Проблема Брокара

Не путать с гипотезой Брокара .

Нерешенная задача по математике :

Делает $n!+1=m^{2}$ имеют целочисленные решения, отличные от $n=4,5,7$?

(еще нерешенные задачи по математике)

Проблема Брокара задача — это математическая , которая ищет целые значения $n$ такой, что $n!+1$ представляет собой идеальный квадрат, где $n!$ является факториалом . Всего три значения $n$ известны — 4, 5, 7 — и неизвестно, есть ли еще.

Более формально, он ищет пары целых чисел $n$ и $m$ такой, что $$n!+1=m^{2}.$$Проблема была поставлена ​​Анри Брокаром в двух статьях 1876 и 1885 годов: и независимо в 1913 году Шринивасой Рамануджаном .

Коричневые цифры

Пары чисел $(n,m)$ которые решают проблему Брокара, были названы числами Брауна Клиффордом А. Пиковером в его книге 1995 года «Ключи к бесконечности » после того, как он узнал об этой проблеме от Кевина С. Брауна. По состоянию на октябрь 2022 года известны только три пары чисел Брауна:

(4,5), (5,11) и (7,71),

исходя из равенств

4! + 1 = 5 ² = 25,

5! + 1 = 11 ² = 121, и

7! + 1 = 71 ² = 5041.

Пол Эрдеш предположил, что других решений не существует. Вычислительные поиски до одного квадриллиона не нашли дальнейших решений.

Связь с гипотезой abc

следовало бы Из гипотезы abc , что существует лишь конечное число чисел Брауна. В более общем смысле из гипотезы abc следует также, что $$n!+A=k^{2}$$имеет лишь конечное число решений для любого заданного целого числа $A$, и это $$n!=P(x)$$имеет только конечное число целочисленных решений для любого заданного многочлена $P(x)$ степени не ниже 2 с целыми коэффициентами.

Дальнейшее чтение

• Гай, Р.К. (2004), «D25: уравнения, включающие факториал $n$«, Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 301–302.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Проблема Брокара » (« Коричневые числа ») в MathWorld .
• Коупленд, Эд, "Brown Numbers" , Numberphile , Брэйди Харан , заархивировано из оригинала 9 ноября 2014 г. , получено 6 апреля 2013 г.