теория де Бройля – Бома

Теория де Бройля-Бома , также известная как теория пилотных волн , механика Бома , интерпретация Бома и причинная интерпретация , является интерпретацией квантовой механики . Он постулирует, что помимо волновой функции существует реальная конфигурация частиц, даже если она ненаблюдается. Эволюция во времени конфигурации всех частиц определяется ведущим уравнением . Эволюция волновой функции во времени задается уравнением Шрёдингера . Теория названа в честь Луи де Бройля (1892–1987) и Дэвида Бома (1917–1992).

Теория детерминистична и явно нелокальный : скорость любой отдельной частицы зависит от значения ведущего уравнения, которое зависит от конфигурации всех рассматриваемых частиц.

Измерения представляют собой частный случай квантовых процессов, описываемых теорией, для которых она дает те же квантовые предсказания, что и другие интерпретации квантовой механики. В теории нет « проблемы измерения », поскольку частицы всегда имеют определенную конфигурацию. Правило Борна в теории де Бройля–Бома не является постулатом. Скорее, в этой теории связь между плотностью вероятности и волновой функцией имеет статус теоремы, являющейся результатом отдельного постулата, « гипотезы квантового равновесия », которая является дополнительной к основным принципам, управляющим волновой функцией. Существует несколько эквивалентных математических формулировок теории.

Обзор

Теория де Бройля – Бома основана на следующих постулатах:

• Есть конфигурация $q$ Вселенной, описываемой координатами $q^{k}$, который является элементом конфигурационного пространства $Q$. Конфигурационное пространство различно для разных версий теории пилот-волны. Например, это может быть пространство позиций $\mathbf {Q} _{k}$ из $N$ частицы, или, в случае теории поля, пространство конфигураций поля $\phi (x)$. Конфигурация развивается (при спине = 0) в соответствии с основным уравнением $$m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatorname {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}\mathbf {j} _{k}}{\psi ^{*}\psi }}=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathbf {\hat {P}} _{k}\Psi }{\Psi }}\right),$$ где $\mathbf {j}$ - ток вероятности или поток вероятности, и $\mathbf {\hat {P}}$ является оператором импульса . Здесь, $\psi (q,t)$ - это стандартная комплексная волновая функция из квантовой теории, которая развивается согласно уравнению Шредингера $$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (q,t)+V(q)\psi (q,t).$$Это завершает спецификацию теории для любой квантовой теории с оператором Гамильтона типа ${\textstyle H=\sum {\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {p}}_{i}^{2}+V({\hat {q}})}$.
• Конфигурация распределяется по $|\psi (q,t)|^{2}$ в какой-то момент времени $t$, и, следовательно, это справедливо для всех времен. Такое состояние называется квантовым равновесием. При квантовом равновесии эта теория согласуется с результатами стандартной квантовой механики.

Несмотря на то, что последнее соотношение часто представляется как аксиома теории, Бом в оригинальных статьях 1952 года представил его как вытекающее из статистико-механических аргументов. Этот аргумент был дополнительно поддержан работой Бома в 1953 году и подтвержден Вижье и Статья Бома 1954 года, в которой они представили стохастические флуктуации жидкости , которые запускают процесс асимптотической релаксации от квантового неравновесия к квантовому равновесию (ρ → |ψ| ² ).

Двухщелевой эксперимент

Бомовы траектории электрона, проходящего через двухщелевой эксперимент. Аналогичная картина была экстраполирована и на основе слабых измерений одиночных фотонов.

Эксперимент с двумя щелями является иллюстрацией корпускулярно-волнового дуализма . В нем пучок частиц (например, электронов) проходит через барьер, имеющий две щели. Если экран детектора находится со стороны за барьером, то на картине регистрируемых частиц наблюдаются интерференционные полосы, характерные для волн, приходящих на экран от двух источников (двух щелей); однако интерференционная картина состоит из отдельных точек, соответствующих частицам, попавшим на экран. Кажется, что система демонстрирует поведение как волн (интерференционные картины), так и частиц (точек на экране).

Если этот эксперимент модифицировать так, чтобы одна щель была закрыта, интерференционной картины не наблюдается. Таким образом, состояние обеих щелей влияет на конечный результат. Также можно предусмотреть установку минимально инвазивного детектора на одной из щелей для определения того, через какую щель прошла частица. Когда это будет сделано, интерференционная картина исчезнет.

Копенгагенская интерпретация утверждает, что частицы не локализуются в пространстве до тех пор, пока они не будут обнаружены, поэтому, если на щелях нет детектора, нет информации о том, через какую щель прошла частица. Если на одной из щелей установлен детектор, то из-за этого обнаружения волновая функция рушится.

В теории де Бройля-Бома волновая функция определена в обеих щелях, но каждая частица имеет четко определенную траекторию, проходящую ровно через одну из щелей. Конечное положение частицы на экране детектора и щели, через которую проходит частица, определяется начальным положением частицы. Такое начальное положение не известно и не контролируется экспериментатором, поэтому в схеме обнаружения создается впечатление случайности. В статьях Бома 1952 года он использовал волновую функцию для построения квантового потенциала, который, будучи включенным в уравнения Ньютона, определял траектории частиц, проходящих через две щели. По сути, волновая функция интерферирует сама с собой и направляет частицы с помощью квантового потенциала таким образом, что частицы избегают областей, в которых интерференция является разрушительной, и притягиваются к областям, в которых интерференция является конструктивной, что приводит к появлению интерференционной картины на поверхности тела. экран детектора.

Чтобы объяснить поведение, когда частица проходит через одну щель, необходимо оценить роль условной волновой функции и то, как это приводит к коллапсу волновой функции; это объясняется ниже. Основная идея заключается в том, что среда, регистрирующая обнаружение, эффективно разделяет два волновых пакета в конфигурационном пространстве.

Теория

Пилотная волна

Теория де Бройля – Бома описывает пилотную волну. $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ в пространстве конфигурации $Q$ и траектории $q(t)\in Q$ частиц, как в классической механике, но определяемых неньютоновской механикой. В каждый момент времени существует не только волновая функция, но и четко определенная конфигурация всей Вселенной (т. е. системы, определенной граничными условиями, используемыми при решении уравнения Шредингера).

Теория де Бройля-Бома работает с положениями и траекториями частиц так же, как классическая механика , но динамика другая. В классической механике ускорения частицам сообщают непосредственно силы, существующие в физическом трёхмерном пространстве. В теории де Бройля-Бома квантовое «поле оказывает новый вид «квантово-механической» силы». Бом предположил, что каждая частица имеет «сложную и тонкую внутреннюю структуру», которая обеспечивает способность реагировать на информацию, предоставляемую волновой функцией квантового потенциала. Кроме того, в отличие от классической механики, физические свойства (например, масса, заряд) в теории де Бройля-Бома распределены по волновой функции, а не локализованы в положении частицы.

Сама волновая функция, а не частицы, определяет динамическую эволюцию системы: частицы не воздействуют обратно на волновую функцию. Как сформулировали это Бом и Хили, «уравнение Шредингера для квантового поля не имеет источников и не имеет никакого другого способа, с помощью которого на поле могло бы напрямую влиять состояние частиц [...] квантовая теория может полностью понимать в терминах предположения, что квантовое поле не имеет источников или других форм зависимости от частиц». П. Холланд считает отсутствие взаимного действия частиц и волновой функции одним из «среди многих неклассических свойств, демонстрируемых этой теорией». Позже Холланд назвал это всего лишь видимым отсутствием обратной реакции из-за неполноты описания.

Ниже будет рассмотрена установка для одной частицы, движущейся в $\mathbb {R} ^{3}$ дается с последующей установкой для N частиц, движущихся в трех измерениях. В первом случае конфигурационное пространство и реальное пространство одинаковы, тогда как во втором случае реальное пространство по-прежнему остается одинаковым. $\mathbb {R} ^{3}$, но конфигурационное пространство становится $\mathbb {R} ^{3N}$. В то время как сами положения частиц находятся в реальном пространстве, поле скоростей и волновая функция находятся в конфигурационном пространстве, и именно так частицы запутаны друг с другом в этой теории.

Расширения этой теории включают спиновые и более сложные конфигурационные пространства.

Мы используем вариации $\mathbf {Q}$ для положений частиц, в то время как $\psi$ представляет комплексную волновую функцию в конфигурационном пространстве.

Ведущее уравнение

Для бесспиновой одиночной частицы, движущейся $\mathbb {R} ^{3}$, скорость частицы равна

${\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t).$

Для многих частиц, помеченных $\mathbf {Q} _{k}$ для $k$-й частицы, их скорости равны

${\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t).$

Главный факт, на который следует обратить внимание, заключается в том, что это поле скоростей зависит от фактического положения всех объектов. $N$ частицы во Вселенной. Как объясняется ниже, в большинстве экспериментальных ситуаций влияние всех этих частиц можно выразить в эффективной волновой функции подсистемы Вселенной.

Уравнение Шрёдингера

Одночастичное уравнение Шредингера определяет эволюцию во времени комплексной волновой функции на $\mathbb {R} ^{3}$. Уравнение представляет собой квантованную версию полной энергии классической системы, развивающейся под действием действительной потенциальной функции. $V$ на $\mathbb {R} ^{3}$:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi .$

Для многих частиц уравнение одно и то же, за исключением того, что $\psi$ и $V$ теперь находятся в пространстве конфигурации, $\mathbb {R} ^{3N}$:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi .$

Это та же волновая функция, что и в обычной квантовой механике.

Связь с правилом Борна

Основная статья: Правило рождения

В оригинальных статьях Бома он обсуждает, как теория де Бройля-Бома приводит к обычным результатам квантовой механики. Основная идея состоит в том, что это верно, если положения частиц удовлетворяют статистическому распределению, заданному формулой $|\psi |^{2}$. И это распределение гарантированно будет верным во все времена согласно ведущему уравнению, если начальное распределение частиц удовлетворяет $|\psi |^{2}$.

Для данного эксперимента можно постулировать это как истину и проверить это экспериментально. Но, как утверждают Дюрр и др., нужно утверждать, что такое распределение по подсистемам является типичным. Авторы утверждают, что $|\psi |^{2}$, в силу своей эквивариантности при динамической эволюции системы, является подходящей мерой типичности начальных условий положений частиц. Затем авторы доказывают, что подавляющее большинство возможных начальных конфигураций приведет к появлению статистики, подчиняющейся правилу Борна (т. е. $|\psi |^{2}$) для результатов измерений. Таким образом, во вселенной, управляемой динамикой де Бройля-Бома, поведение правила Борна является типичным.

Таким образом, ситуация аналогична ситуации в классической статистической физике. Начальное состояние с низкой энтропией с чрезвычайно высокой вероятностью перейдет в состояние с более высокой энтропией: поведение, согласующееся со вторым законом термодинамики типично . Существуют аномальные начальные условия, которые могут привести к нарушению второго закона; однако в отсутствие некоторых очень подробных доказательств, подтверждающих реализацию одного из этих условий, было бы совершенно неразумно ожидать чего-либо, кроме фактически наблюдаемого равномерного увеличения энтропии. Точно так же в теории де Бройля-Бома существуют аномальные начальные условия, которые могли бы привести к получению статистики измерений в нарушение правила Борна (что противоречит предсказаниям стандартной квантовой теории), но теорема о типичности показывает, что при отсутствии какой-либо конкретной причины верить одному из этих условий фактически были реализованы особые начальные условия, поведение правила Борна — это то, чего и следовало ожидать.

Именно в этом ограниченном смысле правило Борна является для теории де Бройля-Бома теоремой , а не (как в обычной квантовой теории) дополнительным постулатом .

Также можно показать, что распределение частиц, которое не распределяется по правилу Борна (то есть распределение «вне квантового равновесия») и развивается в соответствии с динамикой де Бройля – Бома, с подавляющей вероятностью динамически эволюционирует в состояние распространяется как $|\psi |^{2}$.

Условная волновая функция подсистемы

В формулировке теории де Бройля-Бома существует только волновая функция для всей Вселенной (которая всегда развивается по уравнению Шредингера). Здесь «вселенная» — это просто система, ограниченная теми же граничными условиями, которые использовались для решения уравнения Шрёдингера. Однако, как только теория сформулирована, удобно ввести понятие волновой функции и для подсистем Вселенной. Запишем волновую функцию Вселенной как $\psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})$, где $q^{\text{I}}$ обозначает переменные конфигурации, связанные с некоторой подсистемой (I) вселенной, и $q^{\text{II}}$ обозначает остальные переменные конфигурации. Обозначим соответственно через $Q^{\text{I}}(t)$ и $Q^{\text{II}}(t)$ фактическая конфигурация подсистемы (I) и остальной вселенной. Для простоты мы рассматриваем здесь только бесспиновый случай. Условная волновая функция подсистемы (I) определяется выражением

$\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})=\psi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t)).$

Это следует непосредственно из того, что $Q(t)=(Q^{\text{I}}(t),Q^{\text{II}}(t))$ удовлетворяет основному уравнению, которое также соответствует конфигурации $Q^{\text{I}}(t)$ удовлетворяет определяющему уравнению, идентичному тому, которое представлено в формулировке теории, с универсальной волновой функцией $\psi$ заменена условной волновой функцией $\psi ^{\text{I}}$. Также тот факт, что $Q(t)$ является случайным с плотностью вероятности , определяемой квадратным модулем $\psi (t,\cdot )$ подразумевает, что условная плотность вероятности $Q^{\text{I}}(t)$ данный $Q^{\text{II}}(t)$ задается квадратным модулем (нормированной) условной волновой функции $\psi ^{\text{I}}(t,\cdot )$ (по терминологии Дюрра и др. этот факт называется фундаментальной формулой условной вероятности ).

В отличие от универсальной волновой функции, условная волновая функция подсистемы не всегда развивается по уравнению Шредингера, но во многих ситуациях это происходит. Например, если универсальная волновая функция действует как

$\psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}}),$

тогда условная волновая функция подсистемы (I) (с точностью до нерелевантного скалярного множителя) равна $\psi ^{\text{I}}$ (это то, что стандартная квантовая теория рассматривает как волновую функцию подсистемы (I)). Если к тому же гамильтониан не содержит члена взаимодействия между подсистемами (I) и (II), то $\psi ^{\text{I}}$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера. В более общем плане предположим, что универсальная волновая функция $\psi$ можно записать в форме

$\psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}})+\phi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}}),$

где $\phi$ решает уравнение Шредингера и, $\phi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t))=0$ для всех $t$ и $q^{\text{I}}$. Тогда снова условная волновая функция подсистемы (I) (с точностью до нерелевантного скалярного множителя) равна $\psi ^{\text{I}}$, а если гамильтониан не содержит члена взаимодействия между подсистемами (I) и (II), то $\psi ^{\text{I}}$ удовлетворяет уравнению Шрёдингера.

Тот факт, что условная волновая функция подсистемы не всегда развивается по уравнению Шредингера, связан с тем, что обычное правило коллапса стандартной квантовой теории возникает из формализма Бома при рассмотрении условных волновых функций подсистем.

Расширения

относительность

Теория пилот-волны явно нелокальна, что находится в явном противоречии со специальной теорией относительности . Существуют различные расширения механики типа Бома, которые пытаются решить эту проблему. Сам Бом в 1953 году представил расширение теории, удовлетворяющее уравнению Дирака для одиночной частицы. Однако это нельзя было распространить на случай многих частиц, поскольку здесь использовалось абсолютное время.

Возобновление интереса к построению лоренц-инвариантных расширений теории Бома возникло в 1990-х годах; см. Бом и Хили: Неразделенная Вселенная. и ссылки в нем. Другой подход предложен Дюрром и др., которые используют модели Бома – Дирака и лоренц-инвариантное слоение пространства-времени.

Таким образом, Дюрр и др. (1999) показали, что формально восстановить лоренц-инвариантность теории Бома – Дирака можно путем введения дополнительной структуры. Этот подход по-прежнему требует слоения пространства-времени. Хотя это противоречит стандартной интерпретации теории относительности, предпочтительное слоение, если оно ненаблюдаемо, не приводит к каким-либо эмпирическим конфликтам с теорией относительности. В 2013 году Дюрр и др. предположил, что требуемое слоение может быть ковариантно определено волновой функцией.

Связь между нелокальностью и предпочтительным слоением можно лучше понять следующим образом. В теории де Бройля–Бома нелокальность проявляется как тот факт, что скорость и ускорение одной частицы зависят от мгновенных положений всех других частиц. С другой стороны, в теории относительности понятие мгновенности не имеет инвариантного значения. Таким образом, для определения траекторий частиц необходимо дополнительное правило, определяющее, какие точки пространства-времени следует считать мгновенными. Самый простой способ добиться этого — вручную ввести предпочтительное слоение пространства-времени, чтобы каждая гиперповерхность слоения определяла гиперповерхность равного времени.

Первоначально считалось невозможным изложить описание траекторий фотонов в теории де Бройля–Бома ввиду трудностей релятивистского описания бозонов. В 1996 году Партха Гхош представил релятивистское квантово-механическое описание бозонов со спином 0 и спином 1, начиная с уравнения Даффина-Кеммера-Петио , устанавливая бомовы траектории для массивных бозонов и для безмассовых бозонов (и, следовательно, фотонов ). В 2001 году Жан-Пьер Вижье подчеркнул важность получения четкого описания света с точки зрения траекторий частиц в рамках механики Бома или стохастической механики Нельсона. В том же году Гхош разработал бомовские траектории фотонов для конкретных случаев. Последующие эксперименты по слабым измерениям дали траектории, совпадающие с предсказанными. Значение этих экспериментальных результатов является спорным.

Крис Дьюдни и Дж. Хортон предложили релятивистско-ковариантную волновую функциональную формулировку квантовой теории поля Бома. и расширили его до формы, позволяющей включить гравитацию.

Николич предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовой интерпретации многочастичных волновых функций. Он разработал обобщенную релятивистско-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории. в котором $|\psi |^{2}$ это уже не плотность вероятности в пространстве, а плотность вероятности в пространстве-времени. Он использует эту обобщенную вероятностную интерпретацию, чтобы сформулировать релятивистско-ковариантную версию теории де Бройля-Бома без введения предпочтительного слоения пространства-времени. Его работа также охватывает расширение интерпретации Бома на квантование полей и струн.

Смотрите также: Квантовый потенциал § Релятивистские и теоретико-полевые расширения

Родерик И. Сазерленд из Сиднейского университета разработал лагранжев формализм для пилотной волны и ее свойств . Он опирается на ретрослучайные слабые измерения Якира Ааронова для объяснения многочастичной запутанности специальным релятивистским способом без необходимости конфигурационного пространства. Основная идея уже была опубликована Костой де Борегаром в 1950-х годах и также используется Джоном Крамером в его транзакционной интерпретации, за исключением beables, которые существуют между измерениями оператора сильной проекции фон Неймана. Лагранжиан Сазерленда включает двустороннее действие-противодействие между пилотной волной и библами. Следовательно, это постквантовая нестатистическая теория с окончательными граничными условиями, которые нарушают теоремы квантовой теории об отсутствии сигналов. Точно так же, как специальная теория относительности является предельным случаем общей теории относительности, когда кривизна пространства-времени исчезает, так и статистическая незапутанность, сигнализирующая о квантовой теории с правилом Борна, является предельным случаем постквантового лагранжиана действия-противодействия, когда реакция задана как ноль, и окончательное граничное условие интегрируется.

Вращаться

Чтобы включить спин , волновая функция становится комплексно-векторной. Пространство значений называется спиновым пространством; для частицы со спином 1/2 спиновое пространство можно принять равным $\mathbb {C} ^{2}$. Основное уравнение модифицируется путем использования скалярных произведений в спиновом пространстве, чтобы свести комплексные векторы к комплексным числам. Уравнение Шрёдингера модифицируется добавлением спинового члена Паули :

$${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t),\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{\hbar s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi ,\end{aligned}}$$

где

• $m_{k},e_{k},\mu _{k}$ — масса, заряд и магнитный момент $k$–я частица
• $\mathbf {S} _{k}$ — соответствующий оператор спина, действующий в $k$– спиновое пространство частицы
• $s_{k}$ — спиновое квантовое число $k$–я частица ( $s_{k}=1/2$ для электрона)
• $\mathbf {A}$ потенциал векторный в $\mathbb {R} ^{3}$
• $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ магнитное поле в $\mathbb {R} ^{3}$
• ${\textstyle D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})}$ — ковариантная производная, включающая векторный потенциал, приписанный координатам $k$–я частица (в единицах СИ )
• $\psi$ — волновая функция, определенная в многомерном конфигурационном пространстве; например, система, состоящая из двух частиц со спином 1/2 и одной частицы со спином 1, имеет волновую функцию вида $$\psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3},$$ где $\otimes$ является тензорным произведением , поэтому это спиновое пространство 12-мерное.
• $(\cdot ,\cdot )$ внутренний продукт в спиновом пространстве $\mathbb {C} ^{d}$: $$(\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.$$

Стохастическая электродинамика

Стохастическая электродинамика (SED) является расширением интерпретации квантовой механики де Бройля-Бома , в которой электромагнитное поле нулевой точки (ZPF) играет центральную роль в качестве направляющей пилот-волны . Современные подходы к SED, подобные тем, которые были предложены группой покойного Герхарда Грёссинга, среди прочих, рассматривают волновые и корпускулярные квантовые эффекты как хорошо скоординированные эмерджентные системы. Эти возникающие системы являются результатом предполагаемых и рассчитанных субквантовых взаимодействий с полем нулевой точки.

Квантовая теория поля

В Дюрре и др., авторы описывают расширение теории де Бройля-Бома для работы с операторами рождения и уничтожения , которое они называют «квантовыми теориями поля типа Белла». Основная идея состоит в том, что конфигурационное пространство становится (дизъюнктным) пространством всех возможных конфигураций любого количества частиц. Часть времени система развивается детерминированно по определяющему уравнению с фиксированным числом частиц. Но в рамках стохастического процесса частицы могут создаваться и уничтожаться. Распределение событий творения определяется волновой функцией. Сама волновая функция постоянно развивается во всем многочастичном конфигурационном пространстве.

Хрвое Николич представляет чисто детерминистическую теорию создания и разрушения частиц де Бройля-Бома, согласно которой траектории частиц непрерывны, но детекторы частиц ведут себя так, как если бы частицы были созданы или уничтожены, даже когда истинного создания или разрушения частиц не происходит.

Искривленное пространство

Чтобы распространить теорию де Бройля-Бома на искривленное пространство ( римановы многообразия на математическом языке), нужно просто отметить, что все элементы этих уравнений имеют смысл, такие как градиенты и лапласианы . Таким образом, мы используем уравнения, имеющие ту же форму, что и выше. Топологические и граничные условия могут применяться в дополнение к эволюции уравнения Шредингера.

Для теории де Бройля-Бома в искривленном пространстве со спином спиновое пространство становится векторным расслоением над конфигурационным пространством, а потенциал в уравнении Шредингера становится локальным самосопряженным оператором, действующим в этом пространстве. Уравнения поля теории де Бройля–Бома в релятивистском случае со спином могут быть приведены и для искривленного пространства-времени с кручением.

В общем пространстве-времени с кривизной и кручением ведущее уравнение для четырехскоростного движения $u^{i}$ элементарной фермионной частицы $$u^{i}={\frac {e_{\mu }^{i}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }{{\bar {\psi }}\psi }},$$где волновая функция $\psi$ является спинором , ${\bar {\psi }}$ – соответствующее сопряженное , $\gamma ^{\mu }$ – матрицы Дирака , а $e_{\mu }^{i}$ является тетрадой . Если волновая функция распространяется по искривленному уравнению Дирака, то частица движется по уравнениям движения Матиссона-Папапетру , которые являются расширением уравнения геодезических . Этот релятивистский корпускулярно-волновой дуализм следует из законов сохранения тензора спина и тензора энергии-импульса : а также из ковариантного Гейзенберга . уравнения движения

Использование нелокальности

Основная статья: Квантовая неравновесность

Диаграмма, сделанная Энтони Валентини на лекции по теории Де Бройля – Бома. Валентини утверждает, что квантовая теория является особым равновесным случаем более широкой физики и что возможно наблюдать и использовать квантовую неравновесность.

Причинная интерпретация квантовой механики Де Бройля и Бома была позже расширена Бомом, Вижье, Хили, Валентини и другими, включив в нее стохастические свойства. Бом и другие физики, включая Валентини, рассматривают правило Борна, связывающее $R$ к функции плотности вероятности $\rho =R^{2}$ как представляющий не основной закон, а результат достижения системой квантового равновесия в ходе временного развития согласно уравнению Шредингера . Можно показать, что после достижения равновесия система остается в таком равновесии в ходе своей дальнейшей эволюции: это следует из уравнения неразрывности, связанного с эволюцией Шредингера $\psi$. Менее просто продемонстрировать, достигается ли такое равновесие и если да, то каким образом.

Энтони Валентайн расширил теорию де Бройля-Бома, включив в нее нелокальность сигнала, которая позволила бы использовать запутанность в качестве автономного канала связи без вторичного классического «ключевого» сигнала для «разблокировки» сообщения, закодированного в запутанности. Это нарушает ортодоксальную квантовую теорию, но имеет то преимущество, что делает параллельные вселенные теории хаотической инфляции в принципе наблюдаемыми.

В отличие от теории де Бройля-Бома, в теории Валентини эволюция волновой функции также зависит от онтологических переменных. Это приводит к нестабильности, петле обратной связи, которая выталкивает скрытые переменные из «субквантовой тепловой смерти». Полученная теория становится нелинейной и неунитарной. Валентини утверждает, что законы квантовой механики возникают и образуют «квантовое равновесие», аналогичное тепловому равновесию в классической динамике, так что другие « квантовые неравновесные в принципе можно наблюдать и использовать » распределения, для чего статистические предсказания квантовой теории нарушаются. Спорно утверждается, что квантовая теория — это всего лишь частный случай гораздо более широкой нелинейной физики, физики, в которой возможна нелокальная ( сверхсветовая ) передача сигналов и в которой может нарушаться принцип неопределенности.

Результаты

Ниже приведены некоторые основные результаты, полученные в результате анализа теории де Бройля – Бома. Экспериментальные результаты согласуются со всеми стандартными предсказаниями квантовой механики, насколько они есть. Но в то время как стандартная квантовая механика ограничивается обсуждением результатов «измерений», теория де Бройля-Бома управляет динамикой системы без вмешательства внешних наблюдателей (стр. 117 в Bell ).

В основе согласия со стандартной квантовой механикой лежит то, что частицы распределяются согласно $|\psi |^{2}$. Это заявление о незнании наблюдателя: начальные позиции представлены статистическим распределением, поэтому детерминированные траектории приведут к статистическому распределению.

Измерение спина и поляризации

Согласно обычной квантовой теории, невозможно напрямую измерить спин или поляризацию частицы; вместо этого измеряется составляющая в одном направлении; результат от одной частицы может быть 1, что означает, что частица выровнена по отношению к измерительному прибору, или -1, что означает, что она выровнена в противоположном направлении. Ансамбль частиц, подготовленный поляризатором для нахождения в состоянии 1, будет все измерены поляризованными в состоянии 1 в последующем приборе. Поляризованный ансамбль, пропущенный через поляризатор, установленный под углом к ​​первому проходу, приведет к получению некоторых значений 1 и некоторых -1 с вероятностью, которая зависит от относительного выравнивания. Полное объяснение этого см. в эксперименте Штерна-Герлаха .

В теории де Бройля-Бома результаты спинового эксперимента нельзя анализировать без некоторого знания экспериментальной установки. Это возможно изменить установку так, чтобы траектория частицы не затрагивалась, но чтобы частица в одной настройке регистрировалась как вращение вверх, а в другой настройке - как вращение вниз. Таким образом, для теории де Бройля-Бома спин частицы не является внутренним свойством частицы; вместо этого спин, так сказать, находится в волновой функции частицы по отношению к конкретному устройству, используемому для измерения спина. Это иллюстрация того, что иногда называют контекстуальностью и связано с наивным реализмом в отношении операторов. В интерпретации результаты измерений представляют собой детерминированное свойство системы и ее окружения, которое включает информацию об экспериментальной установке, включая контекст соизмеримых наблюдаемых; ни в каком смысле сама система не обладает измеряемым свойством, как это было бы в классической физике.

Измерения, квантовый формализм и независимость наблюдателя

Теория де Бройля-Бома дает те же результаты, что и (нерелятивизитная) квантовая механика. Он рассматривает волновую функцию как фундаментальный объект теории, поскольку волновая функция описывает движение частиц. Это означает, что ни один эксперимент не сможет различить две теории. В этом разделе излагаются идеи о том, как стандартный квантовый формализм возникает из квантовой механики.

Коллапс волновой функции

Теория де Бройля-Бома — это теория, применимая в первую очередь ко всей Вселенной. То есть существует единая волновая функция, управляющая движением всех частиц во Вселенной в соответствии с основным уравнением. Теоретически движение одной частицы зависит от положения всех остальных частиц во Вселенной. В некоторых ситуациях, например, в экспериментальных системах, мы можем представить саму систему в терминах теории де Бройля-Бома, в которой волновая функция системы получается путем воздействия на окружающую среду системы. Таким образом, систему можно анализировать с помощью уравнения Шредингера и ведущего уравнения с начальным $|\psi |^{2}$ распределение частиц в системе ( см. раздел об условной волновой функции подсистемы подробнее ).

Чтобы условная волновая функция системы подчинялась квантовой эволюции, требуется специальная настройка. Когда система взаимодействует со своей средой, например, посредством измерения, условная волновая функция системы развивается по-другому. Эволюция универсальной волновой функции может стать такой, что волновая функция системы окажется в суперпозиции различных состояний. Но если среда записала результаты эксперимента, то при использовании фактической бомовой конфигурации среды для условий условная волновая функция схлопывается до одной альтернативы, соответствующей результатам измерений.

Коллапс универсальной волновой функции никогда не происходит в теории де Бройля – Бома. Вся его эволюция управляется уравнением Шрёдингера, а эволюция частиц управляется ведущим уравнением. Коллапс происходит феноменологическим образом только для систем, которые, кажется, следуют своему собственному уравнению Шредингера. Поскольку это эффективное описание системы, вопрос выбора того, что включить в экспериментальную систему, является вопросом выбора, и это повлияет на то, когда произойдет «коллапс».

Операторы как наблюдаемые

В стандартном квантовом формализме измерение наблюдаемых обычно рассматривается как измерение операторов в гильбертовом пространстве. Например, измерение положения считается измерением оператора положения. Эта связь между физическими измерениями и операторами гильбертового пространства является для стандартной квантовой механики дополнительной аксиомой теории. Теория де Бройля-Бома, напротив, не требует таких аксиом измерения (и измерение как таковое не является динамически отдельной или особой подкатегорией физических процессов в теории). В частности, обычный формализм операторов как наблюдаемых для теории де Бройля – Бома является теоремой. Важным моментом анализа является то, что многие измерения наблюдаемых величин не соответствуют свойствам частиц; они (как и в случае со спином, обсуждавшимся выше) являются измерениями волновой функции.

В истории теории де Бройля-Бома ее сторонникам часто приходилось сталкиваться с утверждениями о невозможности этой теории. Такие аргументы обычно основаны на некорректном анализе операторов как наблюдаемых. Если кто-то верит, что измерения спина действительно измеряют спин частицы, существовавшей до измерения, то мы приходим к противоречиям. Теория де Бройля-Бома решает эту проблему, отмечая, что спин не является характеристикой частицы, а скорее характеристикой волновой функции. Таким образом, определенный результат будет иметь место только после выбора экспериментального аппарата. Как только это принимается во внимание, теоремы о невозможности становятся неактуальными.

Также высказывались утверждения, что эксперименты отвергают траектории Бома. в пользу стандартных линий QM. Но, как показано в другой работе, такие эксперименты, процитированные выше, лишь опровергают неправильную интерпретацию теории де Бройля – Бома, а не саму теорию.

Есть также возражения против этой теории, основанные на том, что она говорит о конкретных ситуациях, обычно связанных с собственными состояниями оператора. Например, основное состояние водорода представляет собой реальную волновую функцию. Согласно ведущему уравнению, это означает, что в этом состоянии электрон покоится. Тем не менее, оно распределяется по $|\psi |^{2}$, и никакого противоречия экспериментальным результатам обнаружить невозможно.

Операторы как наблюдаемые заставляют многих полагать, что многие операторы эквивалентны. Теория де Бройля-Бома, с этой точки зрения, выбирает наблюдаемое положение в качестве предпочтительной наблюдаемой, а не, скажем, наблюдаемый импульс. Опять же, связь с наблюдаемой позицией является следствием динамики. Целью теории де Бройля-Бома является описание системы частиц. Это означает, что цель теории — всегда описывать положения этих частиц. Другие наблюдаемые не имеют такого убедительного онтологического статуса. Наличие определенных положений объясняет наличие определенных результатов, таких как вспышки на экране детектора. Другие наблюдаемые не привели бы к такому выводу, но не должно быть никаких проблем с определением математической теории для других наблюдаемых; см. Хайман и др. за исследование того факта, что плотность вероятности и ток вероятности могут быть определены для любого набора коммутирующих операторов.

Скрытые переменные

Теорию де Бройля-Бома часто называют теорией «скрытой переменной». Бом использовал это описание в своих оригинальных статьях на эту тему, написав: «С точки зрения обычной интерпретации эти дополнительные элементы или параметры [позволяющие детальное причинное и непрерывное описание всех процессов] можно было бы назвать «скрытыми» переменными. " Позже Бом и Хили заявили, что они нашли выбор Бома термина «скрытые переменные» слишком ограничительным. В частности, они утверждали, что частица на самом деле не скрыта, а скорее «является тем, что наиболее непосредственно проявляется в наблюдении, [хотя] ее свойства не могут наблюдаться с произвольной точностью (в пределах, установленных принципом неопределенности )». Однако другие, тем не менее, считают термин «скрытая переменная» подходящим описанием.

Обобщенные траектории частиц могут быть экстраполированы на основе многочисленных слабых измерений на ансамбле одинаково подготовленных систем, и такие траектории совпадают с траекториями де Бройля–Бома. В частности, эксперимент с двумя запутанными фотонами, в котором набор бомовых траекторий для одного из фотонов был определен с помощью слабых измерений и постселекции, можно понять в терминах нелокальной связи между траекторией этого фотона и поляризацией другого фотона. Однако не только интерпретация Де Бройля-Бома, но и многие другие интерпретации квантовой механики, не включающие такие траектории, согласуются с такими экспериментальными данными.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что при выполнении двух взаимодополняющих измерений существует предел произведения их точности. Например, если измерить положение с точностью $\Delta x$ и импульс с точностью $\Delta p$, затем $\Delta x\Delta p\gtrsim h.$

В теории де Бройля-Бома всегда существует факт положения и импульса частицы. Каждая частица имеет четко определенную траекторию, а также волновую функцию. Наблюдатели имеют ограниченные знания о том, какова эта траектория (и, следовательно, о положении и импульсе). Именно отсутствие знания траектории частицы объясняет соотношение неопределенностей. То, что можно знать о частице в любой момент времени, описывается волновой функцией. Поскольку соотношение неопределенности может быть получено из волновой функции в других интерпретациях квантовой механики, оно также может быть получено (в эпистемическом смысле, упомянутом выше) в теории де Бройля-Бома.

Другими словами, положения частиц известны только статистически. Как и в классической механике , последовательные наблюдения за положением частиц уточняют знания экспериментатора о начальных условиях частиц . Таким образом, по мере последующих наблюдений начальные условия становятся все более ограниченными. Этот формализм согласуется с обычным использованием уравнения Шрёдингера.

Для вывода соотношения неопределенности см. Принцип неопределенности Гейзенберга , отметив, что эта статья описывает принцип с точки зрения Копенгагенской интерпретации .

Квантовая запутанность, парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена, теорема Белла и нелокальность.

Теория де Бройля-Бома выдвинула на первый план проблему нелокальности : она вдохновила Джона Стюарта Белла доказать свою теперь знаменитую теорему : что, в свою очередь, привело к тестовым экспериментам Белла .

В парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена авторы описывают мысленный эксперимент, который можно было провести над парой взаимодействующих частиц, результаты которого они интерпретировали как указание на то, что квантовая механика является неполной теорией.

Десятилетия спустя Джон Белл доказал теорему Белла (см. стр. 14 в Bell ), в котором он показал, что, если они хотят согласоваться с эмпирическими предсказаниями квантовой механики, все такие «скрытые переменные» пополнения квантовой механики должны быть либо нелокальными (как интерпретация Бома), либо отказаться от предположения, что эксперименты дают уникальные результаты (см. контрфактическую определенность и многомировую интерпретацию ). В частности, Белл доказал, что любая локальная теория с уникальными результатами должна делать эмпирические предсказания, удовлетворяющие статистическому ограничению, называемому «неравенством Белла».

Ален Аспект провел серию тестовых экспериментов Белла , которые проверяют неравенство Белла, используя установку типа ЭПР. Результаты Аспекта экспериментально показывают, что неравенство Белла фактически нарушается, а это означает, что соответствующие квантово-механические предсказания верны. В этих тестовых экспериментах Белла создаются запутанные пары частиц; частицы отделяются и направляются к удаленному измерительному прибору. Ориентацию измерительной аппаратуры можно менять во время полета частиц, что демонстрирует кажущуюся нелокальность эффекта.

Теория де Бройля-Бома делает те же (эмпирически правильные) предсказания для тестовых экспериментов Белла, что и обычная квантовая механика. Он способен на это, поскольку он явно нелокален. На этом основании его часто критикуют или отвергают; Позиция Белла заключалась в следующем: «Заслугой версии де Бройля-Бома является то, что она настолько явно демонстрирует эту [нелокальность], что ее нельзя игнорировать».

Теория де Бройля-Бома описывает физику тестовых экспериментов Белла следующим образом: чтобы понять эволюцию частиц, нам нужно составить волновое уравнение для обеих частиц; ориентация аппарата влияет на волновую функцию. Частицы в эксперименте следуют указаниям волновой функции. Именно волновая функция обеспечивает сверхсветовой эффект изменения ориентации аппарата. Модлин проводит анализ того, какой именно вид нелокальности присутствует и насколько она совместима с теорией относительности. Белл показал, что нелокальность не допускает сверхсветовой коммуникации . Модлин показал это более подробно.

Классический предел

Формулировка Бома теории де Бройля-Бома в классической версии имеет то преимущество, что появление классического поведения, кажется, следует сразу же за любой ситуацией, в которой квантовый потенциал пренебрежимо мал, как заметил Бом в 1952 году. Современные декогеренции методы имеет отношение к анализу этого предела. См. Аллори и др. для шагов к строгому анализу.

Метод квантовой траектории

В работе Роберта Э. Вятта в начале 2000-х годов была предпринята попытка использовать «частицы» Бома в качестве адаптивной сетки, которая следует фактической траектории квантового состояния во времени и пространстве. В методе «квантовой траектории» квантовая волновая функция отсчитывается с помощью сетки квадратурных точек. Затем квадратурные точки развиваются во времени в соответствии с уравнениями движения Бома. Затем на каждом временном шаге волновая функция повторно синтезируется из точек, пересчитываются квантовые силы и продолжаются вычисления. (Фильмы в формате QuickTime для реактивного рассеяния H + H ₂ можно найти на веб-сайте группы Wyatt в Университете Техаса в Остине.) Этот подход был адаптирован, расширен и использован рядом исследователей в области химической физики как способ расчета полуклассической и квазиклассической молекулярной динамики. Выпуск журнала «Журнал физической химии А» за 2007 год был посвящен профессору Вятту и его работе по «вычислительной бомовской динамике».

Эрика Р. Биттнера Группа в Университете Хьюстона разработали статистический вариант этого подхода, который использует метод байесовской выборки для выборки квантовой плотности и вычисления квантового потенциала на бесструктурной сетке точек. Недавно эта методика была использована для оценки квантовых эффектов в теплоемкости малых кластеров Ne _n при n ≈ 100.

Остаются трудности с использованием бомовского подхода, в основном связанные с образованием особенностей квантового потенциала из-за узлов квантовой волновой функции. В общем случае узлы, образующиеся за счет интерференционных эффектов, приводят к случаю, когда $R^{-1}\nabla ^{2}R\to \infty .$ Это приводит к возникновению бесконечной силы, действующей на частицы выборки, заставляющей их отходить от узла и часто пересекающей путь других точек выборки (что нарушает однозначность). Чтобы преодолеть это, были разработаны различные схемы; однако общего решения пока не найдено.

Эти методы, как и формулировка Гамильтона-Якоби Бома, не применимы к ситуациям, в которых необходимо учитывать полную динамику вращения.

Свойства траекторий в теории де Бройля–Бома существенно отличаются от квантовых траекторий Мойала , а также от квантовых траекторий распутывания открытой квантовой системы.

Сходства с многомировой интерпретацией

Ким Йорис Бострем предложил нерелятивистскую квантово-механическую теорию, которая сочетает в себе элементы механики де Бройля-Бома и теории Эверетта многих миров . В частности, нереальная многомировая интерпретация Хокинга и Вайнберга похожа на концепцию Бома о нереальных пустых ветвящихся мирах:

Вторая проблема бомовской механики может на первый взгляд показаться довольно безобидной, но при ближайшем рассмотрении приобретает значительную разрушительную силу: проблема пустых ветвей. Это компоненты состояния после измерения, которые не направляют никакие частицы, поскольку не имеют фактической конфигурации q в своей основе . На первый взгляд пустые ветви не кажутся проблематичными, а наоборот, очень полезными, поскольку позволяют теории объяснить уникальные результаты измерений. Кроме того, они, кажется, объясняют, почему происходит эффективный «коллапс волновой функции», как в обычной квантовой механике. Однако при ближайшем рассмотрении следует признать, что эти пустые ветви на самом деле не исчезают. Поскольку волновая функция взята для описания реально существующего поля, все их ветви действительно существуют и будут развиваться вечно по динамике Шрёдингера, сколько бы из них ни опустело в ходе эволюции. Каждая ветвь глобальной волновой функции потенциально описывает полный мир, который, согласно онтологии Бома, является лишь возможным миром, который был бы реальным миром, если бы он был заполнен частицами, и который во всех отношениях идентичен соответствующему миру в теории Эверетта. теория. Только одна ветвь в каждый момент времени занята частицами, представляя тем самым реальный мир, тогда как все остальные ветви, хотя и существуют реально как часть реально существующей волновой функции, но пусты и, таким образом, содержат своего рода «миры-зомби» с планетами, океанами, деревья, города, машины и люди, которые говорят, как мы, и ведут себя, как мы, но на самом деле не существуют. Итак, если теорию Эверетта можно обвинить в онтологической расточительности, то механику Бома можно обвинить в онтологической расточительности. На вершину онтологии пустых ветвей приходит дополнительная онтология положений частиц, которые из-за гипотезы квантового равновесия навсегда неизвестны наблюдателю. Тем не менее, реальная конфигурация никогда не требуется для расчета статистических предсказаний в экспериментальной реальности, поскольку их можно получить с помощью простой алгебры волновых функций. С этой точки зрения механика Бома может показаться расточительной и избыточной теорией. Я думаю, что именно подобные соображения являются самым большим препятствием на пути к всеобщему признанию механики Бома.

Многие авторы выразили критические взгляды на теорию де Бройля-Бома, сравнивая ее с подходом многих миров Эверетта. Многие (но не все) сторонники теории де Бройля-Бома (например, Бом и Белл) интерпретируют универсальную волновую функцию как физически реальную. По мнению некоторых сторонников теории Эверетта, если считать (никогда не коллапсирующую) волновую функцию физически реальной, то естественно интерпретировать теорию как имеющую такое же количество миров, как и теория Эверетта. С точки зрения Эверетта, роль бомовой частицы состоит в том, чтобы действовать как «указатель», отмечая или выбирая только одну ветвь универсальной волновой функции (предположение, что эта ветвь указывает, какой волновой пакет определяет наблюдаемый результат данного эксперимента, является называется «предположением результата» ); остальные ветви обозначены как «пустые» и, по неявному предположению Бома, лишены сознательных наблюдателей. Х. Дитер Це комментирует эти «пустые» ветки:

Обычно упускают из виду, что теория Бома содержит те же «множества миров» динамически разделенных ветвей, что и интерпретация Эверетта (теперь рассматриваемая как «пустые» волновые компоненты), поскольку в ее основе лежит точно такая же... глобальная волновая функция ...

Дэвид Дойч выразил ту же точку более «едко»:

Теории пилотной волны — это теории параллельных вселенных, находящиеся в состоянии хронического отрицания.

Этот вывод был оспорен Детлефом Дюрром и Джастином Лазаровичем:

Бомианец, конечно, не может принять этот аргумент. По ее мнению, мир (или, скорее, мир) представляет собой конфигурация частиц в трехмерном пространстве, а не волновая функция в абстрактном пространстве конфигураций. Вместо этого она обвинит эверетианца в том, что в его теории отсутствуют локальные beables (в смысле Белла), то есть онтологические переменные, которые относятся к локализованным сущностям в трехмерном пространстве или четырехмерном пространстве-времени. Таким образом, многочисленные миры ее теории кажутся просто гротескным следствием этого упущения.

Критика как бритва Оккама

И Хью Эверетт III , и Бом рассматривали волновую функцию как физически реальное поле . Эверетта Многомировая интерпретация — это попытка продемонстрировать, что одной только волновой функции достаточно, чтобы объяснить все наши наблюдения. Когда мы видим мигание детекторов частиц или слышим щелчок счетчика Гейгера , теория Эверетта интерпретирует это как реакцию нашей волновой функции детектора на изменения волновой функции , которая, в свою очередь, реагирует на прохождение другой волновой функции (которую мы думаем как частица», но на самом деле это просто еще один волновой пакет ). Согласно этой теории, ни одна частица (в смысле Бома, имеющая определенное положение и скорость) не существует. По этой причине Эверетт иногда называл свой собственный многомировый подход «чисто волновой теорией». О подходе Бома 1952 года Эверетт сказал:

Наша основная критика этой точки зрения основана на простоте – если кто-то желает придерживаться точки зрения, согласно которой $\psi$ является реальным полем, то соответствующая частица излишня, поскольку, как мы попытались проиллюстрировать, чистая волновая теория сама по себе является удовлетворительной.

Таким образом, с точки зрения Эверетта, частицы Бома являются лишними объектами, подобными и столь же ненужными, как, например, светоносный эфир , который оказался ненужным в специальной теории относительности . Этот аргумент иногда называют «аргументом избыточности», поскольку лишние частицы являются избыточными в смысле бритвы Оккама .

По мнению Брауна и Уоллеса, частицы де Бройля–Бома не играют никакой роли в решении задачи измерения. Для этих авторов «допущение о результате» (см. выше) несовместимо с точкой зрения, согласно которой в случае предсказуемого результата (т. е. единственного результата) нет проблемы измерения. Они также говорят что стандартное молчаливое предположение теории де Бройля-Бома (что наблюдатель узнает о конфигурациях частиц обычных объектов посредством корреляций между такими конфигурациями и конфигурацией частиц в мозгу наблюдателя) необоснованно. Этот вывод был оспорен Валентини . который утверждает, что вся совокупность таких возражений возникает из-за неспособности интерпретировать теорию де Бройля-Бома в ее собственных терминах.

По мнению Питера Р. Холланда , в более широкой гамильтоновой системе можно сформулировать теории, в которых частицы действительно воздействуют обратно на волновую функцию.

Выводы

Теория де Бройля-Бома выводилась много раз и разными способами. Ниже приведены шесть выводов, все из которых очень разные и ведут к разным способам понимания и расширения этой теории.

• Уравнение Шрёдингера можно вывести, используя гипотезу Эйнштейна о световых квантах : $E=\hbar \omega$ и гипотеза де Бройля : $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$.

Ведущее уравнение может быть получено аналогичным образом. Предположим, что это плоская волна: $\psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}$. Обратите внимание, что $i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi$. Предполагая, что $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ для фактической скорости частицы мы имеем это $\mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)$. Таким образом, мы имеем ведущее уравнение.

Обратите внимание, что этот вывод не использует уравнение Шрёдингера.

• Сохранение плотности с течением времени — еще один метод вывода. Именно этот метод цитирует Белл. Именно этот метод обобщает множество возможных альтернативных теорий. Отправной точкой является уравнение неразрывности $-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot (\rho v^{\psi })$ по плотности $\rho =|\psi |^{2}$. Это уравнение описывает вероятностный поток вдоль тока. Поле скорости, связанное с этим током, будем считать полем скоростей, интегральные кривые которого определяют движение частицы.
• Метод, применимый для частиц без спина, состоит в том, чтобы выполнить полярное разложение волновой функции и преобразовать уравнение Шредингера в два связанных уравнения: уравнение непрерывности сверху и уравнение Гамильтона – Якоби . Этот метод использовал Бом в 1952 году. Разложение и уравнения следующие:

Разложение: $\psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }.$ Обратите внимание, что $R^{2}(\mathbf {x} ,t)$ соответствует плотности вероятности $\rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}$.

Уравнение непрерывности: $-{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right)$.

Уравнение Гамильтона – Якоби: ${\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}+V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right].$

Уравнение Гамильтона – Якоби представляет собой уравнение, полученное из ньютоновской системы с потенциалом $V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}$ и поле скоростей ${\frac {\nabla S}{m}}.$ Потенциал $V$ - это классический потенциал, который появляется в уравнении Шредингера, а другой член, включающий $R$ — квантовый потенциал , терминология, введенная Бомом.

Это приводит к рассмотрению квантовой теории как частиц, движущихся под действием классической силы, модифицированной квантовой силой. Однако, в отличие от стандартной ньютоновской механики , начальное поле скоростей уже задано формулой ${\frac {\nabla S}{m}}$, что является признаком того, что это теория первого порядка, а не теории второго порядка.

• Четвертый вывод был предложен Dürr et al. В своем выводе они выводят поле скорости, требуя соответствующих свойств преобразования, задаваемых различными симметриями, которым удовлетворяет уравнение Шредингера, после того, как волновая функция будет соответствующим образом преобразована. Ведущее уравнение – это то, что вытекает из этого анализа.
• Пятый вывод, данный Dürr et al. подходит для обобщения на квантовую теорию поля и уравнение Дирака. Идея состоит в том, что поле скорости можно также понимать как дифференциальный оператор первого порядка, действующий на функции. Таким образом, если мы знаем, как оно действует на функции, мы знаем, что это такое. Тогда, учитывая гамильтонов оператор $H$, уравнение, которому должны удовлетворять все функции $f$ (с соответствующим оператором умножения ${\hat {f}}$) является $(v(f))(q)=\operatorname {Re} {\frac {\left(\psi ,{\frac {i}{\hbar }}[H,{\hat {f}}]\psi \right)}{(\psi ,\psi )}}(q)$, где $(v,w)$ является локальным эрмитовым скалярным произведением в пространстве значений волновой функции.

Эта формулировка допускает стохастические теории, такие как создание и уничтожение частиц.

• Дальнейший вывод был сделан Питером Р. Холландом, на котором он основывает свой учебник по квантовой физике «Квантовая теория движения» . Он основан на трех основных постулатах и ​​дополнительном четвертом постулате, который связывает волновую функцию с вероятностями измерения:
  1. Физическая система состоит из распространяющейся в пространстве и времени волны и направляемой ею точечной частицы.
  2. Волна математически описывается решением $\psi$ к волновому уравнению Шрёдингера.
  3. Движение частицы описывается решением задачи $\mathbf {\dot {x}} (t)=[\nabla S(\mathbf {x} (t),t))]/m$ в зависимости от начального состояния $\mathbf {x} (t=0)$, с $S$ фаза $\psi$.
     Четвертый постулат является вспомогательным, но согласуется с первыми тремя:
  4. Вероятность $\rho (\mathbf {x} (t))$ найти частицу в дифференциальном объеме $d^{3}x$ в момент времени t равно $|\psi (\mathbf {x} (t))|^{2}$.

История

Теория была исторически разработана в 1920-х годах де Бройлем, которого в 1927 году убедили отказаться от нее в пользу господствовавшей тогда копенгагенской интерпретации. Дэвид Бом, неудовлетворенный преобладающей ортодоксальностью, заново открыл теорию пилот-волны де Бройля в 1952 году. Предложения Бома тогда не получили широкого распространения, отчасти по причинам, не связанным с их содержанием, например, из-за юношеской коммунистической принадлежности Бома. Теория де Бройля-Бома широко считалась неприемлемой среди основных теоретиков, главным образом из-за ее явной нелокальности. По поводу теории Джон Стюарт Белл , автор теоремы Белла 1964 года , писал в 1982 году:

Бом явно показал, как действительно можно ввести параметры в нерелятивистскую волновую механику, с помощью которых индетерминистское описание можно было преобразовать в детерминистское. Что еще более важно, на мой взгляд, можно было бы устранить субъективность ортодоксальной версии, необходимую ссылку на «наблюдателя». ...

Но почему тогда Борн не рассказал мне об этой «пилотной волне»? Хотя бы для того, чтобы указать, что в нем не так? Почему фон Нейман не учел этого? Еще более необычно то, почему люди продолжали приводить доказательства «невозможности» после 1952 года и даже в 1978 году?... Почему в учебниках игнорируется картина пилотной волны? Не следует ли учить этому не как единственному пути, а как противоядию от преобладающего самодовольства? Чтобы показать нам, что неопределенность, субъективность и индетерминизм навязаны нам не экспериментальными фактами, а сознательным теоретическим выбором?

С 1990-х годов возобновился интерес к формулированию расширений теории де Бройля-Бома, попыткам согласовать ее со специальной теорией относительности и квантовой теорией поля , помимо других особенностей, таких как спин или искривленная пространственная геометрия.

Теория де Бройля – Бома имеет историю различных формулировок и названий. В этом разделе каждому этапу дано название и основная ссылка.

Теория пилот-волны

Луи де Бройль представил свою теорию пилотных волн на Сольвеевской конференции 1927 года. после тесного сотрудничества со Шрёдингером, который разработал волновое уравнение для теории де Бройля. В конце презентации Вольфганг Паули отметил, что это несовместимо с полуклассической техникой, которую Ферми ранее использовал в случае неупругого рассеяния. Вопреки популярной легенде, де Бройль на самом деле дал правильное опровержение того, что конкретную технику нельзя обобщить для целей Паули, хотя аудитория могла быть потеряна в технических деталях, а мягкая манера де Бройля оставила впечатление, что возражение Паули было обоснованным. Тем не менее, в конце концов его убедили отказаться от этой теории, потому что он «был разочарован критикой, которую [она] вызвала». Теория де Бройля уже применима к множественным бесспиновым частицам, но ей не хватает адекватной теории измерения, поскольку никто не понимал квантовую декогеренцию в то время . Анализ презентации де Бройля дан в Bacciagaluppi et al. Кроме того, в 1932 году Джон фон Нейман опубликовал статью: это было широко распространено (и ошибочно, как показал Джеффри Баб ), как полагают, доказывают, что все теории скрытых переменных невозможны. Это решило судьбу теории де Бройля на следующие два десятилетия.

В 1926 году Эрвин Маделунг разработал гидродинамическую версию уравнения Шредингера , которая неверно рассматривается как основа для вывода плотности тока теории де Бройля – Бома. Уравнения Маделунга , являющиеся квантовыми уравнениями Эйлера (динамика жидкости) , философски отличаются от механики де Бройля – Бома. и являются основой стохастической интерпретации квантовой механики.

Питер Р. Холланд отметил, что ранее в 1927 году Эйнштейн действительно представил препринт с аналогичным предложением, но, не убедившись, отозвал его перед публикацией. По мнению Холланда, неспособность оценить ключевые моменты теории де Бройля-Бома привела к путанице, причем ключевым моментом является то, что «траектории квантовой системы многих тел коррелируют не потому, что частицы оказывают друг на друга прямую силу ( а-ля Кулон), но потому, что все они подвергаются воздействию сущности, математически описываемой волновой функцией или ее функциями, которая лежит за их пределами». Эта сущность — квантовый потенциал .

После публикации популярного учебника по квантовой механике, полностью придерживавшегося копенгагенской ортодоксальности, Эйнштейн убедил Бома критически взглянуть на теорему фон Неймана. Результатом стала «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых переменных» I и II» [Бом, 1952]. Это было независимое создание теории пилот-волн, которое расширило ее, включив в нее последовательную теорию измерения и ответив на критику Паули, на которую де Бройль не отреагировал должным образом; оно считается детерминированным (хотя Бом в оригинальных статьях намекал, что в этом должны быть нарушения, подобно тому, как броуновское движение нарушает ньютоновскую механику). Эта стадия известна как теория де Бройля-Бома в работе Белла [Bell 1987] и является основой «Квантовой теории движения» [Holland 1993].

Этот этап применяется к множественным частицам и является детерминированным.

Теория де Бройля-Бома является примером теории скрытых переменных . Первоначально Бом надеялся, что скрытые переменные смогут обеспечить локальное , причинное , объективное описание, которое разрешит или устранит многие парадоксы квантовой механики, такие как кот Шредингера , проблема измерения и коллапс волновой функции. Однако теорема Белла усложняет эту надежду, поскольку показывает, что не может быть локальной теории скрытых переменных, совместимой с предсказаниями квантовой механики. Интерпретация Бома является причинной , но не локальной .

Статья Бома была в значительной степени проигнорирована или раскритикована другими физиками. Альберт Эйнштейн , предложивший Бому искать реалистическую альтернативу преобладающему в Копенгагене подходу , не считал интерпретацию Бома удовлетворительным ответом на вопрос о квантовой нелокальности, назвав ее «слишком дешевой». в то время как Вернер Гейзенберг считал это «лишней «идеологической надстройкой»». Вольфганг Паули , которого де Бройль не убедил в 1927 году, уступил Бому следующее:

Я только что получил ваше длинное письмо от 20 ноября, а также более тщательно изучил детали вашей статьи. Я не вижу больше возможности какого-либо логического противоречия, пока ваши результаты полностью согласуются с результатами обычной волновой механики и пока не даны средства для измерения значений ваших скрытых параметров как в измерительной аппаратуре, так и в соблюдать [так в оригинале] систему. В нынешней ситуации ваши «дополнительные волново-механические предсказания» по-прежнему являются чеком, который невозможно обналичить.

Впоследствии он описал теорию Бома как «искусственную метафизику».

По словам физика Макса Дрездена , когда теория Бома была представлена ​​в Институте перспективных исследований в Принстоне, многие возражения были ad hominem , сосредоточившись на симпатиях Бома к коммунистам, примером чего является его отказ дать показания Комитету Палаты представителей по расследованию антиамериканской деятельности. .

В 1979 году Крис Филиппидис, Крис Дьюдни и Бэзил Хили первыми выполнили числовые вычисления на основе квантового потенциала для вывода ансамблей траекторий частиц. Их работа возобновила интерес физиков к интерпретации Бома квантовой физики.

В конце концов Джон Белл начал защищать эту теорию. В книге «Выразимое и невыразимое в квантовой механике» [Bell 1987] несколько статей относятся к теориям скрытых переменных (включая теорию Бома).

Траектории модели Бома, которые возникнут в конкретных экспериментальных схемах, некоторые назвали «сюрреалистическими». Еще в 2016 году физик-математик Шелдон Гольдштейн сказал о теории Бома: «Было время, когда о ней нельзя было даже говорить, потому что она была ересью. , но, возможно, ситуация меняется».

бомовская механика

Механика Бома — это та же теория, но с акцентом на понятии течения тока, которое определяется на основе гипотезы квантового равновесия , согласно которой вероятность подчиняется правилу Борна. Термин «механика Бома» также часто используется для обозначения большинства дальнейших расширений помимо бесспиновой версии Бома. В то время как теория де Бройля-Бома имеет лагранжианы и уравнения Гамильтона-Якоби в качестве основного фокуса и фона, а также символ квантового потенциала , механика Бома считает уравнение непрерывности основным и имеет ведущее уравнение в качестве своего символа. Они математически эквивалентны, поскольку применяется формулировка Гамильтона-Якоби, т. е. частицы без спина.

Вся нерелятивистская квантовая механика может быть полностью объяснена в этой теории. Недавние исследования использовали этот формализм для расчета эволюции квантовых систем многих тел со значительным увеличением скорости по сравнению с другими квантовыми методами.

Причинная интерпретация и онтологическая интерпретация

Бом развил свои оригинальные идеи, назвав их Причинной интерпретацией . Позже он почувствовал, что причинность слишком похожа на детерминизм , и предпочел назвать свою теорию Онтологической Интерпретацией . Основная ссылка – «Неделимая Вселенная» (Бом, Хили, 1993).

На этом этапе представлены работы Бома в сотрудничестве с Жан-Пьером Вижье и Бэзилом Хили. Бому ясно, что эта теория недетерминирована (работа с Хили включает стохастическую теорию). По сути, эта теория не является, строго говоря, формулировкой теории де Бройля-Бома, но она заслуживает упоминания здесь, поскольку термин «интерпретация Бома» неоднозначен между этой теорией и теорией де Бройля-Бома.

В 1996 году философ науки Артур Файн дал углубленный анализ возможных интерпретаций модели Бома 1952 года.

Уильям Симпсон предложил гиломорфную интерпретацию механики Бома, согласно которой космос представляет собой аристотелевскую субстанцию, состоящую из материальных частиц и субстанциальной формы. Волновой функции отводится диспозиционная роль в хореографии траекторий частиц.

Гидродинамические квантовые аналоги

Основная статья: Гидродинамические квантовые аналоги

Эксперименты по гидродинамическим аналогам квантовой механики, начиная с работы Кудера и Форта (2006). стремились показать, что макроскопические классические волны-пилоты могут проявлять характеристики, которые ранее считались ограниченными квантовой областью. Утверждается, что гидродинамические аналоги пилотной волны дублируют эксперимент с двумя щелями, туннелирование, квантованные орбиты и многие другие квантовые явления, которые привели к возрождению интереса к теориям пилотной волны. Аналоги сравниваются с волной Фарадея . Эти результаты оспариваются: эксперименты могут воспроизвести результаты с двумя щелями. Высокоточные измерения в случае туннелирования указывают на другую причину непредсказуемого пересечения: по-видимому, речь идет не о неопределенности исходного положения или шуме окружающей среды, а о взаимодействии у барьера.

Другой классический аналог обнаружен в поверхностных гравитационных волнах.

Сравнение Буша (2015) среди системы шагающих капель - теория пилот-волны с двойным решением де Бройля и его распространение на SED

	Гидродинамические ходунки	де Бройль	Пилотная волна СЭД
Вождение	вибрация ванны	внутренние часы	флуктуации вакуума
Спектр	монохромный	монохромный	широкий
Курок	подпрыгивая	дрожащее движение	дрожащее движение
Частота запуска	$\omega _{F}$	$\omega _{c}=mc^{2}/\hbar$	$\omega _{c}=mc^{2}/\hbar$
Энергетика	ГПО $\leftrightarrow$ волна	$mc^{2}\leftrightarrow \hbar \omega$	$mc^{2}\leftrightarrow$ В
Резонанс	капля-волна	гармония фаз	неопределенный
Дисперсия $\omega (k)$	$\omega _{F}^{2}\approx \sigma k^{3}/\rho$	$\omega ^{2}\approx \omega _{c}^{2}+c^{2}k^{2}$	$\omega =ck$
Перевозчик $\lambda$	$\lambda _{F}$	$\lambda _{dB}$	$\lambda _{c}$
Статистический $\lambda$	$\lambda _{F}$	$\lambda _{dB}$	$\lambda _{dB}$

Сюрреалистические траектории

В 1992 году Энглерт, Скалли, Сассман и Вальтер предложили эксперименты, которые показали, что частицы выбирают траектории, отличные от траекторий Бома. Они описали траектории Бома как «сюрреалистические»; их предложение позже было названо ESSW по фамилиям авторов. В 2016 году Малер и др. подтвердил прогнозы ESSW. Однако они предполагают, что сюрреалистический эффект является следствием нелокальности, присущей теории Бома.

См. также

• Уравнения Маделунга
• Локальная теория скрытых переменных
• Теория сверхтекучего вакуума
• Аналоги жидкости в квантовой механике
• Вероятностный ток

Ссылки

• Альберт, Дэвид З. (май 1994 г.). «Альтернатива Бома квантовой механике». Научный американец . 270 (5): 58–67. Бибкод : 1994SciAm.270e..58A . doi : 10.1038/scientificamerican0594-58 .
• Барбоза, Джорджия; Н. Пинто-Нето (2004). «Бомовская интерпретация некоммутативной скалярной теории поля и квантовой механики». Физический обзор D . 69 (6): 065014. arXiv : hep-th/0304105 . Бибкод : 2004PhRvD..69f5014B . дои : 10.1103/PhysRevD.69.065014 . S2CID   119525006 .
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных» I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Бибкод : 1952PhRv...85..166B . дои : 10.1103/PhysRev.85.166 . ( полный текст )
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных», II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Бибкод : 1952PhRv...85..180B . дои : 10.1103/PhysRev.85.180 . ( полный текст )
• Бом, Дэвид (1990). «Новая теория взаимосвязи разума и материи» (PDF) . Философская психология . 3 (2): 271–286. дои : 10.1080/09515089008573004 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 26 февраля 2013 г.
• Бом, Дэвид; Би Джей Хили (1993). Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории . Лондон: Рутледж. ISBN  978-0-415-12185-9 .
• Дюрр, Детлеф; Шелдон Гольдштейн; Родерих Тумулка; Нино Занги (декабрь 2004 г.). «Бомовская механика» (PDF) . Письма о физических отзывах . 93 (9): 090402. arXiv : quant-ph/0303156 . Бибкод : 2004PhRvL..93i0402D . CiteSeerX   10.1.1.8.8444 . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.090402 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   15447078 . S2CID   8720296 .
• Гольдштейн, Шелдон (2001). «Бомовская механика» . Стэнфордская энциклопедия философии .
• Холл, Майкл Дж.В. (2004). «Неполнота траекторных интерпретаций квантовой механики». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (40): 9549–9556. arXiv : Quant-ph/0406054 . Бибкод : 2004JPhA...37.9549H . CiteSeerX   10.1.1.252.5757 . дои : 10.1088/0305-4470/37/40/015 . S2CID   15196269 . (Демонстрирует неполноту интерпретации Бома перед лицом фрактальных, нигде не дифференцируемых волновых функций.)
• Холланд, Питер Р. (1993). Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики де Бройля – Бома . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-48543-2 .
• Николич, Х. (2005). «Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация». Основы физики письма . 18 (6): 549–561. arXiv : Quant-ph/0406173 . Бибкод : 2005FoPhL..18..549N . CiteSeerX   10.1.1.252.6803 . дои : 10.1007/s10702-005-1128-1 . S2CID   14006204 .
• Пассон, Оливер (2004). «Почему не каждый физик бомианец?». arXiv : Quant-ph/0412119 .
• Санс, А.С.; Ф. Борондо (2007). «Бомианский взгляд на квантовую декогеренцию». Европейский физический журнал Д. 44 (2): 319–326. arXiv : Quant-ph/0310096 . Бибкод : 2007EPJD...44..319S . дои : 10.1140/epjd/e2007-00191-8 . S2CID   18449109 .
• Санс, А.С. (2005). «Бомовский подход к квантовым фракталам». Журнал физики A: Математический и общий . 38 (26): 6037–6049. arXiv : Quant-ph/0412050 . Бибкод : 2005JPhA...38.6037S . дои : 10.1088/0305-4470/38/26/013 . S2CID   17633797 . (Описывает бомовское решение дилеммы, возникающей из-за недифференцируемых волновых функций.)
• Сильверман, Марк П. (1993). И все же оно движется: странные системы и тонкие вопросы физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-44631-0 .
• Стритер, Рэй Ф. (2003). «Бомовская механика — это «безнадежное дело» » . Архивировано из оригинала 13 июня 2006 года . Проверено 25 июня 2006 г.
• Валентини, Антоний ; Ганс Вестман (2005). «Динамическое происхождение квантовых вероятностей». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 461 (2053): 253–272. arXiv : Quant-ph/0403034 . Бибкод : 2005RSPSA.461..253В . CiteSeerX   10.1.1.252.849 . дои : 10.1098/rspa.2004.1394 . S2CID   6589887 .
• Механика Бома на arxiv.org

Дальнейшее чтение

• Джон С. Белл : Выразимое и невыразимое в квантовой механике: Сборник статей по квантовой философии , Cambridge University Press, 2004, ISBN   0-521-81862-1
• Дэвид Бом , Бэзил Хили : Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Рутледж Чепмен и Холл, 1993, ISBN   0-415-06588-7
• Детлеф Дюрр, Шелдон Гольдштейн, Нино Занги: Квантовая физика без квантовой философии , Springer, 2012, ISBN   978-3-642-30690-7
• Детлеф Дюрр, Стефан Тойфель: Бомовская механика: физика и математика квантовой теории , Springer, 2009, ISBN   978-3-540-89343-1
• Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN   0-521-48543-6

Внешние ссылки

• «Пилотно-волновая гидродинамика». Архивировано 18 марта 2021 г. в Wayback Machine Bush, JWM, Annual Review of Fluid Mechanics , 2015.
• «Бомианская механика» ( Стэнфордская энциклопедия философии )
• О'Дауд, Мэтт (30 ноября 2016 г.). «Теория пилотных волн и квантовый реализм» . PBS «Пространство-время» . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года — на YouTube.
• «Видео с ответами на часто задаваемые вопросы о бомовской механике» - через YouTube.
• «Bohmian-Mechanics.net» , домашняя страница международной исследовательской сети по бомовской механике, основанной Д. Дюрром, С. Гольдштейном и Н. Занги.
• Рабочая группа Bohmian Mechanics в LMU Мюнхен (Д. Дюрр)
• Группа Bohmian Mechanics Group в Инсбрукском университете (Г. Грюбль). Архивировано 25 ноября 2014 г. в Wayback Machine.
• «Волны-пилоты, метафизика Бома и основы квантовой механики». Архивировано 10 апреля 2016 года в Wayback Machine по теории де Бройля-Бома , курс лекций Майка Таулера , Кембриджский университет.
• «Направления XXI века в теории де Бройля-Бома и за ее пределами» , международная конференция по теории де Бройля-Бома, август 2010 г. На сайте представлены слайды всех докладов – последних передовых исследований deBB.
• «Наблюдение траекторий одиночного фотона с помощью слабых измерений»
• «Бомовские траектории больше не являются «скрытыми переменными»»
• Общество Дэвида Бома
• Теория де Бройля-Бома вдохновила на визуализацию атомных орбиталей.