Целочисленный треугольник

Геронов треугольник с длинами сторон c , e и b + d и высотой a , все целые числа.

Целочисленный треугольник или целочисленный треугольник — это треугольник, все длины сторон которого являются целыми числами . — Рациональный треугольник это треугольник, длины сторон которого являются рациональными числами ; любой рациональный треугольник можно масштабировать по наименьшему общему знаменателю сторон, чтобы получить аналогичный целочисленный треугольник, поэтому существует тесная связь между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками.

другие определения термина «рациональный треугольник» Иногда используются : Кармайкл (1914) и Диксон (1920) используют этот термин для обозначения геронова треугольника (треугольника с целыми или рациональными длинами сторон и площадью); Конвей и Гай (1996) определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и рациональными углами, измеряемыми в градусах; единственные такие треугольники — это равносторонние треугольники с рациональными сторонами .

Общие свойства целочисленного треугольника

Целочисленные треугольники с заданным периметром

Любая тройка натуральных чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет неравенству треугольника : самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, единственный с точностью до сравнения . количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с периметром p — это количество разбиений p Таким образом , на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. Это целое число, ближайшее к $p^{2}/48$ когда p четно ​ и $(p+3)^{2}/48$ когда p нечетно ​ . Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами $p=2n$ равно количеству целочисленных треугольников с нечетными периметрами. $p=2n-3.$ Таким образом, не существует целочисленного треугольника с периметром 1, 2 или 4, одного с периметром 3, 5, 6 или 8 и двух с периметром 7 или 10. Последовательность количества целочисленных треугольников с периметром p , начиная с $p=1,$ является:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8... (последовательность A005044 в OEIS )

Это называется последовательностью Алкуина .

Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной

Количество целочисленных треугольников (с точностью до равенства) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой. $(a,b,c)$ — количество целочисленных троек таких, что $a+b>c$ и $a\leq b\leq c.$ Это целое значение $\lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .$ Альтернативно, для четного c это двойное треугольное число. ${\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}$ и для нечетного c это квадрат ${\tfrac {1}{4}}(c+1).$ Это также означает, что количество целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает количество целочисленных треугольников с наибольшей стороной c − 2 на c . Последовательность количества неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной c , начиная с c = 1, такова:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90... (последовательность A002620 в OEIS )

Количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой ( a , b , c ), лежащих на полукруге диаметра c или внутри него, — это количество целочисленных троек таких, что a + b > c , a ² + б ² ≤ с ² и а ≤ б ≤ с . Это также количество целосторонних тупых или прямоугольных (неострых ) треугольников с наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c = 1, следующая:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48... (последовательность A236384 в OEIS )

Следовательно, разница между двумя вышеуказанными последовательностями дает количество остроугольных треугольников с целыми сторонами (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c = 1, следующая:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52... (последовательность A247588 в OEIS )

Площадь целочисленного треугольника

По формуле Герона , если T — площадь треугольника, стороны которого имеют длины a , b и c, то

$4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.$

Поскольку все члены под радикалом в правой части формулы являются целыми числами, из этого следует, что все целочисленные треугольники должны иметь целое значение 16T. ² и Т ² будет рациональным.

Углы целочисленного треугольника

По закону косинусов каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус . Каждый угол целочисленного прямоугольного треугольника также имеет рациональный синус (см. тройку Пифагора ).

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию , то один из его углов должен быть равен 60°. Для целочисленных треугольников остальные углы также должны иметь рациональные косинусы, и метод построения таких треугольников приведен ниже. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которых образуют либо геометрическую , либо гармоническую прогрессию . Это потому, что такие углы должны быть рациональными углами вида $\pi p/q$ с рациональным $0<p/q<1.$ Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, а это произойдет только тогда, когда $p/q=1/3.$ т.е. целочисленный треугольник равносторонний.

Квадрат каждой биссектрисы внутреннего угла целочисленного треугольника рационален, потому что общая формула треугольника для биссектрисы внутреннего угла угла A равна ${\textstyle 2{\sqrt {bcs(s-a)}}{\big /}(b+c)}$ где s — полупериметр (как и для биссектрис остальных углов).

Сторона разделена по высоте

Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или ее продолжение, разделит эту сторону или ее продолжение на рациональные длины.

медианы

Квадрат удвоенной любой медианы целочисленного треугольника является целым числом, поскольку общая формула квадрата медианы m _a ² в сторону а есть ${\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})$, давая (2 м _а ) ² = 2 б ² + 2 с ² − а ² (а также для медиан других сторон).

Окружной радиус и внутренний радиус

Поскольку квадрат площади целочисленного треугольника рационален, квадрат его радиуса описанной окружности также рационален, как и квадрат внутреннего радиуса .

Отношение внутреннего радиуса к описанному радиусу целочисленного треугольника рационально и равно $4T^{2}/sabc$ для полупериметра s и площади T .

Произведение внутреннего радиуса и описанного радиуса целочисленного треугольника рационально и равно $abc{\big /}2(a+b+c).$

Таким образом, квадрат расстояния между центром и центром описанной окружности целочисленного треугольника, определяемый теоремой Эйлера как $R^{2}-2Rr$ является рациональным.

Героновы треугольники

Основная статья: Геронов треугольник

Треугольник Герона, также известный как треугольник Герона или треугольник Герона , представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью.

Все героновы треугольники можно разместить на решетке , каждая вершина которой находится в точке решетки. Более того, если на решетке можно разместить целочисленный треугольник, в котором каждая вершина находится в точке решетки, он должен быть героновским.

Общая формула

Каждый геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные

$a=n(m^{2}+k^{2})$

$b=m(n^{2}+k^{2})$

$c=(m+n)(mn-k^{2})$

${\text{Semiperimeter}}=mn(m+n)$

${\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})$

для целых чисел m , n и k с учетом ограничений:

$\gcd {(m,n,k)}=1$

$mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)$

$m\geq n\geq 1.$

Коэффициент пропорциональности, как правило, является рациональным $p/q$ где q = НОД ( a , b , c ) сводит сгенерированный геронов треугольник к его примитиву и $p$ масштабирует этот примитив до необходимого размера.

Пифагорейские треугольники

Основная статья: тройка Пифагора

Треугольник Пифагора прямоугольный и геронов. Его три целые стороны известны как пифагорова тройка или пифагорейская тройка или пифагорейская триада . Все пифагоровы тройки $(a,b,c)$ с гипотенузой $c$ которые являются примитивными (стороны не имеют общего фактора ), могут быть созданы с помощью

$a=m^{2}-n^{2},\,$

$b=2mn,\,$

$c=m^{2}+n^{2},\,$

${\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,$

${\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,$

где m и n — взаимно простые целые числа, и одно из них четно при m > n .

Каждое четное число больше 2 может быть катетом пифагорова треугольника (не обязательно примитивным), потому что, если катет задан формулой $a=2m$ и мы выбираем $b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1$ как другой катет, то гипотенуза $c=m^{2}+1$. По сути, это формула генерации, приведенная выше, с $n$ установить на 1 и разрешить $m$ находиться в диапазоне от 2 до бесконечности.

Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы

Не существует примитивных треугольников Пифагора с целой высотой от гипотенузы. Это потому, что удвоенная площадь равна произведению любого основания на соответствующую высоту: 2-кратная площадь, таким образом, равна ab и cd , где d — высота от гипотенузы c . Три стороны примитивного треугольника взаимно просты, поэтому $d=ab/c$ находится в полностью восстановленном виде; поскольку c не может равняться 1 для любого примитивного треугольника Пифагора, d не может быть целым числом.

Однако любой треугольник Пифагора с катетами x , y и гипотенузой z может создать треугольник Пифагора с целочисленной высотой, увеличив стороны на длину гипотенузы z . Если d - высота, то сгенерированный треугольник Пифагора с целочисленной высотой определяется выражением

$(a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,$

Следовательно, все треугольники Пифагора с катетами a и b , гипотенузой c и целой высотой d от гипотенузы, с $\gcd(a,b,c,d)=1$, которые обязательно удовлетворяют как a ² + б ² = с ² и ${\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}$, генерируются

$a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,$

$b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,$

$c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,$

$d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,$

${\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,$

${\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,$

для взаимно простых целых чисел m , n с m > n .

Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии.

Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда стороны равны ( b – d , b , b + d ), где

$b=2(m^{2}+3n^{2})/g,$

$d=(m^{2}-3n^{2})/g,$

и где g — наибольший общий делитель $m^{2}-3n^{2},$ $2mn,$ и $m^{2}+3n^{2}.$

Героновы треугольники, у которых один угол в два раза равен другому

Все героновы треугольники с B = 2 A порождены формулой или

${\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}$

с целыми числами k , s , r такими, что $s^{2}>3r^{2},$ или

${\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}$

с целыми числами q , u , v такими, что $v>u$ и $v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.$

Никакие героновы треугольники с B = 2 A не являются равнобедренными или прямоугольными треугольниками, поскольку все результирующие комбинации углов порождают углы с нерациональными синусами , давая нерациональную площадь или сторону.

Равнобедренные героновы треугольники

Все равнобедренные героновы треугольники разложимы. Они образуются путем соединения двух конгруэнтных треугольников Пифагора по одной из их общих катетов так, что равные стороны равнобедренного треугольника являются гипотенузами пифагорейских треугольников, а основание равнобедренного треугольника в два раза больше другого катета Пифагора. Следовательно, каждый треугольник Пифагора является строительным блоком для двух равнобедренных треугольников Герона, поскольку соединение может осуществляться по любой стороне.Все пары равнобедренных героновских треугольников задаются рациональными кратными

$a=2(u^{2}-v^{2}),$

$b=u^{2}+v^{2},$

$c=u^{2}+v^{2},$

и

$a=4uv,$

$b=u^{2}+v^{2},$

$c=u^{2}+v^{2},$

для взаимно простых целых чисел u и v , где u > v и u + v нечетно.

Героновы треугольники, периметр которых в четыре раза больше простого числа.

Было показано, что геронов треугольник, периметр которого в четыре раза больше простого числа, однозначно связан с простым числом и что это простое конгруэнтно число $1$ или $3$ модуль $8$. Хорошо известно, что такое простое число $p$ можно однозначно разбить на целые числа $m$ и $n$ такой, что $p=m^{2}+2n^{2}$ (см. идонеальные числа Эйлера ). Более того, было показано, что такие героновы треугольники являются примитивными, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть равна простому числу, составляющему одну четверть его периметра.

Следовательно, все примитивные героновы треугольники, периметр которых в четыре раза больше простого числа, могут быть порождены формулой

$a=m^{2}+2n^{2}$

$b=m^{2}+4n^{2}$

$c=2(m^{2}+n^{2})$

${\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})$

${\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})$

для целых чисел $m$ и $n$ такой, что $m^{2}+2n^{2}$ является простым числом.

Кроме того, факторизация площади $2mnp$ где $p=m^{2}+2n^{2}$ является простым. Однако площадь геронова треугольника всегда делится на $6$. Это дает результат, что независимо от того, когда $m=1$ и $n=1,$ что дает $p=3,$ все остальные пары $m$ и $n$ должен иметь $m$ нечетное, и только одно из них делится на $3$.

Героновы треугольники с рациональными биссектрисами.

Если в героновом треугольнике биссектриса $w_{a}$ угла $\alpha$, биссектриса угла $w_{b}$ угла $\beta$ и биссектриса угла $w_{c}$ угла $\gamma$ иметь рациональные отношения с тремя сторонами, то не только $\alpha ,\beta ,\gamma$ но и ${\tfrac {1}{2}}\alpha$, ${\tfrac {1}{2}}\beta$ и ${\tfrac {1}{2}}\gamma$ должны быть углы Герона . А именно, если оба угла ${\tfrac {1}{2}}\alpha$ и ${\tfrac {1}{2}}\beta$ тогда они героновцы ${\tfrac {1}{2}}\gamma$, дополнение ${\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta$, также должен быть углом Герона, так что все три биссектрисы рациональны. Это также очевидно, если умножить:

$w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}$

вместе. А именно, благодаря этому получается:

$w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},$

где $s$ обозначает полупериметр, а $J$ площадь треугольника.

Все героновы треугольники с рациональными биссектрисами порождаются формулой

$a=mn(p^{2}+q^{2})$

$b=pq(m^{2}+n^{2})$

$c=(mq+np)(mp-nq)$

${\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)$

$s-a=mq(mp-nq)$

$s-b=np(mp-nq)$

$s-c=nq(mq+np)$

${\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)$

где $m,n,p,q$ таковы, что

$m=t^{2}-u^{2}$

$n=2tu$

$p=v^{2}-w^{2}$

$q=2vw$

где $t,u,v,w$ — произвольные целые числа такие, что

$t$ и $u$ сопростые,

$v$ и $w$ копрайм.

Героновы треугольники с целыми внутренними и внешними радиусами

Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных героновских (непифагорейских) треугольников с целыми радиусами вписанной и каждой вписанной окружностей . Семейство разложимых задается формулой

$a=4n^{2}$

$b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)$

$c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)$

$r=2n-1$

$r_{a}=2n+1$

$r_{b}=2n^{2}$

$r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);$

а семейство неразложимых задается формулой

$a=5(5n^{2}+n-1)$

$b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)$

$c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)$

$r=5n-2$

$r_{a}=5n+3$

$r_{b}=5n^{2}+n-1$

$r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).$

Героновы треугольники как грани тетраэдра

Существуют тетраэдры , имеющие целочисленный объём и треугольники Герона в качестве граней . В одном примере одно ребро равно 896, противоположное ребро — 190, а остальные четыре ребра — 1073; две грани имеют площадь 436800, а две другие — 47120, а объём — 62092800.

Героновы треугольники в двумерной решетке

Двумерная решетка — это регулярный массив изолированных точек, где, если какая-либо одна точка выбрана в качестве декартова начала координат (0, 0), то все остальные точки находятся в точке ( x, y ), где x и y варьируются во всех положительных и отрицательных целых числах. . Треугольник решетки — это любой треугольник, нарисованный внутри двумерной решетки, все вершины которого лежат в точках решетки. По теореме Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая является либо целым, либо полуцелым числом (имеет знаменатель 2). Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то он геронов с целой площадью.

Более того, было доказано, что все героновы треугольники можно нарисовать как решетчатые треугольники. Следовательно, целочисленный треугольник является героновским тогда и только тогда, когда его можно изобразить в виде решетчатого треугольника.

Существует бесконечно много примитивных героновских (непифагорейских) треугольников, которые можно разместить на целочисленной решетке со всеми вершинами, центром в центре и всеми тремя эксцентрами в точках решетки. Два семейства таких треугольников — это те, у которых параметризация указана выше в #героновских треугольниках с целыми внутренними радиусами и эксрадиусами .

Целочисленные автомедианные треугольники

Основная статья: Автомедиан треугольник

Автомедианный треугольник — это треугольник, медианы которого находятся в тех же пропорциях (в обратном порядке), что и стороны. Если x , y и z — три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания размера, и если 2 x < z , то z , x + y и y − x — три стороны автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 можно использовать таким образом, чтобы сформировать наименьший нетривиальный (т. е. неравносторонний) целочисленный автомедианный треугольник с длинами сторон 13, 17 и 7.

Следовательно, используя формулу Евклида , которая генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники как

$a=|m^{2}-2mn-n^{2}|$

$b=m^{2}+2mn-n^{2}$

$c=m^{2}+n^{2}$

с $m$ и $n$ взаимно простые и $m+n$ странно, и $n<m<n{\sqrt {3}}$ (если количество внутри знаков абсолютного значения отрицательное) или $m>(2+{\sqrt {3}})n$ (если эта величина положительна), чтобы удовлетворить неравенству треугольника .

Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию . Конкретно, $c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}$ так $2c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Целочисленные треугольники с определенными свойствами угла

Целочисленные треугольники с рациональной биссектрисой

Семейство треугольников с целыми сторонами $a,b,c$ и с рациональной биссектрисой $d$ угла A определяется выражением

$a=2(k^{2}-m^{2}),$

$b=(k-m)^{2},$

$c=(k+m)^{2},$

$d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},$

с целыми числами $k>m>0$.

Целочисленные треугольники с целыми n -секторами всех углов

Существует бесконечно много неподобных треугольников , у которых три стороны и биссектрисы каждого из трёх углов целые числа.

Существует бесконечно много неподобных треугольников, у которых три стороны и два трисектора каждого из трёх углов являются целыми числами.

Однако при n > 3 не существует треугольников, в которых три стороны и ( n – 1) n -сектора каждого из трех углов являются целыми числами.

Целочисленные треугольники с одним углом и заданным рациональным косинусом

Некоторые целочисленные треугольники с одним углом в вершине A, имеющие рациональный косинус h / k ( h <0 или > 0; k > 0), имеют вид

$a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},$

$b=p^{2}-q^{2}k^{2},$

$c=2qk(p-qh),$

где p и q — любые взаимно простые положительные целые числа такие, что p > qk .

Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии)

Все целочисленные треугольники с углом 60° имеют углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны:

$a=4mn,$

$b=3m^{2}+n^{2},$

$c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|$

с взаимно простыми целыми числами m , n и 1 ≤ n ≤ m или 3 m ≤ n . Отсюда все примитивные решения можно получить путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60° также могут быть созданы с помощью

$a=m^{2}-mn+n^{2},$

$b=2mn-n^{2},$

$c=m^{2}-n^{2},$

с взаимно простыми целыми числами m , n с 0 < n < m (угол 60° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель (например, решение равностороннего треугольника получается, если взять m = 2 и n = 1 , но это дает a = b = c = 3 , что не является примитивным решением). См. также

Точнее, если $m\equiv -n\!{\pmod {3}}$, затем $\gcd(a,b,c)=3$, в противном случае $\gcd(a,b,c)=1$. Две разные пары $(m,n)$ и $(m,m-n)$ сгенерировать ту же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь gcd, равный 3, поэтому мы не можем избежать дублирования, просто пропустив этот случай. Вместо этого дубликатов можно избежать, $n$ собираюсь только до $m/2$. Нам все равно нужно разделить на 3, если НОД равен 3. Единственное решение для $n=m/2$ при вышеуказанных ограничениях $(3,3,3)\equiv (1,1,1)$ для $m=2,n=1$. Благодаря этому дополнительному $n\leq m/2$ ограничением все тройки могут быть сгенерированы однозначно.

Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, которые представляют собой длины сторон треугольника, один из углов которого равен 60 градусам.

Целочисленные треугольники с углом 120°.

Целочисленные треугольники с углом 120° можно построить с помощью

$a=m^{2}+mn+n^{2},$

$b=2mn+n^{2},$

$c=m^{2}-n^{2},$

с взаимно простыми целыми числами m , n с 0 < n < m (угол 120° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения можно получить путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель. Наименьшее решение для m = 2 и n = 1 — это треугольник со сторонами (3,5,7). См. также.

Точнее, если $m\equiv n\!{\pmod {3}}$, затем $\gcd(a,b,c)=3$, в противном случае $\gcd(a,b,c)=1$. Поскольку наибольшую сторону а можно получить только с помощью одного $(m,n)$ каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с НОД, равным 1, и один раз косвенно с НОД, равным 3. Следовательно, чтобы сгенерировать все примитивные тройки однозначно, можно просто добавить дополнительные $m\not \equiv n\!{\pmod {3}}$ состояние.

Целочисленные треугольники, у которых один угол равен произведению произвольного рационального числа на другой угол.

Для положительных взаимно простых целых чисел h и k треугольник со следующими сторонами имеет углы $h\alpha$, $k\alpha$, и $\pi -(h+k)\alpha$ и, следовательно, два угла в отношении h : k , а его стороны целые числа:

$a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},$

$b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},$

$c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},$

где $\alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}$ а p и q — любые взаимно простые целые числа такие, что $\cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1$.

Целочисленные треугольники, у которых один угол в два раза равен другому

С углом А противоположная сторона $a$ и угол B противоположная сторона $b$, некоторые треугольники с B = 2 A порождаются

$a=n^{2},$

$b=mn,$

$c=m^{2}-n^{2},$

с целыми числами m , n такими, что 0 < n < m < 2 n .

Все треугольники с B = 2 A (целые или нет) удовлетворяют $a(a+c)=b^{2}.$

Целочисленные треугольники, у которых один угол в 3/2 раза больше другого.

Класс эквивалентности подобных треугольников с $B={\tfrac {3}{2}}A$ генерируются

$a=mn^{3},$

$b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),$

$c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},$

с целыми числами $m,n$ такой, что $0<\varphi n<m<2n$, где $\varphi$ это золотое сечение ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$.

Все треугольники с $B={\tfrac {3}{2}}A$ (с целыми сторонами или нет) удовлетворяют $(b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.$

Целые треугольники, у которых один угол трижды другой

Мы можем сгенерировать класс полной эквивалентности подобных треугольников, удовлетворяющих условию B = 3 A, используя формулы

$a=n^{3},\,$

$b=n(m^{2}-n^{2}),\,$

$c=m(m^{2}-2n^{2}),\,$

где $m$ и $n$ являются целыми числами такими, что ${\sqrt {2}}n<m<2n$.

Все треугольники с B = 3 A (с целыми сторонами или нет) удовлетворяют $ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).$

Целочисленные треугольники с тремя рациональными углами

Единственный целочисленный треугольник с тремя рациональными углами (рациональными числами градусов или, что эквивалентно, рациональными долями полного оборота) — это равносторонний треугольник . Это связано с тем, что целые стороны подразумевают три рациональных косинуса по закону косинусов , а по теореме Нивена рациональный косинус совпадает с рациональным углом тогда и только тогда, когда косинус равен 0, ±1/2 или ±1. Единственные из них, дающие угол строго между 0° и 180°, - это значение косинуса 1/2 при угле 60°, значение косинуса –1/2 при угле 120° и значение косинуса 0 при угле 90°. °. Единственная комбинация трех из них, позволяющая многократно использовать любой из них и суммировать до 180°, — это три угла по 60°.

Целочисленные треугольники с целым отношением описанного радиуса к внутреннему радиусу

известны условия, В терминах эллиптических кривых при которых целочисленный треугольник имеет целое отношение N радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу . Наименьший случай равностороннего треугольника имеет N = 2. В каждом известном случае $N\equiv 2\!{\pmod {8}}$ - то есть, $N-2$ делится на 8.

Пары треугольников 5-Con

Основная статья: Треугольники 5-Con

Пара треугольников 5-Con — это пара треугольников, которые похожи , но не конгруэнтны и имеют три угла и две длины сторон. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различные целочисленные стороны (каждая из двух сторон встречается в обоих треугольниках и еще одна сторона в каждом треугольнике) не имеют общего простого делителя, имеют тройки сторон.

$(x^{3},x^{2}y,xy^{2})$ и $(x^{2}y,xy^{2},y^{3})$

для положительных взаимно простых целых чисел x и y . Самый маленький пример — пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), порожденная x = 2, y = 3.

Особые целочисленные треугольники

• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для сторон и площади имеет стороны (3, 4, 5) и площадь 6.
• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон имеет стороны (13, 14, 15) и высоту со стороны 14, равную 12.
• Треугольник (2, 3, 4) и кратные ему треугольники — единственные треугольники с целыми сторонами в арифметической прогрессии и обладающие свойством дополнительного внешнего угла. Это свойство гласит, что если угол C тупой и если отрезок опущен из B и встречается перпендикулярно AC, продолженному в точке P, то ∠CAB=2∠CBP.
• Треугольник (3, 4, 5) и кратные ему числа — единственные целочисленные прямоугольные треугольники, стороны которых находятся в арифметической прогрессии.
• Треугольник (4, 5, 6) и кратные ему треугольники — единственные треугольники, у которых один угол вдвое больше другого и имеют целые стороны в арифметической прогрессии.
• Треугольник (3, 5, 7) и кратные ему числа — единственные треугольники с углом 120° и целыми сторонами в арифметической прогрессии.
• Единственный целочисленный треугольник, площадь которого равна полупериметру. имеет стороны (3, 4, 5).
• Единственные целочисленные треугольники с площадью = периметру имеют стороны. (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) и (9, 10, 17). Из них первые два, но не последние три, представляют собой прямоугольные треугольники.
• Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианами . Самый маленький имеет стороны (68, 85, 87). Другие включают (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
• Равнобедренных треугольников Пифагора не существует.
• Единственные примитивные пифагорейские треугольники, у которых квадрат периметра равен целому числу, кратному площади, - это (3, 4, 5) с периметром 12 и площадью 6 и с отношением квадрата периметра к площади 24; (5, 12, 13) с периметром 30 и площадью 30 и отношением квадрата периметра к площади 30; и (9, 40, 41) с периметром 90 и площадью 180 и отношением квадрата периметра к площади 45.
• Существует единственная (с точностью до подобия) пара рационального прямоугольного треугольника и рационального равнобедренного треугольника, имеющих одинаковый периметр и одинаковую площадь. Уникальная пара состоит из треугольника (377, 135, 352) и треугольника (366, 366, 132). Пары таких треугольников не существует, если требуется, чтобы треугольники также были примитивными целочисленными треугольниками. Авторы подчеркивают тот поразительный факт, что второе утверждение можно доказать элементарной аргументацией (они делают это в приложении А), тогда как первое утверждение требует современной весьма нетривиальной математики.

См. также

• Треугольник Брахмагупты , треугольник Герона , в котором длины сторон являются последовательными целыми числами.
• Пятиугольник Роббинса — вписанный пятиугольник с целыми сторонами и целой площадью.
• Кирпич Эйлера , кубоид с целыми ребрами и целочисленными диагоналями граней.
• Тетраэдр § Целочисленные тетраэдры