Линия Филона

В геометрии линия Филона — это отрезок линии, определяемый углом и точкой внутри угла как кратчайший отрезок линии, проходящий через точку, конечные точки которой находятся на двух сторонах угла. Также известная как линия Филона , она названа в честь Филона Византийского , греческого писателя о механических устройствах, который жил, вероятно, в I или II веке до нашей эры. Филон использовал леску, чтобы удвоить куб ; потому что удвоение куба не может быть выполнено с помощью линейки и циркуля , как и построение линии Филона.

Геометрическая характеристика

Филоновая линия точки P и угла DOE , а также определяющее равенство расстояний от P и Q до концов DE , где Q — основание перпендикуляра из вершины угла

Определяющая точка линии Филона и основание перпендикуляра, проведенного из вершины угла к линии, равноудалены от конечных точек линии.То есть предположим, что сегмент $DE$ это линия Филона для точки $P$ и угол $DOE$, и пусть $Q$ быть основанием перпендикуляра $OQ$ к $DE$. Затем $DP=EQ$ и $DQ=EP$.

И наоборот, если $P$ и $Q$ любые две точки равноудалены от концов отрезка $DE$, и если $O$ это любая точка на линии, проходящей через $Q$ то есть перпендикулярно $DE$, затем $DE$ - линия Филона для угла $DOE$ и точка $P$.

Алгебраическая конструкция

Подходящая фиксация лески с учетом направления от $O$ к $E$ и из $O$ к $D$ и расположение $P$ в этом бесконечном треугольнике получается с помощью следующей алгебры:

Суть $O$ откладывается в центр системы координат, направление от $O$ к $E$ определяет горизонталь $x$-координата и направление от $O$ к $D$ определяет линию с помощью уравнения $y{=}mx$ в прямолинейной системе координат. $m$ тангенс треугольнике угла в $DOE$. Затем $P$ имеет декартовы координаты $(P_{x},P_{y})$ и задача найти $E=(E_{x},0)$ по горизонтальной оси и $D=(D_{x},D_{y})=(D_{x},mD_{x})$ на другой стороне треугольника.

Уравнение пучка прямых с наклонами $\alpha$ чтопробежать через точку $(x,y)=(P_{x},P_{y})$ является

$y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}.$

Эти линии пересекают горизонтальную ось в точке

$\alpha (x-P_{x})+P_{y}=0$

который имеет решение

$(E_{x},E_{y})=\left(P_{x}-{\frac {P_{y}}{\alpha }},0\right).$

Эти линии пересекают противоположную сторону $y=mx$ в

$\alpha (x-P_{x})+P_{y}=mx$

который имеет решение

$(D_{x},D_{y})=\left({\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}},m{\frac {\alpha P_{x}-P_{y}}{\alpha -m}}\right).$

Квадрат евклидова расстояния между пересечениями горизонтальной линиии диагональ

$ED^{2}=d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {m^{2}(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}.$

Линия Филона определяется минимумом этого расстояния вотрицательный $\alpha$.

Арифметическое выражение для определения местоположения минимумаполучается заданием производной $\partial d^{2}/\partial \alpha =0$,так

$-2m^{2}{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})[(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{3}(\alpha -m)^{3}}}=0.$

Таким образом, вычисляя корень многочлена в числителе,

$(mP_{x}-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m=0$

определяет наклон конкретной линии в пучке линий, которая имеет наименьшую длину.[Глобальный минимум по наклонению $\alpha =P_{y}/P_{x}$ от корня другой фактор не представляет интереса; оно не определяет треугольник, но означаетчто горизонтальная линия, диагональ и линия пучка пересекаются в точке $(0,0)$.]

$-\alpha$ тангенс угла $OED$.

Обращение приведенного выше уравнения как $\alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})$ и подставим это в предыдущее уравнениечеловек обнаруживает, что $E_{x}$ является корнем кубического многочлена

$mx^{3}+(2P_{y}-3mP_{x})x^{2}+3P_{x}(mP_{x}-P_{y})x-(mP_{x}-P_{y})(P_{x}^{2}+P_{y}^{2}).$

Таким образом, решение этого кубического уравнения находит пересечение линии Филона на горизонтальной оси.Подстановка того же выражения в выражение для квадрата расстояния дает

$d^{2}={\frac {P_{y}^{2}+x^{2}-2xP_{x}+P_{x}^{2}}{(P_{y}+mx-mP_{x})^{2}}}x^{2}m^{2}.$

Расположение $Q$

Поскольку линия $OQ$ ортогонален $ED$, его наклон $-1/\alpha$, поэтому точки на этой прямой $y=-x/\alpha$. Координаты точки $Q=(Q_{x},Q_{y})$ рассчитываются путем пересечения этой линии с линией Филона, $y=\alpha (x-P_{x})+P_{y}$. $\alpha (x-P_{x})+P_{y}=-x/\alpha$ урожайность

$Q_{x}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})\alpha }{1+\alpha ^{2}}}$

$Q_{y}=-Q_{x}/\alpha ={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{1+\alpha ^{2}}}$

С координатами $(D_{x},D_{y})$ показано выше, квадрат расстояния от $D$ к $Q$ является

$DQ^{2}=(D_{x}-Q_{x})^{2}+(D_{y}-Q_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha m)^{2}}{(1+\alpha ^{2})(\alpha -m)^{2}}}$.

Квадрат расстояния от $E$ к $P$ является

$EP^{2}\equiv (E_{x}-P_{x})^{2}+(E_{y}-P_{y})^{2}={\frac {P_{y}^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}$.

Разница этих двух выражений

$DQ^{2}-EP^{2}={\frac {[(P_{x}m+P_{y})\alpha ^{3}+(P_{x}-2P_{y}m)\alpha ^{2}-P_{y}m][(P_{x}m-P_{y})\alpha ^{3}+P_{x}\alpha ^{2}-2P_{y}\alpha +P_{y}m]}{\alpha ^{2}(1+\alpha ^{2})(a-m)^{2}}}$.

Учитывая кубическое уравнение для $\alpha$ выше, который является одним из двух кубических многочленов в числителе, это ноль.Это алгебраическое доказательство того, что минимизация $DE$ приводит к $DQ=PE$.

Особый случай: прямой угол

Уравнение пучка прямых с наклоном $\alpha$ чтопробежать через точку $(x,y)=(P_{x},P_{y})$, $P_{x},P_{y}>0$, имеет пересечение с $x$-ось, указанная выше.Если $DOE$ образуют прямой угол, предел $m\to \infty$ результатов предыдущего разделав следующем частном случае:

Эти линии пересекают $y$-ось в

$\alpha (-P_{x})+P_{y}$

который имеет решение

$(D_{x},D_{y})=(0,P_{y}-\alpha P_{x}).$

Квадрат евклидова расстояния между пересечениями горизонтальной и вертикальной линий.является

$d^{2}=(E_{x}-D_{x})^{2}+(E_{y}-D_{y})^{2}={\frac {(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}(1+\alpha ^{2})}{\alpha ^{2}}}.$

Линия Филона определяется минимумом этой кривой (в точкеотрицательный $\alpha$).Арифметическое выражение для определения местоположения минимумагде производная $\partial d^{2}/\partial \alpha =0$,так

$2{\frac {(P_{x}\alpha -P_{y})(P_{x}\alpha ^{3}+P_{y})}{\alpha ^{3}}}=0$

эквивалентно

$\alpha =-{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}$

Поэтому

$d={\frac {P_{y}-\alpha P_{x}}{|\alpha |}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}=P_{x}[1+(P_{y}/P_{x})^{2/3}]^{3/2}.$

В качестве альтернативы, обратив предыдущие уравнения как $\alpha _{1}=P_{y}/(P_{x}-E_{x})$ и подключаем это к другому уравнению вышеможно найти

$E_{x}=P_{x}+P_{y}{\sqrt[{3}]{P_{y}/P_{x}}}.$

Удвоение куба

Линию Филона можно использовать для удвоения куба , то есть для построения геометрического представления кубического корня из двух, и это была цель Филона при определении этой линии. Конкретно, пусть $PQRS$ быть прямоугольником, соотношение сторон которого $PQ:QR$ является $1:2$, как на рисунке. Позволять $TU$ быть линией Филона $P$ относительно прямого угла $QRS$. Определить точку $V$ быть точкой пересечения линии $TU$ и круга через точки $PQRS$. Потому что треугольник $RVP$ вписан в круг с $RP$ по диаметру это прямоугольный треугольник, а $V$ — основание перпендикуляра, проведенного из вершины угла к линии Филона.

Позволять $W$ быть точкой, где линия $QR$ пересекает перпендикуляр через $V$. Тогда равенства отрезков $RS=PQ$, $RW=QU$, и $WU=RQ$ следуют из характерного свойства линии Филона. Подобие прямоугольных треугольников $PQU$, $RWV$, и $VWU$ затем следует перпендикулярное сечение прямоугольных треугольников пополам. Объединение этих равенств и сходств дает равенство пропорций. $RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ$ или более кратко $RS:RW=RW:WV=WV:RQ$. Поскольку первый и последний члены этих трех равных пропорций находятся в соотношении $1:2$, сами пропорции должны быть $1:{\sqrt[{3}]{2}}$, пропорция, необходимая для удвоения куба.

Поскольку удвоение куба невозможно с помощью линейки и циркуля , то построить линию Филона с помощью этих инструментов также невозможно.

Минимизация площади

Учитывая точку $P$ и угол $DOE$, вариант задачи может минимизировать площадь треугольника $OED$. С выражениями для $(E_{x},E_{y})$ и $(D_{x},D_{y})$ как указано выше, площадь равна половине произведения высоты и длины основания,

$A=D_{y}E_{x}/2={\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})^{2}}{2\alpha (\alpha -m)}}$.

Нахождение уклона $\alpha$ что минимизирует площадь, означает установить $\partial A/\partial \alpha =0$,

$-{\frac {m(\alpha P_{x}-P_{y})[(mP_{x}-2P_{y})\alpha +P_{y}m]}{2\alpha ^{2}(\alpha -m)^{2}}}=0$.

Опять отбрасываем корень $\alpha =P_{y}/P_{x}$ который не определяет треугольник, наклон находится в этомслучай

$\alpha =-{\frac {mP_{y}}{mP_{x}-2P_{y}}}$

и минимальная площадь

$A={\frac {2P_{y}(mP_{x}-P_{y})}{m}}$.

Дальнейшее чтение

• Неовиус, Эдуард (1888). «Об одной специальной геометрической задаче минимума» . Математические летописи . 31 (3): 359–362. дои : 10.1007/BF01206220 . S2CID   123120289 .
• Нойберг, Дж. (1907). «В небольших масштабах». Математика : 68–69.
• Веттерлинг, WWE (1996). «Обобщенная линия Филона: задача оптимизации из геометрии» (PDF) . Журнал теории оптимизации и приложений . 90 (3): 517–521. дои : 10.1007/BF02189793 . МР   1402620 . S2CID   119699906 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Линия Филона» . Математический мир .