Псевдогруппа
В математике псевдогруппа — это набор диффеоморфизмов между открытыми множествами пространства, удовлетворяющих групповым и снопочным свойствам. Это обобщение [ сомнительно – обсудить ] понятия группы , происходящего, однако, из геометрического подхода Софуса Ли [1] исследовать симметрии дифференциальных уравнений, а не из абстрактной алгебры (например , квазигруппы ). Современная теория псевдогрупп была разработана Эли Картаном в начале 1900-х годов. [2] [3]
Определение
[ редактировать ]Псевдогруппа накладывает несколько условий на множества гомеоморфизмов (соответственно диффеоморфизмов ), определенных на открытых множествах U данного евклидова пространства или, в более общем смысле, фиксированного топологического пространства (соответственно гладкого многообразия ). Поскольку два гомеоморфизма h : U → V и g : V → W образуют гомеоморфизм из U в W , возникает вопрос, чтобы псевдогруппа была замкнута относительно композиции и инверсии. Однако, в отличие от аксиом группы, аксиомы, определяющие псевдогруппу, не являются чисто алгебраическими; дальнейшие требования связаны с возможностью ограничения и исправления гомеоморфизмов (аналогично аксиоме склейки сечений пучка).
Точнее, псевдогруппа в топологическом пространстве S — это совокупность гомеоморфизмов между открытыми подмножествами S, удовлетворяющая следующим свойствам: [4] [5]
- Область определения элементов g в Γ покрывает S (« покрытие »).
- Ограничение элемента g в Γ на любое открытое множество, содержащееся в его области определения, также находится в Γ (« ограничение »).
- Композиция g ∘ h двух элементов из Γ , если она определена, находится в Γ (« композиция »).
- Обратный элемент g находится в Γ (« обратный »).
- Свойство лежать в Γ является локальным, т. е. если g : U → V является гомеоморфизмом между открытыми множествами S и U , покрываемым открытыми множествами U i , где g ограничен U i, лежащим в Γ для каждого i , то g также лежит в Γ (« локальный »).
Как следствие, тождественный гомеоморфизм любого открытого подмножества S лежит в Γ .
Аналогично псевдогруппа на гладком многообразии X определяется как совокупность диффеоморфизмов между открытыми подмножествами X, удовлетворяющими аналогичным свойствам (где мы заменяем гомеоморфизмы диффеоморфизмами). [6]
две точки в X Говорят, что находятся на одной и той же орбите , если элемент из Γ переводит одну в другую. Орбиты псевдогруппы, очевидно, образуют разбиение X ; псевдогруппа называется транзитивной, если она имеет только одну орбиту.
Примеры
[ редактировать ]Широко распространенный класс примеров составляют псевдогруппы, сохраняющие заданную геометрическую структуру. Например, если ( X , g ) — риманово многообразие , существует псевдогруппа его локальных изометрий ; если ( X , ω ) — симплектическое многообразие , то существует псевдогруппа его локальных симплектоморфизмов ; и т. д. Эти псевдогруппы следует понимать как совокупность локальных симметрий этих структур.
Псевдогруппы симметрий и геометрические структуры
[ редактировать ]Многообразия с дополнительными структурами часто можно определить с помощью псевдогрупп симметрий фиксированной локальной модели. Точнее, для данной псевдогруппы Γ топологического Γ -атлас пространства S состоит из стандартного атласа на S такого, что изменения координат (т.е. отображения переходов) принадлежат Γ . Эквивалентный класс Γ-атласов называется также Γ -структурой на S .
В частности, когда Γ — псевдогруппа всех локально определенных диффеоморфизмов R н , восстанавливается стандартное понятие гладкого атласа и гладкой структуры . В более общем смысле можно определить следующие объекты как Γ -структуры в топологическом пространстве S :
- плоские римановы структуры для Γ псевдогрупп изометрий R н с канонической евклидовой метрикой;
- симплектические структуры , для Γ псевдогруппа симплектоморфизмов R 2 н с канонической симплектической формой;
- аналитические структуры , для Γ псевдогруппа вещественно)аналитических диффеоморфизмов R ( н ;
- Римановы поверхности , где Г — псевдогруппа обратимых голоморфных функций комплексной переменной .
В более общем смысле, любая интегрируемая G -структура и любое ( G , X ) -многообразие являются частными случаями Γ -структур для подходящих псевдогрупп Γ .
Псевдогруппы и теория Ли
[ редактировать ]В целом псевдогруппы изучались как возможная теория бесконечномерных групп Ли . Концепция локальной группы Ли , а именно псевдогруппы функций, определенных в окрестностях начала евклидова пространства E , на самом деле ближе к исходной концепции Ли группы Ли в случае, когда задействованные преобразования зависят от конечного числа параметров. , чем современное определение через многообразия . Одним из достижений Картана было прояснение рассматриваемых моментов, включая тот факт, что локальная группа Ли всегда порождает глобальную группу в современном смысле (аналог третьей теоремы Ли , об алгебрах Ли определяющих группу). Формальная группа — это еще один бесконечно малый подход к спецификации групп Ли. Однако известно, что локальные топологические группы не обязательно имеют глобальные аналоги.
Примеров бесконечномерных псевдогрупп имеется множество, начиная с псевдогруппы диффеоморфизмов E всех . Интерес в основном вызывают подпсевдогруппы диффеоморфизмов и, следовательно, объекты, которые имеют аналог векторных полей в алгебре Ли . Методы, предложенные Ли и Картаном для изучения этих объектов, стали более практичными с развитием компьютерной алгебры .
В 1950-х годах теория Картана была переформулирована Шиинг-Шеном Черном , а общая теория деформации псевдогрупп была разработана Кунихико Кодайрой. [7] и округ Колумбия Спенсер . [8] В 1960-х годах гомологическая алгебра была применена к основным вопросам PDE , связанным с переопределенностью; однако это показало, что алгебра теории потенциально очень тяжелая. интерес к теоретической физике В том же десятилетии впервые появился бесконечномерной теории Ли в форме современной алгебры .
Интуитивно понятно, что псевдогруппа Ли должна быть псевдогруппой, «происходящей» из системы УЧП. В литературе встречается много похожих, но неэквивалентных понятий; [9] [10] [11] [12] [13] «правильный» зависит от того, какое приложение вы имеете в виду. Однако все эти различные подходы включают в себя (конечно- или бесконечномерные) расслоения струй Γ , которые считаются группоидом Ли . В частности, псевдогруппа Ли называется конечного порядка k, если ее можно «восстановить» по пространству ее k - струй .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Софус, Ли (1888–1893). Теория групп преобразований . Б. Г. Тойбнер. OCLC 6056947 .
- ^ Картан, Эли (1904). «О строении бесконечных групп преобразований» (PDF) . Научные анналы Высшей нормальной школы . 21 : 153–206. дои : 10.24033/asens.538 .
- ^ Картан, Эли (1909). «Непрерывные, бесконечные, простые группы преобразований» (PDF) . Научные анналы Высшей нормальной школы . 26 : 93–161. дои : 10.24033/asens.603 .
- ^ Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии, том I. Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. 1–2. ISBN 0470496487 .
- ^ Терстон, Уильям П. (1997). Сильвио Леви (ред.). Трехмерная геометрия и топология . Принстонская математическая серия. Том. 35. Издательство Принстонского университета . дои : 10.1515/9781400865321 . ISBN 0-691-08304-5 . МР 1435975 .
- ^ Лумис, Линн ; Штернберг, Шломо (2014). «Дифференцируемые многообразия». Расширенное исчисление (пересмотренное издание). Всемирная научная. стр. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0 . МР 3222280 .
- ^ Кодайра, К. (1960). «О деформациях некоторых сложных псевдогрупповых структур» . Анналы математики . 71 (2): 224–302. дои : 10.2307/1970083 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970083 .
- ^ Гиймен, Виктор; Штернберг, Шломо (1966). «Теория деформации псевдогрупповых структур» . Мемуары Американского математического общества (64): 0. doi : 10.1090/memo/0064 . ISSN 0065-9266 .
- ^ Кумпера, Антонио; Спенсер, Дональд Клейтон (1 января 1973 г.). Уравнения лжи, Vol. Я. Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9781400881734 . ISBN 978-1-4008-8173-4 .
- ^ Сингер, ИМ; Штернберг, Шломо (1965). «Бесконечные группы Ли и Картана. Часть I (Транзитивные группы)». Журнал Математического Анализа . 15 (1): 1–114. дои : 10.1007/bf02787690 . ISSN 0021-7670 . S2CID 123124081 .
- ^ Клод., Альберт (1984–1987). Транзитивные псевдогруппы Ли . Германн. OCLC 715985799 .
- ^ Кураниши, Масатаке (1959). «К локальной теории непрерывных бесконечных псевдогрупп I» . Нагойский математический журнал . 15 : 225–260. дои : 10.1017/s0027763000006747 . ISSN 0027-7630 .
- ^ Олвер, Питер Дж.; Похьянпелто, Юха (2005). «Формы Маурера – Картана и строение псевдогрупп Ли» . Селекта Математика . 11 (1): 99–126. дои : 10.1007/s00029-005-0008-7 . ISSN 1022-1824 . S2CID 14712181 .
- Святой Голаб (1939). «О понятии «псевдогруппы преобразований» ». Математические летописи . 116 :768-780. дои : 10.1007/BF01597390 . S2CID 124962440 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Алексеевский, Д.В. (2001) [1994], «Псевдогруппы» , Энциклопедия Математики , EMS Press