Японская теорема для циклических многоугольников

Сумма радиусов зеленых кругов равна сумме радиусов красных кругов.

В геометрии японская теорема что независимо от того триангулировать многоугольник циклический как , сумма радиусов вписанных треугольников гласит , постоянна . , ^[1]^{: с. 193}

И наоборот, если сумма вписанных радиусов не зависит от триангуляции, то многоугольник является циклическим. Японская теорема следует из теоремы Карно ; это проблема Сангаку .

Доказательство

Эту теорему можно доказать, сначала доказав частный случай: независимо от того, как триангулировать вписанный четырехугольник , сумма вписанных радиусов треугольников постоянна.

После доказательства четырехстороннего случая непосредственным следствием становится общий случай теоремы о циклическом многоугольнике. Правило четырехугольников может быть применено к четырехсторонним компонентам общего разбиения циклического многоугольника, а повторное применение правила, которое «переворачивает» одну диагональ, приведет к созданию всех возможных разбиений из любого заданного разбиения, при этом при каждом «перевороте» сохраняется сумма радиусов.

Случай четырехугольника следует из простого расширения японской теоремы для циклических четырехугольников , которая показывает, что прямоугольник формируется двумя парами центров, соответствующих двум возможным триангуляциям четырехугольника. Шаги этой теоремы не требуют ничего, кроме базовой конструктивной евклидовой геометрии. ^[2]

При дополнительном построении параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям и касаются углов прямоугольника с центрами, четырехсторонний случай теоремы о циклическом многоугольнике можно доказать за несколько шагов. Равенство сумм радиусов двух пар эквивалентно условию, что построенный параллелограмм является ромбом, и это легко показывается при построении.

Другое доказательство четырехстороннего случая доступно Уилфредом Рейесом (2002). ^[3] В доказательстве как японская теорема для вписанных четырехугольников , так и четырехсторонний случай теоремы вписанных многоугольников доказываются как следствие проблемы Тебо III .

См. также

Теорема Карно , которая используется в доказательстве приведенной выше теоремы.
Теорема о равенстве вписанных окружностей
Касательные линии к окружностям

Примечания

^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал 1929).
^ Фукагава, Хидэтоси; Педо, Д. (1989). Японская храмовая геометрия . Манитоба, Канада: Исследовательский центр Чарльза Бэббиджа. стр. 125–128. ISBN 0919611214 .
^ Рейес, Уилфред (2002). «Применение теоремы Тебо» (PDF) . Форум Геометрикорум . 2 : 183–185 . Проверено 2 сентября 2015 г.

Ссылки

Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Иконы математики: исследование двадцати ключевых изображений . МАА, 2011, ISBN 9780883853528 , стр. 121–125.
Уилфред Рейес: применение теоремы Тибо . Forum Geometricorum, том 2, 2002 г., стр. 183–185.

Внешние ссылки

Манго Ахуджа, Ватару Уэгаки, Кайо Мацусита: В поисках японской теоремы
Японская теорема в Mathworld
Интерактивная демонстрация японской теоремы на CaR сайте
Ватару Уэгаки: «О происхождении и истории японской теоремы» http://hdl.handle.net/10076/4917

[Johnson-1] Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал 1929).

[2] Фукагава, Хидэтоси; Педо, Д. (1989). Японская храмовая геометрия . Манитоба, Канада: Исследовательский центр Чарльза Бэббиджа. стр. 125–128. ISBN 0919611214 .

[3] Рейес, Уилфред (2002). «Применение теоремы Тебо» (PDF) . Форум Геометрикорум . 2 : 183–185 . Проверено 2 сентября 2015 г.

[1]

[2]

[3]