Уравнения Маделунга

В теоретической физике уравнения Маделунга , или уравнения квантовой гидродинамики , представляют собой Эрвина Маделунга альтернативную формулировку уравнения Шредингера , записанную в терминах гидродинамических переменных, аналогичную уравнениям Навье-Стокса гидродинамики эквивалентную . Вывод уравнений Маделунга аналогичен формулировке де Бройля-Бома , которая представляет уравнение Шредингера как квантовое уравнение Гамильтона-Якоби .

Уравнения

Уравнения Маделунга являются квантовыми уравнениями Эйлера : $${\begin{aligned}&\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {u} )=0,\\[4pt]&{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),\end{aligned}}$$где

• u — скорость потока ,
• $\rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}$ это массовая плотность ,
• $Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$ Бома — квантовый потенциал ,
• V — потенциал из уравнения Шрёдингера.

Циркуляция условию поля скорости потока по любому замкнутому пути подчиняется вспомогательному ${\textstyle \Gamma \doteq \oint {m\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar }$ для всех целых чисел   n .

Вывод

Уравнения Маделунга получаются путем записи волновой функции в полярной форме: $$\psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {{\frac {1}{m}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}e^{{\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {x} ,t)},$$и подставив эту форму в уравнение Шрёдингера $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t).$$

Скорость потока определяется выражением $$\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S,$$откуда мы также находим, что $${\frac {1}{m}}\rho _{m}\mathbf {u} =\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}[\psi ^{*}(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{*})],$$где $\mathbf {j}$ — ток вероятности стандартной квантовой механики.

Квантовая сила , которая является отрицательным градиентом квантового потенциала, также может быть записана через тензор квантового давления: $$\mathbf {F_{Q}} =-\mathbf {\nabla } Q=-{\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q},$$где $$\mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}.$$

Интегральная энергия, запасенная в тензоре квантового давления, пропорциональна информации Фишера , что определяет качество измерений. Таким образом, согласно границе Крамера–Рао Гейзенберга принцип неопределенности эквивалентен стандартному неравенству эффективности измерений . Термодинамическое определение квантово-химического потенциала $$\mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}$$следует из приведенного выше баланса гидростатических сил: $$\nabla \mu ={\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V.$$Согласно термодинамике, в состоянии равновесия химический потенциал везде постоянен, что прямо соответствует стационарному уравнению Шредингера. Следовательно, собственные значения уравнения Шредингера представляют собой свободные энергии, отличные от внутренних энергий системы. Внутренняя энергия частицы рассчитывается как $$\varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q}){\frac {m}{\rho _{m}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{8m}}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}+U$$и связано с местной поправкой Карла Фридриха фон Вайцзеккера . Например, в случае квантового гармонического осциллятора можно легко показать, что энергия нулевой точки представляет собой значение химического потенциала осциллятора, а внутренняя энергия осциллятора равна нулю в основном состоянии: $\varepsilon =0$. Следовательно, энергия нулевой точки представляет собой энергию, необходимую для помещения статического осциллятора в вакуум, что еще раз показывает, что флуктуации вакуума являются причиной существования квантовой механики.

См. также

• Квантовый потенциал
• Квантовая гидродинамика
• Бомовская квантовая механика
• Теория пилотных волн

Дальнейшее чтение

• Шенберг, М. (1954). «О гидродинамической модели квантовой механики». Иль Нуово Чименто . 12 (1): 103–133. Бибкод : 1954NCim...12..103S . дои : 10.1007/BF02820368 . S2CID   123655548 .
• Вятт, Роберт Э.; Трэхан, Кори Дж. (2005). «Бомовский путь к гидродинамическим уравнениям». Квантовая динамика с траекториями: Введение в квантовую гидродинамику . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 40–61. ISBN  0-387-22964-7 .