Синтетическая геометрия

Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией ) — это геометрия без использования координат . Он опирается на аксиоматический метод для доказательства всех результатов из нескольких основных свойств, первоначально называемых постулатами , а в настоящее время называемых аксиомами .

Термин «синтетическая геометрия» был придуман только после 17 века и введения Рене Декартом координатного метода, который получил название аналитической геометрии . Поэтому термин «синтетическая геометрия» был введен для обозначения старых методов, которые до Декарта были единственными известными.

По словам Феликса Кляйна

Синтетическая геометрия — это та, которая изучает фигуры как таковые, не прибегая к формулам, тогда как аналитическая геометрия последовательно пользуется такими формулами, которые можно записать после принятия соответствующей системы координат.

Первым систематическим подходом к синтетической геометрии являются Евклида «Начала» . Однако в конце XIX века выяснилось, что постулаты Евклида недостаточны для характеристики геометрии. Первая полная система аксиом геометрии была дана лишь в конце 19 века Давидом Гильбертом . При этом оказалось, что для построения геометрии можно использовать как синтетические методы, так и аналитические методы. Тот факт, что два подхода эквивалентны, был доказан Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» .

Из-за этой эквивалентности различие между синтетической и аналитической геометрией больше не используется, за исключением элементарного уровня или для геометрий, которые не связаны с какими-либо числами, таких как некоторые конечные геометрии и недесаргова геометрия .

Логический синтез

Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Этой отправной точкой является введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах:

• Примитивы — это самые основные идеи. Обычно они включают в себя как объекты, так и отношения. В геометрии объектами являются такие вещи, как точки , линии и плоскости , а фундаментальными отношениями являются отношения инцидентности – встречи или соединения одного объекта с другим. Сами термины не определены. Гильберт однажды заметил, что вместо точек, линий и плоскостей можно с таким же успехом говорить о столах, стульях и пивных кружках. дело в том, что примитивные термины являются просто пустыми заполнителями и не имеют никаких внутренних свойств.
• Аксиомы — это утверждения об этих примитивах; например, любые две точки вместе инцидентны только одной прямой (т. е. для любых двух точек существует только одна линия, проходящая через них обе). Аксиомы считаются истинными, а не доказанными. Они являются строительными блоками геометрических концепций, поскольку определяют свойства, которыми обладают примитивы.

На основе заданного набора аксиом синтез осуществляется как тщательно построенный логический аргумент. Когда важный результат строго доказан, он становится теоремой .

Свойства наборов аксиом

Для геометрии не существует фиксированного набора аксиом, поскольку более одного последовательного набора можно выбрать . Каждый такой набор может привести к разной геометрии, хотя есть также примеры разных наборов, дающих одну и ту же геометрию. При таком изобилии возможностей уже неуместно говорить о «геометрии» в единственном числе.

Евклида Исторически постулат о параллельности оказался независимым от других аксиом. Простое отбрасывание дает абсолютную геометрию , а отрицание дает гиперболическую геометрию . Другие непротиворечивые наборы аксиом могут давать другие геометрии, такие как проективная , эллиптическая , сферическая или аффинная геометрия.

Аксиомы непрерывности и «между» также не являются обязательными, например, дискретную геометрию можно создать, отбросив или изменив ее.

Следуя эрлангенской программе Клейна . , природу любой данной геометрии можно рассматривать как связь между симметрией и содержанием предложений, а не стилем развития

История

Оригинальная трактовка Евклида оставалась неоспоримой более двух тысяч лет, пока одновременное открытие неевклидовой геометрии Гауссом , Бояи , Лобачевским и Риманом в 19 веке не заставило математиков подвергнуть сомнению основные предположения Евклида.

Один из первых французских аналитиков так резюмировал синтетическую геометрию:

«Элементы Евклида» трактуются синтетическим методом. Этот автор, сформулировав аксиомы и сформировав необходимые условия, установил положения, которые он последовательно доказывает, подкрепляя предыдущими, всегда переходя от простого к сложному , что является существенным признаком синтеза.

Расцветом синтетической геометрии можно считать XIX век, когда аналитические методы, основанные на координатах и ​​исчислении , игнорировали некоторые геометры, такие как Якоб Штайнер , в пользу чисто синтетического развития проективной геометрии . Например, рассмотрение проективной плоскости, начиная с аксиом инцидентности, на самом деле представляет собой более широкую теорию (с большим количеством моделей ), чем та, которую можно получить, начиная с векторного пространства размерности три. Проективная геометрия фактически представляет собой самое простое и элегантное синтетическое выражение любой геометрии.

В своей программе в Эрлангене Феликс Кляйн преуменьшил противоречие между синтетическими и аналитическими методами:

Об антитезе синтетического и аналитического методов в современной геометрии:

Различие между современным синтезом и современной аналитической геометрией больше нельзя считать существенным, поскольку и предмет, и методы рассуждения постепенно приняли в обоих случаях одинаковую форму. Поэтому мы выбираем в тексте в качестве общего обозначения для них обоих термин проективная геометрия. Хотя синтетический метод больше связан с восприятием пространства и тем самым придает редкое очарование своим первым простым разработкам, область восприятия пространства, тем не менее, не закрыта для аналитического метода, и формулы аналитической геометрии можно рассматривать как точное и ясное изложение геометрических соотношений. С другой стороны, не следует недооценивать преимущество оригинального исследования, состоящего из хорошо сформулированного анализа, - преимущество, обусловленное его движением, так сказать, впереди мысли. Но всегда следует настаивать на том, что математический предмет нельзя считать исчерпанным до тех пор, пока он не станет интуитивно очевидным, а прогресс, достигнутый с помощью анализа, является лишь первым, хотя и очень важным шагом.

Тщательное аксиоматическое изучение евклидовой геометрии привело к построению четырехугольника Ламберта и четырехугольника Саккери . Эти структуры открыли область неевклидовой геометрии , где отрицается аксиома Евклида о параллельности. Гаусс , Бояи и Лобачевский независимо друг от друга построили гиперболическую геометрию , где параллельные прямые имеют угол параллельности , зависящий от их разделения. Это исследование стало широко доступным благодаря модели диска Пуанкаре , в которой движения задаются преобразованиями Мёбиуса . Точно так же Риман , ученик Гаусса, построил риманову геометрию которой является эллиптическая геометрия , частным случаем .

Другой пример касается инверсной геометрии , предложенной Людвигом Иммануилом Магнусом , которую можно считать синтетической по духу. Тесно связанная операция возвратно-поступательного движения выражает анализ плоскости.

Карл фон Штаудт показал, что алгебраические аксиомы, такие как коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, на самом деле являются следствием падения прямых в геометрические конфигурации . Дэвид Гильберт показал что конфигурация Дезарга сыграла особую роль. Дальнейшую работу проделали Рут Муфанг и ее ученики. Эти концепции были одним из мотиваторов геометрии инцидентности .

Когда параллельные линии принимаются в качестве основных, синтез создает аффинную геометрию . Хотя евклидова геометрия является одновременно аффинной и метрической геометрией , в общих аффинных пространствах может отсутствовать метрика. Дополнительная гибкость, предоставляемая таким образом, делает аффинную геометрию подходящей для изучения пространства-времени , как обсуждалось в истории аффинной геометрии .

В 1955 году Герберт Буземан и Пол Дж. Келли высказали ностальгическую ноту по синтетической геометрии:

Геометры, хотя и с неохотой, должны признать, что красота синтетической геометрии утратила свою привлекательность для нового поколения. Причины ясны: не так давно синтетическая геометрия была единственной областью, в которой рассуждения исходили строго из аксиом, тогда как этот призыв, столь фундаментальный для многих людей, интересующихся математикой, теперь применяется во многих других областях.

Например, исследования в колледже теперь включают линейную алгебру , топологию и теорию графов , где предмет развивается на основе основных принципов, а предложения выводятся с помощью элементарных доказательств . Ожидание замены синтетической геометрии аналитической геометрией приводит к потере геометрического содержания.

Сегодняшнему студенту, изучающему геометрию, доступны аксиомы, отличные от аксиом Евклида: см. аксиомы Гильберта и аксиомы Тарского .

Эрнст Кёттер опубликовал (немецкий) отчет в 1901 году «Развитие синтетической геометрии от Монжа до Штаудта (1847)» ;

Доказательства с использованием синтетической геометрии.

Синтетические доказательства геометрических теорем используют вспомогательные конструкции (например, вспомогательные линии ) и такие понятия, как равенство сторон или углов, подобие и равенство треугольников. Примеры таких доказательств можно найти в статьях «Теорема о бабочке» , «Теорема о биссектрисе» , «Теорема Аполлония» , «Теорема о британском флаге» , «Теорема Чевы» , «Теорема о равных вписанных окружностях» , «Теорема о среднем геометрическом» , «Формула Герона» , «Теорема о равнобедренном треугольнике» , «Закон косинусов » и других, которые связаны здесь .

Вычислительная синтетическая геометрия

В сочетании с вычислительной геометрией с теорией создана вычислительная синтетическая геометрия, имеющая тесную связь, например, . матроидов Синтетическая дифференциальная геометрия — это приложение теории топоса к основам теории дифференцируемых многообразий .

См. также

• Основы геометрии
• Геометрия падения
• Синтетическая дифференциальная геометрия

Ссылки

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN  978-0-486-43832-0
• Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN  0-7167-0454-4
• Холстед, Великобритания (1896) Элементарная синтетическая геометрия через Интернет-архив
• Холстед, Джордж Брюс (1906) Синтетическая проективная геометрия , через Интернет-архив .
• Гильберт и Кон-Фоссен, Геометрия и воображение .
• Кляйн, Феликс (1948), Элементарная математика с продвинутой точки зрения / Геометрия , Нью-Йорк: Дувр
• Млодинов, Леонард (2001), Окно Евклида / История геометрии от параллельных линий до гиперпространства , Нью-Йорк: Свободная пресса, ISBN  0-684-86523-8
• Памбучян, Виктор; Шахт, Селия (2021), «Дело о несводимости геометрии к алгебре» , Philosophia Mathematica , 29 (4), doi : 10.1093/philmat/nkab022