Теорема о равенстве вписанных окружностей

Если синие кружки равны, зеленые кружки тоже равны.

В геометрии происходит теорема о равных вписанных окружностях от японского Сангаку и относится к следующей конструкции: серия лучей проводится из данной точки к заданной линии так, что вписанные окружности треугольников образованы соседними лучами и базовой линией. равны. На иллюстрации одинаковые синие круги определяют расстояние между лучами, как описано.

Теорема утверждает, что вписанные окружности треугольников, образованных (начиная с любого данного луча) каждым вторым лучом, каждым третьим лучом и т. д. и базовой линией, также равны. Случай каждого второго луча показан выше зелеными кружками, которые все равны.

Из того факта, что теорема не зависит от угла исходного луча, можно видеть, что теорема по существу принадлежит анализу , а не геометрии, и должна относиться к непрерывной масштабирующей функции, которая определяет расстояние между лучами. По сути, эта функция представляет собой гиперболический синус .

Теорема является прямым следствием следующей леммы:

Предположим, что n -й луч образует угол $\gamma _{n}$ с нормалью к базовой линии. Если $\gamma _{n}$ параметризуется в соответствии с уравнением $\tan \gamma _{n}=\sinh \theta _{n}$ , то значения $\theta _{n}=a+nb$ , где $a$ и $b$ являются вещественными константами, определяют последовательность лучей, удовлетворяющих условию равных вписанных окружностей, и, кроме того, любая последовательность лучей, удовлетворяющая этому условию, может быть получена подходящим выбором констант $a$ и $b$ .

Доказательство леммы

На схеме прямые ПС и ПТ — смежные лучи, образующие углы $\gamma _{n}$ и $\gamma _{n+1}$ с линией PR, которая перпендикулярна базовой линии, RST.

Линия QXOY параллельна базовой линии и проходит через О, центр вписанной окружности. $\triangle$ PST, касательная к лучам в точках W и Z. Кроме того, линия PQ имеет длину $h-r$ , а линия QR имеет длину $r$ , радиус вписанной окружности.

Затем $\triangle$ OWX похож на $\triangle$ PQX и $\triangle$ ОЗИ похож на $\triangle$ PQY, а из XY = XO + OY получаем

(h-r)(\tan \gamma _{n+1}-\tan \gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).

Это соотношение на множестве углов $\{\gamma _{m}\}$ , выражает условие равенства вписанных окружностей.

Для доказательства леммы положим $\tan \gamma _{n}=\sinh(a+nb)$ , что дает $\sec \gamma _{n}=\cosh(a+nb)$ .

С использованием $a+(n+1)b=(a+nb)+b$ , применим правила сложения для $\sinh$ и $\cosh$ и убедитесь, что соотношение равенства вписанных окружностей выполняется, установив

{\frac {r}{h-r}}=\tanh {\frac {b}{2}}.

Это дает выражение для параметра $b$ с точки зрения геометрических мер, $h$ и $r$ . С этим определением $b$ тогда мы получим выражение для радиусов: $r_{N}$ , вписанных окружностей, образованных путем принятия каждого N- го луча за стороны треугольников

{\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\tanh {\frac {Nb}{2}}.

См. также

Ссылки

Теорема о равных вписанных окружностях при разрезании узла
Ж. Табов. Замечание к теореме о пяти кругах. Журнал «Математика» 63 (1989), 2, 92–94.