Двойственность (теория порядка)
В математической области теории порядка каждое частично упорядоченное множество P порождает двойственное (или противоположное ) частично упорядоченное множество, которое часто обозначается P. на или П д . Этот двойной порядок P на определяется как тот же набор, но с обратным порядком , т.е. x ≤ y выполняется в P на тогда и только тогда, когда y ≤ x выполняется в P . Легко видеть, что эта конструкция, которую можно изобразить, перевернув диаграмму Хассе для P вверх ногами, действительно дает частично упорядоченное множество. В более широком смысле два частично упорядоченных множества также называются двойственными, если они дуально изоморфны , т. е. если одно частично упорядоченное множество по порядку изоморфно двойственному другому.
Важность этого простого определения проистекает из того факта, что любое определение и теорема теории порядка можно легко перенести на двойственный порядок. Формально это фиксируется принципом двойственности для упорядоченных множеств:
- Если данное утверждение справедливо для всех частично упорядоченных множеств, то его двойственное утверждение, полученное путем инвертирования направления всех отношений порядка и дуализации всех задействованных теоретико-порядковых определений, также справедливо для всех частично упорядоченных множеств.
Если утверждение или определение эквивалентно своему двойственному, то оно называется самодвойственным . Обратите внимание, что рассмотрение двойственных порядков настолько фундаментально, что оно часто происходит неявно при написании ≥ для двойственного порядка ≤ без какого-либо предварительного определения этого «нового» символа.
Примеры
[ редактировать ]
Естественно, существует множество примеров двойственных понятий:
- Величайшие элементы и наименьшие элементы
- Максимальные элементы и минимальные элементы
- Наименьшие верхние границы (супрема, ∨) и максимальные нижние границы (нижние границы, ∧)
- Верхние наборы и нижние наборы
- Идеалы и фильтры
- Операторы замыкания и операторы ядра .
Примеры понятий, которые являются самодвойственными, включают:
- Будучи ( полной ) решеткой
- Монотонность функций
- Дистрибутивность решеток , т.е. решетки, для которых выполняется ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ), являются в точности теми, для которых справедливо двойственное утверждение ∀ x , y , z : Икс ∨ ( y ∧ z ) знак равно ( Икс ∨ y ) ∧ ( Икс ∨ z ) имеет место [1]
- Будучи булевой алгеброй
- Будучи порядковым изоморфизмом .
Поскольку частичные порядки антисимметричны , самодвойственными являются только отношения эквивалентности (но понятие частичного порядка самодвойственно ).
См. также
[ редактировать ]- Обратное соотношение
- Список тем по булевой алгебре
- Транспонировать график
- Двойственность в теории категорий , частным случаем которой является двойственность в теории порядка.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кванторы важны: для отдельных элементов x , y , z , например, первое уравнение может быть нарушено, но второе может соблюдаться; см. N 5 . решетки пример
- Дэйви, бакалавр; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1