Гипотеза Гурматига

В математике гипотеза Гурматига — это гипотеза теории чисел, названная в честь бельгийского математика Рене Гурматига . Гипотеза состоит в том, что единственные нетривиальные целочисленные решения экспоненциального диофантова уравнения

{\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}

удовлетворяющий $x>y>1$ и $n,m>2$ являются

{\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1}{2-1}}=31

и

{\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}-1}{2-1}}=8191.

Частичные результаты [ править ]

Давенпорт, Льюис и Шинцель (1961) показали, что для каждой пары фиксированных показателей $m$ и $n$ , это уравнение имеет лишь конечное число решений. Но это доказательство зависит от теоремы о конечности Зигеля , которая неэффективна. Нестеренко и Шори (1998) показали, что если $m-1=dr$ и $n-1=ds$ с $d\geq 2$ , $r\geq 1$ , и $s\geq 1$ , затем $\max(x,y,m,n)$ ограничено эффективно вычислимой константой, зависящей только от $r$ и $s$ . Юань (2005) показал, что для $m=3$ и странный $n$ , это уравнение не имеет решения $(x,y,n)$ кроме двух решений, приведенных выше.

Баласубраманиан и Шори доказали в 1980 году, что существует лишь конечное число возможных решений. $(x,y,m,n)$ к уравнениям с простыми делителями $x$ и $y$ лежащие в данном конечном множестве, и их можно эффективно вычислить. Он и Тогбе (2008) показали, что для каждого фиксированного $x$ и $y$ , это уравнение имеет не более одного решения.При фиксированном x (или y ) уравнение имеет не более 15 решений и не более двух, если только x не является нечетной простой степенью, умноженной на степень двойки , или не входит в конечный набор {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713}, и в этом случае существует не более трех решений. Более того, существует не более одного решения, если нечетная часть x является квадратной, если только x не имеет не более двух различных нечетных простых делителей или x не находится в конечном множестве {315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 2907, , 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}. Если x — степень двойки , существует не более одного решения, за исключением x=2, и в этом случае известны два решения. Фактически, max(m,n)<4^x и y<2^(2^x).

Заявление о возмещении ущерба [ править ]

Гипотеза Гурматига может быть выражена следующим образом: 31 (111 по основанию 5, 11111 по основанию 2) и 8191 (111 по основанию 90, 1111111111111 по основанию 2) — единственные два числа, которые представляют собой повторяющиеся числа , состоящие как минимум из 3 цифр в двух разных числах. базы.

См. также [ править ]

Факт – гипотеза Томпсона.

Ссылки [ править ]

Гурмати, Рене. Посредник математиков 24 (1917), 88
Бюжо, Ю.; Шори, Теннесси (2002). «О диофантовом уравнении ${\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}$ . (PDF) Тихоокеанский журнал математики . 207 (1): 61–75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
Баласубраманян, Р .; Шори, Теннесси (1980). «По уравнению $a(x^{m}-1)/(x-1)=b(y^{n}-1)/(y-1)$ " . Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182. doi : 11861 . MR 0591599. 10.7146/math.scand.a - Zbl 0434.10013 .
Давенпорт, Х.; Льюис, диджей; Шинцель, А. (1961). «Уравнения вида $f(x)=g(y)$ ". Quad. J. Math. Oxford . 2 : 304–312. doi : 10.1093/qmath/12.1.304 . MR 0137703 .
Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 242. ИСБН 0-387-20860-7 . Збл 1058.11001 .
Он, Бо; Тогбе, Алан (2008). «О числе решений уравнения Гурмати при заданных $x$ и $y$ " . Indag. Math . New Series. 19 : 65–72. doi : 10.1016/S0019-3577(08)80015-8 . MR 2466394 .
Нестеренко, Ю. В .; Шори, Теннесси (1998). «Об уравнении Гурматайга» (PDF ) Акта Арифметика LXXXIII (4): 381–389. дои : 10.4064/aa-83-4-381-389 . МР 1610565 . Збл 0896.11010 .
Шори, Теннесси; Тайдеман, Р. (1986). Экспоненциальные диофантовы уравнения . Кембриджские трактаты по математике. Том. 87. Издательство Кембриджского университета . стр. 203–204. ISBN 0-521-26826-5 . Збл 0606.10011 .
Юань, Пинчжи (2005). «О диофантовом уравнении ${\tfrac {x^{3}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}$ " . J. Теория чисел . 112 : 20–25. doi : 10.1016/j.jnt.2004.12.002 . MR 2131139 .