение объемов некоторых видов тетраэдров без применения метода пределов, Учеб. Лондонская математика. Соц. , 27 (1895–1896), 39–53.
Х. Хадвигер , Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Лиссабон) , 12 (№ 50, 1951), 47–48.
HSM Coxeter , Frieze Patterns , Acta Arithmetica 18 (1971), 297–310.
Э. Гертель, Две отметки тетраэдра Хилла, J. Geom 71 (2001), № 1–2, 68–77.
Грег Н. Фредериксон, Рассечение: плоскость и фантазия , издательство Кембриджского университета, 2003.
NJA Слоан , В.А. Вайшампаян, Обобщения тетраэдрического рассечения Шоби , arXiv : 0710.3857 .

Внешние ссылки

[1] «Тетраэдры, заполняющие пространство — демонстрационный проект Вольфрама» .

[1]