Группа Пуанкаре

Чтобы узнать о группе Пуанкаре (фундаментальной группе) топологического пространства, см. Фундаментальную группу .

Анри Пуанкаре

Группа Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре (1906), была впервые определена Германом Минковским (1908) как группа изометрий Минковского пространства-времени . Это десятимерная неабелева группа Ли , которая имеет важное значение в качестве модели для нашего понимания самых основных основ физики .

Обзор

Группа Пуанкаре состоит из всех преобразований координат пространства Минковского, которые не меняют пространственно-временной интервал между событиями . Например, если бы все было отложено на два часа, включая два события и путь, по которому вы прошли от одного к другому, то интервал времени между событиями, зафиксированный секундомером, который вы носили с собой, был бы одинаковым. Или если бы все сместилось на пять километров к западу или повернулось на 60 градусов вправо, вы бы тоже не увидели никаких изменений в интервале. Оказывается, такой сдвиг не влияет и на собственную длину объекта.

Всего существует десять степеней свободы подобных преобразований. Их можно рассматривать как перемещение во времени или пространстве (четыре степени, по одной на каждое измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода ориентации этой плоскости); или « ускорение » в любом из трех пространственных направлений (три градуса). Композиция преобразований — это операция группы Пуанкаре, при которой вращения производятся как композиция четного числа отражений.

В классической физике группа Галилея представляет собой сравнимую группу с десятью параметрами, действующую на абсолютное время и пространство . Вместо ускорений он использует сдвиговые отображения для связи сопутствующих систем отсчета.

В общей теории относительности , то есть под действием гравитации , симметрия Пуанкаре применима только локально. Рассмотрение симметрий в общей теории относительности не входит в задачу данной статьи.

Симметрия Пуанкаре

Симметрия Пуанкаре — это полная симметрия специальной теории относительности . Он включает в себя:

• трансляции (смещения) во времени и пространстве, образующие абелеву группу Ли пространственно-временных сдвигов ( P );
• вращения в пространстве, образующие неабелеву группу Ли трехмерных вращений ( J );
• повышения , преобразования, соединяющие два равномерно движущихся тела ( К ).

Последние две симметрии, J и K , вместе составляют группу Лоренца (см. также Лоренц-инвариантность ); полупрямое произведение группы сдвигов пространства-времени и группы Лоренца затем дает группу Пуанкаре. Говорят, что объекты, инвариантные относительно этой группы, обладают инвариантностью Пуанкаре или релятивистской инвариантностью .

10 генераторов (в четырех измерениях пространства-времени), связанных с симметрией Пуанкаре, по теореме Нётер , подразумевают 10 законов сохранения:

• 1 для энергии – связано с перемещением во времени.
• 3 для импульса – связан с перемещением через пространственные измерения.
• 3 для углового момента, связанного с вращением между пространственными измерениями.
• 3 для величины, включающей скорость центра масс, связанной с гиперболическими вращениями между каждым пространственным измерением и временем.

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре — это группа изометрий пространства-времени Минковского . Это десятимерная некомпактная группа Ли . Четырехмерная абелева группа сдвигов -времени пространства является нормальной подгруппой , а шестимерная группа Лоренца также является подгруппой, стабилизатором начала координат. Сама группа Пуанкаре является минимальной подгруппой аффинной группы , которая включает в себя все сдвиги и преобразования Лоренца . Точнее, это полупрямой продукт группы сдвигов пространства-времени и группы Лоренца,

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,$

с групповым умножением

$(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)$.

Другими словами, группа Пуанкаре является групповым расширением группы Лоренца векторного представления посредством ее ; ее иногда неофициально называют неоднородной группой Лоренца . В свою очередь, его также можно получить как групповое сжатие группы де Ситтера SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) при стремлении радиуса де Ситтера к бесконечности.

с положительной энергией Его унитарные неприводимые представления индексируются массой (неотрицательное число) и спином ( целое или полуцелое) и связаны с частицами в квантовой механике (см. классификацию Вигнера ).

В соответствии с программой Эрлангена геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.

В квантовой теории поля универсальное накрытие группы Пуанкаре

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),$

который можно отличить по двойной крышке

$\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),$

более важно, поскольку представления $\operatorname {SO} (1,3)$ не способны описывать поля со спином 1/2; то есть фермионы . Здесь $\operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )$ это группа сложных $2\times 2$ матрицы с единичным определителем, изоморфные спиновой группе сигнатуры Лоренца $\operatorname {Spin} (1,3)$.

Алгебра Пуанкаре

Алгебра Пуанкаре — это алгебра Ли группы Пуанкаре. Это расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. Точнее, правильный( ${\textstyle \det \Lambda =1}$), ортохронный ( ${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$) часть подгруппы Лоренца (ее единичная компонента ), ${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$, связано с тождеством и, таким образом, обеспечивается возведением в степень ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$ этой алгебры Ли . В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями:

${\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}$

где $P$ является генератором переводов, $M$ является генератором преобразований Лоренца, а $\eta$ это $(+,-,-,-)$ Метрика Минковского (см. Соглашение о знаках ).

Схема коммутационной структуры алгебры Пуанкаре. Ребра диаграммы соединяют генераторы с ненулевыми коммутаторами.

Нижнее коммутационное соотношение представляет собой («однородную») группу Лоренца, состоящую из вращений, ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$, и повышает, ${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$. В этих обозначениях вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как

${\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}$

где нижний коммутатор двух повышающих частот часто называют «вращением Вигнера». Упрощение ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ позволяет свести подалгебру Лоренца к ${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$ и эффективное лечение связанных с ним представлений . По физическим параметрам имеем

${\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}$

Инвариантами Казимира этой алгебры являются ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ и ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ где ${\textstyle W_{\mu }}$ – псевдовектор Паули–Любанского ; они служат ярлыками для репрезентаций группы.

Группа Пуанкаре является полной группой симметрии любой релятивистской теории поля . В результате все элементарные частицы попадают в представления этой группы . Обычно они определяются квадратом четырехимпульса каждой частицы (т.е. квадратом ее массы) и собственными квантовыми числами. ${\textstyle J^{PC}}$, где $J$ - спиновое квантовое число, $P$ это паритет и $C$ — квантовое число зарядового сопряжения . На практике зарядовое сопряжение и четность нарушаются многими квантовыми теориями поля ; где это происходит, $P$ и $C$ утрачены. Поскольку симметрия CPT инвариантна может быть в квантовой теории поля, квантовое число обращения времени построено на основе заданных чисел.

Как топологическое пространство группа имеет четыре связных компонента: компонент идентичности; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, который одновременно обращен во времени и в пространстве.

Другие размеры

Приведенные выше определения можно легко обобщить на произвольные измерения. -мерная группа d Пуанкаре аналогично определяется полупрямым произведением

$\operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)$

с аналогичным умножением

$(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)$.

Алгебра Ли сохраняет свою форму, а индексы µ и ν теперь принимают значения от 0 до d − 1 . Альтернативное представление в терминах J _i и Ki _{не имеет аналога в} более высоких измерениях.

См. также

• Евклидова группа
• Галилейская группа
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Классификация Вигнера
• Симметрия в квантовой механике
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Частица с непрерывным спином
• супер-алгебра Пуанкаре

Ссылки

• У-Ки Тунг (1985). Теория групп в физике . Мировое научное издательство. ISBN  9971-966-57-3 .
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том. 1. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55001-7 .
• Л. Х. Райдер (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН  0-52147-8146 .