Линейная функция
В математике термин «линейная функция» относится к двум различным, но связанным понятиям: [1]
- В исчислении и смежных областях линейная функция — это функция которой , график представляет собой прямую линию , то есть полиномиальную функцию . степени нулевой или единицей [2] Чтобы отличить такую линейную функцию от другой концепции, термин аффинная функция . часто используют [3]
- В линейной алгебре , математическом анализе , [4] и функционального анализа , линейная функция является линейным отображением . [5]
Как полиномиальная функция
[ редактировать ]В исчислении, аналитической геометрии и смежных областях линейная функция представляет собой полином первой или меньшей степени, включая нулевой полином (последний не считается имеющим нулевую степень).
Когда функция имеет только одну переменную , она имеет вид
где a и b — константы , часто действительные числа . График . такой функции одной переменной представляет собой невертикальную линию a часто называют наклоном линии, а b - точкой пересечения.
Если a > 0 , то градиент положительный и график имеет наклон вверх.
Если a < 0 , то градиент отрицательный и график имеет наклон вниз.
Для функции любого конечного числа переменных, общая формула имеет вид
и график является гиперплоскостью размерности k .
Постоянная функция также считается линейной в этом контексте, поскольку она представляет собой полином нулевой степени или нулевой полином. Его график при наличии только одной переменной представляет собой горизонтальную линию.
В этом контексте функция, которая также является линейной картой (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 представляют собой скалярнозначные аффинные отображения .
В виде линейной карты
[ редактировать ]В линейной алгебре линейная функция — это отображение f между двумя векторными пространствами такое, что
Здесь a обозначает константу, принадлежащую некоторому ( например , полю K скаляров действительных чисел ), а x и y — элементы векторного пространства , которым может быть K. само
Другими словами, линейная функция сохраняет сложение векторов и скалярное умножение .
Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле; [6] их чаще называют линейными формами .
«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) f (0, ..., 0) = 0 или, что то же самое, когда константа b равна нулю в приведенном выше многочлене одной степени. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.
См. также
[ редактировать ]- Гомогенная функция
- Нелинейная система
- Кусочно-линейная функция
- Линейное приближение
- Линейная интерполяция
- Прерывистая линейная карта
- Линейный метод наименьших квадратов
Примечания
[ редактировать ]- ^ «Термин «линейная функция» означает линейную форму в некоторых учебниках и аффинную функцию в других». Васерштейн 2006, с. 50-1
- ^ Стюарт 2012, с. 23
- ^ А. Курош (1975). Высшая алгебра . Издательство «Мир». п. 214.
- ^ ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 345.
- ^ Шорс 2007, с. 71
- ^ Гельфанд 1961.
Ссылки
[ редактировать ]- Израиль Моисеевич Гельфанд (1961), Лекции по линейной алгебре , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. Перепечатано Дувром, 1989 г. ISBN 0-486-66082-6
- Томас С. Шорс (2007), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ , Тексты для студентов по математике , Springer. ISBN 0-387-33195-6
- Джеймс Стюарт (2012), Исчисление: ранние трансценденталии , издание 7E, Брукс/Коул. ISBN 978-0-538-49790-9
- Леонид Н. Васерштейн (2006), «Линейное программирование», в изд. Лесли Хогбена , Справочник по линейной алгебре , дискретной математике и ее приложениям, Чепмен и Холл / CRC, гл. 50. ISBN 1-584-88510-6