Тернарная квадратичная форма Рамануджана

В теории чисел , разделе математики , троичная квадратичная форма Рамануджана представляет собой алгебраическое выражение x ² + и ² + 10 з ² с целочисленными значениями для x , y и z . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Шриниваса Рамануджан рассмотрел это выражение в сноске в статье. ^{[ 3 ]} опубликован в 1916 году и кратко обсудил представимость целых чисел в этой форме. После указания необходимых и достаточных условий того, что целое число нельзя представить в виде ax ² + по ² + Чешский ² для некоторых конкретных значений a , b и c Рамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут побудить нас предположить, что существуют аналогичные простые результаты для формы ax ² + по ² + Чешский ² каковы бы ни были значения a , b и c . Однако оказывается, что в большинстве случаев таких простых результатов не бывает». ^{[ 3 ]} Чтобы обосновать это наблюдение, Рамануджан обсудил форму, которую теперь называют тройной квадратичной формой Рамануджана.

Свойства, открытые Рамануджаном

В своей статье 1916 г. ^{[ 3 ]} Рамануджан сделал следующие наблюдения по поводу формы x: ² + и ² + 10 з ².

Четные числа , не имеющие вида x ² + и ² + 10 з ² 4 ^л(16 м + 6).
Нечетные числа , не имеющие вида x ² + и ² + 10 з ², а именно. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391... похоже, не подчиняются какому-либо простому закону.

Нечетные числа после 391

Поставив многоточие в конце списка нечетных чисел, не представимых как x ² + и ² + 10 з ²Рамануджан отметил, что его список неполон. Неясно, намеревался ли Рамануджан сделать это конечным или бесконечным списком. Это побудило других искать такие нечетные числа. В 1927 году Бертон В. Джонс и Гордон Полл ^{[ 2 ]} обнаружил, что число 679 нельзя выразить в виде х. ² + и ² + 10 з ² и они также подтвердили, что не было других таких чисел ниже 2000. Это привело к ранней гипотезе , что семнадцать чисел – шестнадцать чисел в списке Рамануджана и число, открытое ими – были единственными нечетными числами, которые не могут быть представлены как x ² + и ² + 10 з ². Однако в 1941 году Х. Гупта ^{[ 4 ]} показал, что число 2719 нельзя представить в виде х. ² + и ² + 10 з ². Он также подтвердил, что других подобных чисел ниже 20 000 не было. Дальнейший прогресс в этом направлении произошел только после разработки современных компьютеров. У. Голуэй написал компьютерную программу для определения нечетных целых чисел, не выражаемых как x. ² + и ² + 10 з ². Голуэй доказал, что существует только восемнадцать чисел меньше 2×10. ¹⁰ не представимо в виде x ² + и ² + 10 з ². ^{[ 1 ]} На основе вычислений Голуэя Кен Оно и К. Саундарараджан сформулировали следующую гипотезу: ^{[ 1 ]}

Нечетные положительные целые числа, не имеющие вида x ² + и ² + 10 з ² являются: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719 .

Некоторые известные результаты

Гипотеза Кена Оно и Саундарараджана до конца не решена. Однако, помимо результатов, изложенных Рамануджаном, были установлены еще несколько общих результатов о форме. Доказательства некоторых из них весьма просты, тогда как доказательства других включают весьма сложные понятия и аргументы. ^{[ 1 ]}

Каждое целое число формы 10 n + 5 представлено тернарной квадратичной формой Рамануджана.
Если n — нечетное целое число, не свободное от квадратов, то его можно представить в виде x ² + и ² + 10 з ².
Существует лишь конечное число нечетных целых чисел, которые нельзя представить в виде x. ² + и ² + 10 з ².
Если верна обобщенная гипотеза Римана , то верна и гипотеза Оно и Саундарараджана.
Тернарная квадратичная форма Рамануджана не является регулярной в смысле Л. Е. Диксона . ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Оно, Кен; Саундарараджан, Каннан (1997). «Тернарная квадратичная форма Рамануджана» (PDF) . изобретения Математические 130 (3): 415–454. Бибкод : 1997InMat.130..415O . CiteSeerX 10.1.1.585.8840 . дои : 10.1007/s002220050191 . МР 1483991 . S2CID 122314044 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Джонс, Бертон В.; Палл, Гордон (1939). «Регулярные и полуправильные положительные тернарные квадратичные формы» . Акта Математика . 70 (1): 165–191. дои : 10.1007/bf02547347 . МР 1555447 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с С. Рамануджан (1916). «О выражении числа в виде топора ² + по ² + Чешский ² + от ²". Proc. Camb. Phil. Soc . 19 : 11–21.
^ Гупта, Хансрадж (1941). «Некоторые своеобразные числа Рамануджана» (PDF) . Труды Индийской академии наук, раздел А. 13 (6): 519–520. дои : 10.1007/BF03049015 . МР 0004816 . S2CID 116006923 .
^ Л. Е. Диксон (1926–1927). «Тернарные квадратичные формы и сравнения». Анналы математики . Вторая серия. 28 (1/4): 333–341. дои : 10.2307/1968378 . JSTOR 1968378 . МР 1502786 .

[Ono-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Оно, Кен; Саундарараджан, Каннан (1997). «Тернарная квадратичная форма Рамануджана» (PDF) . изобретения Математические 130 (3): 415–454. Бибкод : 1997InMat.130..415O . CiteSeerX 10.1.1.585.8840 . дои : 10.1007/s002220050191 . МР 1483991 . S2CID 122314044 .

[Jones-2] Перейти обратно: ^а ^б Джонс, Бертон В.; Палл, Гордон (1939). «Регулярные и полуправильные положительные тернарные квадратичные формы» . Акта Математика . 70 (1): 165–191. дои : 10.1007/bf02547347 . МР 1555447 .

[Ramanujan-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с С. Рамануджан (1916). «О выражении числа в виде топора ² + по ² + Чешский ² + от ²". Proc. Camb. Phil. Soc . 19 : 11–21.

[4] Гупта, Хансрадж (1941). «Некоторые своеобразные числа Рамануджана» (PDF) . Труды Индийской академии наук, раздел А. 13 (6): 519–520. дои : 10.1007/BF03049015 . МР 0004816 . S2CID 116006923 .

[Dickson-5] Л. Е. Диксон (1926–1927). «Тернарные квадратичные формы и сравнения». Анналы математики . Вторая серия. 28 (1/4): 333–341. дои : 10.2307/1968378 . JSTOR 1968378 . МР 1502786 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]