142857

← 142856 142857 142858 →
Список номеров ; Целые числа ; ← 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9
Кардинал	сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь
Порядковый номер	142857-й ; (сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят седьмой)
Факторизация	3 3 × 11 × 13 × 37
Делители	1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
Греческая цифра	͵βωνζ´
Римская цифра	CXL MMDCCCLVII
Двоичный	100010111000001001 2
тройной	21020222000 3
Сенарий	3021213 6
Восьмеричный	427011 8
Двенадцатеричный	6А809 12
Шестнадцатеричный	22E09 16

Число 142 857 — число Капрекара . ^[1]

142857 , шесть повторяющихся цифр ⁠ 1/7 ( ⁠ ) 0,142857 по — самое известное циклическое число основанию 10. ^[2]^[3]^[4]^[5] Если его умножить на 2, 3, 4, 5 или 6, ответ будет циклической перестановкой самого себя и будет соответствовать повторяющимся цифрам числа. ⁠ 2 / 7 ⁠ , ⁠ 3 / 7 ⁠ , ⁠ 4 / 7 ⁠ , ⁠ 5 / 7 ⁠ , или ⁠ 6/7 ⁠ . соответственно

Расчет

1 × 142,857 = 142,857

2 × 142,857 = 285,714

3 × 142,857 = 428,571

4 × 142,857 = 571,428

5 × 142,857 = 714,285

6 × 142,857 = 857,142

7 × 142,857 = 999,999

При умножении на целое число, большее 7, существует простой процесс, позволяющий получить циклическую перестановку 142857. Добавляя шесть крайних правых цифр (от единиц до сотен тысяч) к оставшимся цифрам и повторяя этот процесс, пока не останется только шесть цифр, это приведет к циклической перестановке 142857: ^{[ нужна ссылка ]}

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857 ² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Умножение на число, кратное 7, в результате этого процесса даст 999999:

142857 × 7 ⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Если вы возведете в квадрат последние три цифры и вычтете квадрат первых трех цифр, вы также получите циклическую перестановку числа. ^{[ нужна ссылка ]}

857 ² = 734449

142 ² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Это повторяющаяся часть десятичного разложения рационального числа. ⁠ 1/7 0 ⁠ , = 142857 . Таким образом, кратные ⁠ 1/7 : ⁠ — это просто повторяющиеся копии соответствующих чисел, кратных 142857

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{7}}&=0.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {2}{7}}&=0.{\overline {285714}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {3}{7}}&=0.{\overline {428571}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {4}{7}}&=0.{\overline {571428}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {5}{7}}&=0.{\overline {714285}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {6}{7}}&=0.{\overline {857142}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {7}{7}}&=0.{\overline {999999}}\ldots =1\\[3pt]{\tfrac {8}{7}}&=1.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {9}{7}}&=1.{\overline {285714}}\ldots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}

Связь с эннеаграммой

Числовая последовательность 142857 используется в фигуре эннеаграммы , символа Гурджиевской Работы, используемого для объяснения и визуализации динамики взаимодействия двух великих законов Вселенной (по Г.И. Гурджиеву ), Закона Трех и Закона Вселенной. Семь. Движение числа 142857, разделенного на ⁠ 1 / 7 ⁠ , ⁠ 2 / 7 ⁠ . и т. д., а также последующее движение эннеаграммы изображаются в священных танцах Гурджиева, известных как движения. ^[6]

Другие объекты недвижимости

Числовая последовательность 142857 также встречается в нескольких десятичных дробях, в которых знаменатель имеет коэффициент 7. В приведенных ниже примерах все числители равны 1, однако есть случаи, когда это не обязательно, например: ⁠ 2 / 7 ⁠ (0. 285714 ).

Например, рассмотрим дроби и эквивалентные десятичные значения, перечисленные ниже:

⁠ 1 7 ⁠ = 0. 142857 ...

⁠ 1 14 ⁠ = 0.0 714285 ...

⁠ 1 28 ⁠ = 0.03 571428 ...

⁠ 1 35 ⁠ = 0.0 285714 ...

⁠ 1 56 ⁠ = 0.017 857142 ...

⁠ 1 70 ⁠ = 0.0 142857 ...

Вышеупомянутые десятичные дроби следуют последовательности вращения 142857. Существуют дроби, у которых знаменатель имеет коэффициент 7, например: ⁠ 1/21 ⁠ и ⁠ 1/42 . цифрах ⁠ , которые не следуют этой последовательности и имеют другие значения в десятичных

Ссылки

^ «А006886 Слоана: числа Капрекара» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 июня 2016 г.
^ «Циклический номер» . Интернет-энциклопедия науки . Архивировано из оригинала 29 сентября 2007 г.
^ Экер, Майкл В. (март 1983 г.). «Заманчивые знания о циклических числах». Двухлетний математический журнал колледжа . 14 (2): 105–109. дои : 10.2307/3026586 . JSTOR 3026586 .
^ «Циклический номер» . ПланетаМатематика . Архивировано из оригинала 14 июля 2007 г.
^ Хоган, Кэтрин (август 2005 г.). «Иди разберись (циклические числа)» . Австралийский доктор . Архивировано из оригинала 24 декабря 2007 г.
^ Успенский, П.Д. (1947). «Глава XVIII». В поисках чудесного: фрагменты неизвестного учения . Лондон: Рутледж.

Лесли, Джон (1820). Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику… . Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун. ISBN 1-4020-1546-1 .
Уэллс, Д. (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная редакция). Лондон: Группа Пингвин. стр. 171–175. ISBN 978-0-140-26149-3 .
Тахан, Мальба (1938). Человек, который считал .

[1] «А006886 Слоана: числа Капрекара» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 июня 2016 г.

[2] «Циклический номер» . Интернет-энциклопедия науки . Архивировано из оригинала 29 сентября 2007 г.

[3] Экер, Майкл В. (март 1983 г.). «Заманчивые знания о циклических числах». Двухлетний математический журнал колледжа . 14 (2): 105–109. дои : 10.2307/3026586 . JSTOR 3026586 .

[4] «Циклический номер» . ПланетаМатематика . Архивировано из оригинала 14 июля 2007 г.

[5] Хоган, Кэтрин (август 2005 г.). «Иди разберись (циклические числа)» . Австралийский доктор . Архивировано из оригинала 24 декабря 2007 г.

[6] Успенский, П.Д. (1947). «Глава XVIII». В поисках чудесного: фрагменты неизвестного учения . Лондон: Рутледж.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]