Проблема выпаса коз

Задача о выпасе коз — это одна из двух связанных задач развлекательной математики, в которых задействована привязанная коза, пасущаяся на круглой территории: проблема внутреннего выпаса и проблема внешнего выпаса. Первый вариант предполагает обработку внутренней части круглой области , а второй — обработку внешней поверхности круглой области. Что касается внешней задачи, ограничение, заключающееся в том, что веревка не может войти в круглую область, диктует, что область выпаса образует эвольвенту . Если бы козу вместо этого привязали к столбу на краю круглой дорожки, который не мешал козе (а не к забору или силосу), внутренняя и внешняя проблема были бы дополнением простой круглой области.

Первоначальной проблемой была проблема внешнего выпаса скота, и она появилась в выпуске 1748 года английского ежегодного журнала «Дамский дневник : или Женский альманах» , обозначенного как «Вопрос». CCCIII, приписываемый Upnorensis (неизвестной исторической личности), заявил следующее:

Наблюдение за лошадью, привязанной для кормления в мужском парке, с одним концом веревки к передней ноге, а другим концом к одной из круглых железных перил, окружающих пруд, окружность которого составляет 160 ярдов, что равно длине длина веревки, какое самое большее количество земли могла бы прокормить лошадь?

Связанная с этим задача, касающаяся площади внутри круга без привязки к животным на скотном дворе, впервые появилась в 1894 году в первом выпуске известного журнала American Mathematical Monthly . Приписанное Чарльзу Э. Майерсу, оно было заявлено как:

Круг, содержащий один акр, разрезается другим, центр которого находится на окружности данного круга, а общая площадь для обоих равна половине акра. Найдите радиус режущей окружности.

Решения в обоих случаях нетривиальны, но поддаются прямому применению тригонометрии, аналитической геометрии или интегрального исчисления. Обе проблемы по своей сути трансцендентальны - они не имеют аналитических решений в замкнутой форме в евклидовой плоскости. Численные ответы должны быть получены с помощью процедуры итерационной аппроксимации. Проблемы с козлами не дают никаких новых математических открытий; скорее, это в первую очередь упражнения по искусной деконструкции проблем, чтобы облегчить их решение.

Были предложены и решены трехмерные аналоги и плоские задачи о границах/площадях других форм, включая очевидный прямоугольный сарай и/или поле. ^[1] Сформулировано обобщенное решение для любой гладкой выпуклой кривой типа эллипса и даже незамкнутых кривых. ^[2]

Проблема с внешним выпасом

Рассмотрен вопрос о пастбищной площади за пределами круга. Это касается ситуации, когда животное привязано к силосу. Сложность здесь в том, что пастбищная зона перекрывается вокруг бункера (т.е., как правило, привязь длиннее половины окружности бункера): коза может съесть траву только один раз, она не может съесть ее дважды. Ответ на предложенную задачу был дан в номере журнала за 1749 год неким Хитом и указан как 76 257,86 кв. ярдов. к чему пришли частично путем «проб и таблицы логарифмов». Ответ не настолько точен, как можно было бы предположить по количеству цифр точности. Аналитического решения предоставлено не было.

Полезное приближение

Пусть длина троса R = 160 ярдов. и радиус силоса r = R /(2 $π$ ) ярдов. Эвольвента в четвертом квадранте представляет собой почти круговую дугу. Можно представить, что сегмент окружности с одинаковым периметром (длиной дуги) будет охватывать почти такую же площадь; радиус и, следовательно, площадь этого сегмента можно легко вычислить. Длина дуги эвольвенты определяется выражением ${\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}$ поэтому длина дуги |FG| эвольвенты в четвертом квадранте равна ${\tfrac {1}{2}}r{\Big [}\theta ^{2}{\Big ]}_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }$ . Пусть c — длина дугового сегмента эвольвенты между осью y и вертикальной линией, касательной к бункеру при θ = 3 $π$ /2; это дуга, опирающаяся на Φ . $c\approx r$ (хотя дуга в минуту длиннее r , разница незначительна). Так $|FG|={\tfrac {1}{2}}\cdot 25.46\cdot (6.28^{2}-4.71^{2})+25.46=245.38$ . Длина дуги окружности равна $r\theta$ и θ здесь — это $π$ /2 радиан четвертого квадранта, поэтому $r{\tfrac {\pi }{2}}=245.38$ , r радиус дуги окружности равен $156.21$ а площадь кругового сегмента, ограниченного им, равна ${\tfrac {\pi r^{2}}{4}}=19165$ . Площадь эвольвенты исключает половину площади силоса (1018,61) в четвертом квадранте, поэтому ее приблизительная площадь равна 18146, а пастбищная площадь включает полукруг радиуса R , ( ${\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}$ ) итоги $2\cdot 18146+40212=76505$ . Это 249 кв. ярдов. больше правильной области 76256, ошибка всего 0,33%. Этот метод аппроксимации может быть не так хорош для углов < 3 $π$ /2 эвольвенты.

Если это имеет значение, существует конструктивный способ получить быструю и очень точную оценку $\varphi$ : провести диагональ из точки ${\tfrac {3}{2}}\pi$ по окружности пруда до его пересечения по оси Y. Длина диагонали 120 ярдов. потому что это ${\tfrac {3}{4}}$ троса. Таким образом, другой катет треугольника, нарисованная гипотенуза, равен ${\sqrt {120^{2}-r^{2}}}=117.27$ ярдов. Так $\varphi \approx \sin ^{-1}({\tfrac {r}{117.27}})=.219$ радианы, округленные до трех знаков.

Решение путем интегрирования с полярными координатами

Найдите площадь между кругом и его эвольвентой под углом от 2 $π$ до −2 $π,$ исключая любое перекрытие. В декартовых координатах уравнение эвольвенты трансцендентно; сделать линейный интеграл там вряд ли осуществимо. Более удачный подход — использовать полярные координаты ( z , θ ). Потому что «развертка» области под эвольвентой ограничена касательной (см. схему и вывод ниже), которая не является границей ( ${\overline {qF}}$ ) между перекрывающимися областями, декомпозиция задачи приводит к четырем вычислимым областям: полукругу, радиус которого равен длине троса ( A ₁ ); площадь, «охваченная» тросом под углом 2 $π$ ( A ₂ ); часть площади A ₂ от θ = 0 до касательного отрезка ${\overline {tF}}$ ( А ₃ ); и область клина qFtq ( A ₄ ). Итак, желаемая площадь A равна A ₁ + ( A ₂ − A ₃ + A ₄ ) · 2. Площадь(и), которую необходимо вычислить, находится между двумя квадратичными кривыми и обязательно будет интегралом или разностью интегралов.

Основными параметрами задачи являются $R$ , длина троса определена как 160 ярдов, и $r$ , радиус силоса. Нет необходимой связи между $R$ и $r$ , но здесь $r={\tfrac {160}{2\pi }}$ - радиус круга, длина окружности которого равна $R$ . Если определить точку привязки $v$ (см. диаграмму выше) в качестве начала координат с кругом, обозначающим окружность пруда под осью x , и $F$ на оси Y ниже круга, обозначающего точку пересечения троса при намотке по часовой стрелке и против часовой стрелки, пусть $t$ точка на окружности такая, что касательная к ней $t$ пересекает $F$ , и $|{\overset {\frown }{vt}}|$ + $|{\overline {tF}}|$ Длина троса. Позволять $q$ быть точкой пересечения окружности пруда на оси y (напротив $v$ ) ниже начала координат. Тогда пусть острый $\angle tFq$ быть $\varphi$ .

Площадь под эвольвентой является функцией $R^{3}$ потому что это интеграл по квадратичной кривой. Область имеет фиксированную границу, определяемую параметром $r$ (т.е. окружность силоса). В этом случае площадь обратно пропорциональна $r$ , то есть чем больше $r$ , тем меньше площадь интеграла, а длина окружности является линейной функцией $r$ ( $2\pi r$ ). Итак, ищем выражение для площади под эвольвентой $E=f(R^{3}/r)$ .

Во-первых, область А ₁ представляет собой полукруг радиуса $R$ так $A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}.$

Далее находим угол $\varphi$ которое будет использовано в пределах интегралов ниже. Позволять $x=|{\overline {tF}}|$ . $\varphi$ является дополнительным к противоположному углу треугольника, прямой угол которого находится в точке t; а также дополняющий этот угол в третьем квадранте круга. $|{\overline {tF}}|$ это развернутая дуга ${\overset {\frown }{vqt}}$ , поэтому его длина дуги равна $r\theta _{x}$ . Так $\theta _{x}={\tfrac {x}{r}}$ и $\theta _{x}={\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi$ , так $\varphi ={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {x}{r}}$ . Окончательно, $\tan(\varphi )={\tfrac {r}{x}}$ и получается следующее уравнение: $r=x\cdot \tan {({\tfrac {3}{2}}\pi -{\tfrac {x}{r}})}$ . Это трансцендентное уравнение, которое можно решить только методом проб и ошибок, полиномиальным разложением или итеративной процедурой, такой как Ньютон-Рафсон. $\varphi \approx 0.21900[+0,-0.00003]$ . ^[3]

Затем вычислите площадь между окружностью пруда и эвольвентой. Вычислите площадь сужающегося «хвоста» эвольвенты, т. е. площадь перекрытия (обратите внимание, что из-за касательной tF эта площадь включает в себя клиновидную секцию, область A ₄ , которую придется добавить обратно во время окончательного расчета). суммирование). Напомним, что площадь кругового сектора равна ${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$ если угол в радианах. Представьте себе бесконечно тонкий круговой сектор из $o$ к $p$ опирается на бесконечно малый угол $\Delta \theta$ . касательная к $o$ , существует соответствующий бесконечно тонкий сектор эвольвенты из $m$ к $n$ стягивающий один и тот же бесконечно малый угол $\Delta \theta$ . Площадь этого сектора составляет ${\tfrac {1}{2}}z^{2}\Delta \theta$ где $z$ это радиус под некоторым углом $\theta _{i}$ , что $r\theta _{i}$ , длина дуги окружности, «развернутой» под углом $\theta _{i}$ . Площадь под эвольвентой представляет собой сумму всех бесконечно многих бесконечно тонких секторов. $i$ под каким-то углом $\theta _{n}$ . Эта сумма

\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}(r\theta _{i})^{2}\Delta \theta =\int _{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }{\frac {1}{2}}(r\theta )^{2}\ d\theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\left[{\frac {\theta ^{3}}{3}}\right]_{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }={\frac {4}{3}}r^{2}\pi ^{3}-{\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {({\frac {3\pi }{2}}-\varphi )^{3}}{3}}.

Границы интеграла представляют собой площадь под эвольвентой в четвертом квадранте между ${\overline {tF}}$ и ${\overline {vG}}$ . Угол измеряется на окружности, а не на эвольвенте, поэтому он меньше ${\tfrac {3\pi }{2}}$ под некоторым углом, обозначенным $\varphi$ . $\varphi$ Не задано и должно определяться косвенно. К сожалению, нет способа упростить последний термин, представляющий нижнюю границу выражения eval, потому что $\varphi$ не является рациональной дробью $\pi$ , поэтому его также можно заменить и вычислить сразу (без учета $\pi$ превентивно): ${\tfrac {1}{6}}r^{2}\pi ^{3}\cdot ({\tfrac {27}{8}}-K({\tfrac {\varphi }{\pi }}))$ который по пояснительным причинам можно переписать $A_{2}-A_{3}={\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{48r}}\cdot ({\tfrac {27}{8}}-K({\tfrac {\varphi }{\pi }}))$ . Кажется уместным объединить фактор ${\tfrac {1}{8}}$ в постоянный член, чтобы получить общий знаменатель для всех членов, поэтому $A_{2}-A_{3}={\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{6r}}\cdot ({\tfrac {27}{64}}-K({\tfrac {\varphi }{8\pi }}))$ . $K$ преобладает линейный член интегрирования, поэтому можно записать: $K={\tfrac {27}{32\pi }}\varphi -Z$ где $Z$ является ненулевой положительной, но незначительной величиной.

А ₄ — площадь своеобразного клина. $\lambda ^{tFqt}$ . Эта площадь равна площади прямоугольного треугольника с вершиной t минус площадь сектора, ограниченного ${\overset {\frown }{tq}}$ . $\lambda ={\tfrac {rx}{2}}-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$ где x представляет собой |tF| θ — угол, противоположный Φ в прямоугольном треугольнике. Так, $\lambda ={\tfrac {1}{2}}r(R-r({\tfrac {\pi }{2}}+\varphi ))-{\tfrac {1}{2}}r^{2}({\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )={\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi )$ . Если $R=2\pi r$ , то площадь $\lambda$ клина ${\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}$ путем сокращения.

Окончательное суммирование A ₁ + ( A ₂ − A ₃ + A ₄ ) · 2 равно ${\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}+({\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{6r}}\cdot ({\tfrac {27}{64}}-({\tfrac {27}{32\pi }}\varphi -Z))+{\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi ))\cdot 2$ . Любая неточность в расчете теперь является неопределенностью в $\varphi$ и остаток $Z$ . $\varphi \doteq ({\tfrac {R}{r}}-{\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )^{-1}$ . Это полезно для выяснения взаимосвязей между параметрами. $\varphi$ трансцендентно, поэтому определение является рекуррентным отношением. Первоначальное предположение $\varphi$ представляет собой небольшую долю $\pi$ . Числовой ответ $A=76256$ округлено до ближайшего квадратного ярда. ^[4] Стоит отметить, что $\lim _{\varphi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}A={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}+{\tfrac {R^{3}}{6r}}$ , что является ответом для случая, когда длина троса равна половине окружности (или любой длины, такой что ${\tfrac {R}{r}}\leq \pi$ ) бункера, или нет необходимости учитывать перекрытие. Коза может съесть всю площадь большого круга, кроме 5%, определяемую длиной ее привязи, а половина площади, которую она не может съесть, находится в пределах периметра пруда/силоса. Единственная неточность в расчете заключается в том, что отсутствует представление в замкнутой форме для $\varphi$ можно получить из представленной геометрии. Но небольшие неточности в $\varphi$ когда $\varphi \ll 1$ существенно не повлияют на конечный результат.

Решение по отношению длины дуги

Точно так же, как площадь под линией пропорциональна длине линии между границами, так и площадь кругового сектора равна отношению длины дуги ( $L=r\theta$ ) сектора ( $A={\tfrac {r}{2}}\cdot L$ ), площадь между эвольвентой и ограничивающей ее окружностью также пропорциональна длине дуги эвольвенты. $L={\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}$ : $A={\tfrac {r\theta }{3}}\cdot L={\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}$ для $0<\theta <\theta _{i}$ . Таким образом, общая площадь выпаса равна $A=A_{1}+(A_{2}-A_{3}+A_{4})\cdot 2$ . $A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}$ . $A_{2}-A_{3}=\left[{\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}\right]_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }$ . $A_{4}={\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}$ .

Проблема внутреннего выпаса

Позволять $P$ быть центром единичного круга. Коза/бык/лошадь привязана к точке. $Q$ по окружности. Какова длина веревки $r$ должно быть, чтобы животное могло пастись ровно на половине площади круга (белая область на диаграмме в плоской геометрии, называемая линзой ) ?

Решение путем расчета площади линзы

Область, до которой может добраться животное, имеет форму асимметричной линзы , ограниченной двумя круговыми дугами .

Район $A$ линзы с двумя кругами радиусов $R,r$ и расстояние между центрами $d$ является

{\begin{aligned}A={}&r^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}-r^{2}+R^{2}}{2dR}}\right)\\&{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(d+r-R)(d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)}},\end{aligned}}

что упрощается в случае $R=d=1$ и половина площади круга

{\frac {1}{2}}\pi =r^{2}\arccos \left({\frac {1}{2}}r\right)+\arccos \left(1-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)-{\frac {1}{2}}r{\sqrt {4-r^{2}}}.

Уравнение может быть решено только итеративно и приводит к $r=1.1587\ldots$ (последовательность A133731 в OEIS ).

Решение с использованием интеграции

Используя $r<{\sqrt {2}}$ и интегрируем по правой половине площади линзы с

{\frac {1}{4}}\pi =\int _{0}^{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}\left({\sqrt {r^{2}-t^{2}}}+{\sqrt {1-t^{2}}}-1\right)\,dt

трансцендентное уравнение

r={\frac {\pi }{\pi r-{\sqrt {4-r^{2}}}+\left({\frac {4}{r}}-2r\right)\arcsin \left({\frac {1}{2}}r\right)}}

Далее следует то же решение.

Действительно, используя тождества $\arccos \left(1-{\frac {r^{2}}{2}}\right)+2\arccos \left({\frac {|r|}{2}}\right)=\pi$ и $\arcsin \left({\frac {r}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)$ , можно получить трансцендентное уравнение, полученное из площади линзы.

Решение по площади сектора плюс площадь сегмента

Площадь можно записать как сумму площади сектора плюс площадь сегмента. ^[5]

Предполагая, что поводок привязан к нижней части загона, определим $\theta$ как угол, под которым натянутый поводок поднимается вверх, когда коза находится на окружности. Определять $\alpha$ как угол вниз к тому же месту, но от центра пера, а не от центра большего круга. Сумма углов треугольника равна $\pi$ для полученного равнобедренного треугольника , давая $\alpha =\pi -2\theta$ . Установка радиуса пера равным 1 и тригонометрии, например $\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$ тогда дай $\theta =\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)$ .

Требование, чтобы половина площади пастбища составляла 1/4 площади загона, дает $A_{sector}+A_{segment}=\pi /4$ . Использование формул кругового сектора и площади кругового сегмента дает

r^{2}\theta +\alpha -\sin(\alpha )={\frac {\pi }{2}}

,

что только предполагает $0<r<2$ .

Объединение в одно уравнение дает

{\frac {\pi }{2}}=r{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}+(2-r^{2})\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)

.

Обратите внимание, что решение для $\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)$ тогда взятие косинуса обеих сторон генерирует дополнительные решения, даже если включать очевидное ограничение $1<r<{\sqrt {2}}$ .

Используя тригонометрические тождества, мы видим, что это то же самое трансцендентное уравнение, которое дают площадь линзы и интегрирование.

Решение закрытой формы

Используя методы комплексного анализа , в 2020 году Инго Уллиш получил решение в замкнутой форме как косинус отношения двух контурных интегралов : ^[6]

r=2\cos \left({\frac {\displaystyle \oint _{C}{\frac {z}{2\sin z-2z\cos z-\pi }}\,dz}{\displaystyle \oint _{C}{\frac {2}{2\sin z-2z\cos z-\pi }}\,dz}}\right),

где С - окружность $\left|z-{\frac {3\pi }{4}}\right|={\frac {\pi }{4}}$ .

3-мерное расширение

Трехмерным аналогом двумерной задачи о козле является птица, привязанная к внутренней части сферы, причем привязь достаточно длинная, чтобы ограничить полет птицы половиной объема сферы. В трехмерном случае точка $Q$ лежит на поверхности единичной сферы , и задача состоит в том, чтобы найти радиус $r$ второй сферы так, чтобы объем тела пересечения был равен ровно половине объема единичной сферы.

Объем единичной сферы, до которого может добраться животное, имеет форму трехмерной линзы со сторонами разной формы и определяется двумя сферическими колпачками .

Объем $V$ линзы с двумя сферами радиусов $R,r$ и расстояние между центрами $d$ является

V={\frac {\pi (R+r-d)^{2}\left(d^{2}+2dr-3r^{2}+2dR+6rR-3R^{2}\right)}{12d}},

что упрощается в случае $R=d=1$ и половина объема сферы

{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi =-{\frac {1}{4}}\pi r^{4}+{\frac {2}{3}}\pi r^{3},

ведущие к решению $r=1.2285\ldots$

Можно продемонстрировать, что с увеличением размерности область достижимости приближается к половине сферы на критической длине. $r={\sqrt {2}}$ . Если $r<{\sqrt {2}}$ , покрытая площадь почти не приближается к сфере; если $r>{\sqrt {2}}$ , охватываемая площадь приближается к всей площади сферы. ^[7]^[8]

См. также

Проблема миссис Минивер , еще одна проблема выравнивания площадей круглых лунок и линз

Ссылки

^ Бассетт, Гилберт (27 сентября 2021 г.). «Коза в городе» . Математический интеллект . 44 : 1–6. дои : 10.1007/s00283-021-10120-7 . ISSN 0343-6993 . S2CID 244171722 .
^ Майкл Э. Хоффман, «Бык и бункер: применение кривизны», American Mathematical Monthly 105 (1998), 55–58
^ Эталонное значение Φ при итеративном приближении составляет 0,21897952.
^ Алгоритмическое моделирование дает ответ 76255,66 [+0,005,-0] квадратных ярдов (предел числа с плавающей запятой одинарной точности на машине), возможная ошибка менее 3/4 площади игральной карты или спортивных игр. карта на поле площадью почти 17 акров.
^ Грайм, Джеймс (24 декабря 2022 г.). Проблема козла — числофил .
^ Уллиш, Инго (18 февраля 2020 г.). «Решение геометрической проблемы козла в закрытой форме». Математический интеллект . 42 (3): 12–16. дои : 10.1007/s00283-020-09966-0 . ISSN 0343-6993 . S2CID 213946036 . (Ошибка: дои : 10.1007/s00283-023-10299-x )
^ Фрейзер, Маршалл (март 1984 г.). «Пастущая коза в n измерениях» . Двухлетний математический журнал колледжа . 15 (2): 126–134. дои : 10.2307/2686517 . JSTOR 2686517 .
^ Мейерсон, Марк Д. (ноябрь 1984 г.). «Возвращение пасущейся козы в n измерениях» . Двухлетний математический журнал колледжа . 15 (5): 430–432. дои : 10.2307/2686558 . JSTOR 2686558 .

Раймонд Клэр Арчибальд (1921). «Эвольвенты круга и пастбищная проблема» . Американский математический ежемесячник . 28 (8–9): 328–329. дои : 10.1080/00029890.1921.11986059 .
Фрейзер, Маршалл (1982). «Сказка о двух козлах». Журнал «Математика» . 55 (4): 221–227. дои : 10.1080/0025570X.1985.11976987 . JSTOR 2690163 .
Жан Жаклен (2003). «Проблема гиперкозла» . Квадратура (49): 6–12. ISSN 1142-2785 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Проблема коз» . Математический мир .
«Математик точно решил многовековую задачу о выпасе коз» . Журнал Кванта .
Проблема коз — популярное видео о проблеме коз.

[1] Бассетт, Гилберт (27 сентября 2021 г.). «Коза в городе» . Математический интеллект . 44 : 1–6. дои : 10.1007/s00283-021-10120-7 . ISSN 0343-6993 . S2CID 244171722 .

[2] Майкл Э. Хоффман, «Бык и бункер: применение кривизны», American Mathematical Monthly 105 (1998), 55–58

[3] Эталонное значение Φ при итеративном приближении составляет 0,21897952.

[4] Алгоритмическое моделирование дает ответ 76255,66 [+0,005,-0] квадратных ярдов (предел числа с плавающей запятой одинарной точности на машине), возможная ошибка менее 3/4 площади игральной карты или спортивных игр. карта на поле площадью почти 17 акров.

[5] Грайм, Джеймс (24 декабря 2022 г.). Проблема козла — числофил .

[6] Уллиш, Инго (18 февраля 2020 г.). «Решение геометрической проблемы козла в закрытой форме». Математический интеллект . 42 (3): 12–16. дои : 10.1007/s00283-020-09966-0 . ISSN 0343-6993 . S2CID 213946036 . (Ошибка: дои : 10.1007/s00283-023-10299-x )

[7] Фрейзер, Маршалл (март 1984 г.). «Пастущая коза в n измерениях» . Двухлетний математический журнал колледжа . 15 (2): 126–134. дои : 10.2307/2686517 . JSTOR 2686517 .

[8] Мейерсон, Марк Д. (ноябрь 1984 г.). «Возвращение пасущейся козы в n измерениях» . Двухлетний математический журнал колледжа . 15 (5): 430–432. дои : 10.2307/2686558 . JSTOR 2686558 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]