Стохастическая квантовая механика

Стохастическая механика — это основа для описания динамики частиц, которые подвергаются внутренним случайным процессам, а также различным внешним силам. Структура обеспечивает вывод уравнений диффузии , связанных с этими стохастическим частицами. Он наиболее известен благодаря выводу уравнения Шредингера как уравнения Колмогорова для определенного типа консервативной (или унитарной) диффузии: и по этой причине ее также называют стохастической квантовой механикой .

Вывод может быть основан на экстремизации действия в сочетании с предписанием квантования . Этот рецепт квантования можно сравнить с каноническим квантованием и формулировкой интеграла по путям , и его часто называют стохастическим квантованием или стохастизацией Нельсона. Поскольку теория допускает вывод уравнения Шрёдингера, она дала начало стохастической интерпретации квантовой механики. Эта интерпретация послужила основной мотивацией для развития теории стохастической механики.

Первая относительно последовательная стохастическая теория квантовой механики была выдвинута венгерским физиком Имре Феньесом . Луи де Бройль почувствовал необходимость включить стохастический процесс, лежащий в основе квантовой механики, чтобы заставить частицы переключаться с одной пилотной волны на другую. Теория стохастической механики приписывается Эдварду Нельсону , который независимо обнаружил вывод уравнения Шредингера в рамках этой структуры. Эту теорию также развивали Дэвидсон, Герра , Руджеро, Павон и другие.

Стохастическая интерпретация квантовой механики

Стохастическая интерпретация интерпретирует пути в формулировке интеграла по путям квантовой механики как образцы путей случайного процесса . Он утверждает, что квантовые частицы локализуются на одном из этих путей, но наблюдатели не могут с уверенностью предсказать, где локализуется частица. Единственный способ обнаружить частицу — провести измерение. Наблюдатель может предсказать вероятности результатов такого измерения только на основе своих предыдущих измерений и своих знаний о силах, действующих на частицу.

Эта интерпретация хорошо известна из контекста статистической механики . и броуновское движение в частности. Следовательно, согласно стохастической интерпретации, квантовую механику следует интерпретировать аналогично броуновскому движению. Однако в случае броуновского движения существование вероятностной меры (называемой мерой Винера) ), который определяет статистический интеграл по путям, хорошо известен, и эта мера может быть получена с помощью стохастического процесса, называемого винеровским процессом . С другой стороны, доказательство существования вероятностной меры, определяющей квантовомеханический интеграл по путям, сталкивается с трудностями: и не гарантируется, что такая вероятностная мера может быть создана случайным процессом. Стохастическая механика — это основа построения таких случайных процессов, которые генерируют вероятностную меру для квантовой механики.

Для броуновского движения известно, что статистические флуктуации броуновской частицы часто вызываются взаимодействием частицы с большим количеством микроскопических частиц. В этом случае описание броуновского движения в терминах винеровского процесса используется лишь как приближение, пренебрегающее динамикой отдельных частиц на заднем плане. Вместо этого он описывает влияние этих фоновых частиц через их статистическое поведение.

Стохастическая интерпретация квантовой механики ничего не говорит о происхождении квантовых флуктуаций квантовой частицы. Он вводит квантовые флуктуации как результат нового стохастического закона природы, называемого фоновой гипотезой. Эту гипотезу можно интерпретировать как строгую реализацию утверждения о том, что «Бог играет в кости», но она оставляет открытой возможность замены этой игры в кости теорией скрытых переменных, как в теории броуновского движения.

Оставшаяся часть этой статьи посвящена определению такого процесса и выводу уравнений диффузии, связанных с этим процессом. Это делается в общих условиях с броуновским движением и квантовой механикой в ​​качестве специальных пределов, где получают соответственно уравнение теплопроводности и уравнение Шредингера . Вывод в значительной степени опирается на инструменты лагранжевой механики и стохастического исчисления .

Стохастическое квантование

Основная статья: Стохастическое квантование

Постулаты стохастической механики можно резюмировать в условии стохастического квантования, сформулированном Нельсоном. Для нерелятивистской теории $\mathbb {R} ^{n}$ это условие гласит:

• траектория квантовой частицы описывается вещественной проекцией комплексного семимартингала : $X(t)={\rm {Re}}[Z(t)]$ с $Z(t)=C(t)+M(t)$, где $C(t)$ представляет собой непрерывный процесс с конечной вариацией и $M(t)$ представляет собой сложный мартингал ,
• траектория стохастически экстремизирует действие $S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]$,
• мартингейл ​ $M(t)$ представляет собой непрерывный процесс с независимыми приращениями и конечными моментами . При этом его квадратичная вариация фиксируется структурным соотношением $d[M^{i},M^{j}]={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}\,dt$ где $m$ - масса частицы, $\hbar$ приведенная постоянная Планка , $\alpha =|\alpha |e^{{\rm {i}}\phi }\in \mathbb {C}$ является безразмерной константой, а $\delta ^{ij}$ это дельта Кронекера ,
• процесс, обращенный во времени, существует и подчиняется тем же динамическим законам.

Используя разложение $Z=X+{\rm {i}}\,Y$, и тот факт, что $C$ имеет конечную вариацию, можно обнаружить, что квадратичная вариация $X$ и $Y$ дается

${\begin{pmatrix}d[X^{i},X^{j}]&d[X^{i},Y^{j}]\\d[Y^{i},X^{j}]&d[Y^{i},Y^{j}]\end{pmatrix}}={\frac {|\alpha |\,\hbar }{2\,m}}\,\delta ^{ij}\,{\begin{pmatrix}1+\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &1-\cos \phi \end{pmatrix}}\,dt$

Следовательно, согласно характеристике Леви броуновского движения, $X(t)$ и $Y(t)$ описать два коррелированных винеровских процесса со сносом, описываемым процессом конечной вариации $C(t)$, константа диффузии, масштабируемая с $|\alpha |\in [0,\infty )$, а корреляция зависит от угла $\phi$. Процессы максимально коррелированы в квантовом пределе, связанном с $\phi \in \left\{-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right\}$ и соответствующий $\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R}$, тогда как они некоррелированы в броуновском пределе, связанном с $\phi \in \{0,\pi \}$ и соответствующий $\alpha \in \mathbb {R}$,

Термин стохастическое квантование для описания этой процедуры квантования был введен в 1970-х годах. В настоящее время стохастическое квантование чаще относится к системе, разработанной Паризи и Ву в 1981 году. Следовательно, процедуру квантования, разработанную в стохастической механике, иногда также называют стохастическим квантованием или стохастизацией Нельсона.

Скорость процесса

Случайный процесс $Z(t)$ почти наверняка нигде не дифференцируема, так что скорость ${\dot {Z}}(t)={\frac {dZ(t)}{dt}}$ по ходу процесса четко не определен. Однако существуют поля скорости, определяемые с помощью условных ожиданий. Они даны

$w_{+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t+dt)-Z(t)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],$

$w_{-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {Z(t)-Z(t-dt)}{dt}}\,{\Big |}\,X(t)=x\right],$

и может быть сопоставлен с интегралом Ито по процессу $Z(t)$. Поскольку процесс недифференцируем, эти скорости, вообще говоря, не равны друг другу. Физическая интерпретация этого факта такова: в любой момент времени $t$ на частицу действует случайная сила, которая мгновенно меняет ее скорость от $w_{-}$ к $w_{+}$. Поскольку два поля скорости не равны, не существует однозначного понятия скорости для процесса. $Z(t)$. Фактически, любая скорость, определяемая выражением

$w_{a}=a\ w_{+}+(1-a)\ w_{-}$ с $a\in [0,1]$ представляет собой правильный выбор скорости процесса $Z(t)$. Это особенно справедливо для частного случая $a={\frac {1}{2}}$ обозначается $w_{\circ }={\frac {w_{+}+w_{-}}{2}}$ , который можно сопоставить с интегралом Стратоновича вдоль $Z(t)$.

С $Z(t)$ имеет неисчезающую квадратичную вариацию , можно дополнительно определить поля скорости второго порядка, задаваемые формулой

$w_{2,+}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t+dt)-Z(t)]\otimes [Z(t+dt)-Z(t)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right],$

$w_{2,-}(x,t)=\lim _{dt\rightarrow 0}\mathbb {E} \left[{\frac {[Z(t)-Z(t-dt)]\otimes [Z(t)-Z(t-dt)]}{dt}}\ {\Big |}\ X(t)=x\right].$

Постулат обратимости времени налагает на эти два поля такую ​​связь, что $w_{2,\pm }=\pm \,w_{2}$. Более того, используя структурное соотношение, с помощью которого фиксируется квадратичная вариация, можно найти, что $w_{2}^{ij}(x,t)={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}$. Отсюда следует, что в формулировке Стратоновича часть скорости второго порядка обращается в нуль, т.е. $w_{2,\circ }=0$.

Действительная и мнимая части скоростей обозначаются

$v={\rm {Re}}(w)\qquad {\rm {and}}\qquad u={\rm {Im}}(w)\,.$

Используя существование этих полей скорости, можно формально определить процессы скорости $W_{\pm }(t)$ по интегралу Ито $\int W_{\pm }(t)\ dt=\int d_{\pm }Z(t)$. Аналогично можно формально определить процесс $W_{\circ }(t)$ по интегралу Стратоновича $\int W_{\circ }(t)\ dt=\int d_{\circ }Z(t)$ и скоростной процесс второго порядка $W_{2}(t)$ по интегралу Стилтьеса $\int W_{2}(t)\ dt=\int d[Z,Z](t)$. Затем, используя структурное соотношение, можно найти, что процесс скорости второго порядка определяется выражением $W_{2}^{ij}(t)={\frac {\alpha \ \hbar }{m}}\ \delta ^{ij}$. Однако процессы $W_{\pm }(t)$ и $W_{\circ }(t)$ не определены четко: первые моменты существуют и задаются формулой $\mathbb {E} [W_{\pm }(t)\ |\ X(t)]=w_{\pm }(X(t),t)$, но квадратичные моменты расходятся, т.е. $\mathbb {E} [||W_{\pm }(t)||^{2}\ |\ X(t)]=\infty$. Физическая интерпретация этого расхождения состоит в том, что в представлении положения положение известно точно, но скорость имеет бесконечную неопределенность.

Стохастическое действие

Условие стохастического квантования гласит, что стохастическая траектория должна экстремизировать стохастическое действие. $S=\mathbb {E} \left[\int L\,dt\right]$, но не определяет стохастический лагранжиан $L$. Этот лагранжиан можно получить из классического лагранжиана стандартной процедурой. Здесь мы рассматриваем классический лагранжиан вида

$L(x,v,t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q\,A_{i}(x,t)\,v^{i}-{\mathfrak {U}}(x,t).$

Здесь, $(x,v)$ – координаты в фазовом пространстве ( касательное расслоение ), $\delta _{ij}$ – это дельта Кронекера, описывающая метрику на $\mathbb {R} ^{n}$, $m$ обозначает массу частицы, $q$ заряд под векторным потенциалом $A$, и ${\mathfrak {U}}$ является скалярным потенциалом. Кроме того, соглашение Эйнштейна о суммировании предполагается .

Важным свойством этого лагранжиана является принцип калибровочной инвариантности . Это можно сделать явным, определив новое действие ${\tilde {S}}$ путем добавления полного производного члена к исходному действию, так что

${\tilde {S}}[x(t)]=S[x(t)]+\int dF(x,t)=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+qA_{i}v^{i}-{\mathfrak {U}}+\partial _{t}F+v^{i}\partial _{i}F\right]dt=\int \left[{\frac {m}{2}}\delta _{ij}v^{i}v^{j}+q{\tilde {A}}_{i}v^{i}-{\tilde {\mathfrak {U}}}\right]dt,$

где ${\tilde {A}}_{i}=A_{i}+q^{-1}\partial _{i}F$ и ${\tilde {\mathfrak {U}}}={\mathfrak {U}}-\partial _{t}F$. Таким образом, поскольку добавление к действию полной производной не должно влиять на динамику, действие является калибровочно-инвариантным относительно приведенного выше переопределения потенциалов для произвольной дифференцируемой функции. $F$.

Чтобы построить стохастический лагранжиан, соответствующий этому классическому лагранжиану, необходимо найти минимальное расширение вышеуказанного лагранжиана, которое соблюдает эту калибровочную инвариантность. В формулировке теории Стратоновича это можно сделать непосредственно, поскольку дифференциальный оператор в формулировке Стратоновича имеет вид

$\int d_{\circ }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\circ }^{i}\partial _{i}F\right)dt\,.$

Следовательно, лагранжиан Стратоновича можно получить, заменив классическую скорость $v$ по комплексной скорости $w_{\circ }$, такой, что

$L_{\circ }(x,w_{\circ },t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\circ }^{i}w_{\circ }^{j}+qA_{i}w_{\circ }^{i}-{\mathfrak {U}}\,.$

В формулировке Ито все сложнее, поскольку полная производная определяется леммой Ито : $\int d_{\pm }F(x,t)=\int \left(\partial _{t}F+v_{\pm }^{i}\partial _{i}F\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\partial _{j}\partial _{i}F\right)dt\,.$

Из-за наличия члена производной второго порядка калибровочная инвариантность нарушается. Однако это можно восстановить, добавив к лагранжиану производную векторного потенциала. Следовательно, стохастический лагранжиан задается лагранжианом вида

$L_{\pm }(x,w_{\pm },w_{2},t)={\frac {m}{2}}\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}w_{\pm }^{i}\pm {\frac {q}{2}}\partial _{j}A_{i}w_{2}^{ij}-{\mathfrak {U}}\,.$

Стохастическое действие можно определить с помощью лагранжиана Стратоновича, который равен действию, определяемому лагранжианом Ито, с точностью до расходящегося члена:

$S=\mathbb {E} \left[\int L_{\circ }\,dt\right]=\mathbb {E} \left[\int L_{\pm }dt\right]\pm \mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]\,.$

Дивергентный член может быть вычислен и определяется выражением

$\mathbb {E} \left[\int L_{\infty }dt\right]={\frac {m}{2}}\oint _{\gamma }{\frac {\delta _{ij}w_{2}^{ij}}{t}}dt=\alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i},$

где $k_{i}\in \mathbb {Z}$ это извилистые числа, которые подсчитывают извилистость пути $\gamma (t)$ вокруг полюса в $t=0$.

Поскольку расходящийся член постоянен, он не вносит вклад в уравнения движения. По этой причине этот термин был отвергнут в ранних работах по стохастической механике. Однако если отбросить этот термин, стохастическая механика не сможет объяснить появление дискретных спектров в квантовой механике. Этот вопрос известен как критика Уоллстрома. и может быть решено путем правильного учета расходящегося члена.

Существует также гамильтонова формулировка стохастической механики. Все начинается с определения канонических импульсов:

$p_{\circ ,i}={\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\circ }^{j}+q\,A_{i}\,,$

$p_{\pm ,i}={\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,.$

Гамильтониан в формулировке Стратоновича затем может быть получен преобразованием Лежандра первого порядка :

$H_{\circ }(x,p_{\circ },t)=p_{\circ ,i}v_{\circ }^{i}-L(x,v_{\circ },t)\,.$

С другой стороны, в формулировке Ито гамильтониан получается посредством преобразования Лежандра второго порядка:

$H_{\pm }(x,p^{\pm },\partial p^{\pm },t)=p_{i}^{\pm }w_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}w_{2}^{ij}\partial p_{ij}^{\pm }-L(x,w_{\pm },w_{2},t)\,.$

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Стохастическое действие можно экстремизировать, что приводит к стохастической версии уравнений Эйлера-Лагранжа . В формулировке Стратоновича они имеют вид

$\int d_{\circ }\left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial w_{\circ }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\circ }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.$

Для лагранжиана, обсуждавшегося в предыдущем разделе, это приводит к следующему стохастическому дифференциальному уравнению второго порядка в смысле Стратоновича :

$m\,\delta _{ij}\,d_{\circ }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\circ }Z^{j}(t)\,dt-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,,$

где напряженность поля определяется выражением $F_{ij}:=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$. Это уравнение служит стохастической версией второго закона Ньютона .

В формулировке Ито стохастические уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид

$\int d_{\pm }\left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial w_{\pm }^{i}}}\right)=\int \left({\frac {\partial L_{\pm }}{\partial x^{i}}}\right)dt\,.$

второго порядка Это приводит к стохастическому дифференциальному уравнению в смысле Ито , заданному стохастической версией второго закона Ньютона в форме

$m\,\delta _{ij}\,d_{\pm }^{2}Z^{j}(t)=q\,F_{ij}(X(t),t)\,d_{\pm }Z^{j}(t)\,dt\pm {\frac {\alpha \,\hbar \,q}{2\,m}}\,\delta ^{jk}\,\partial _{k}F_{ij}(X(t),t)\,dt^{2}-q\,\partial _{t}A_{i}(X(t),t)\,dt^{2}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}(X(t),t)\,dt^{2}\,.$

Уравнения Гамильтона-Якоби

Уравнения движения также могут быть получены путем стохастического обобщения формулировки Гамильтона-Якоби классической механики . В этом случае нужно начать с определения главной функции Гамильтона. Для лагранжиана $L_{+}$, эта функция определяется как

$S_{+}(x,t;x_{f},t_{f}):=-\mathbb {E} \left[\int _{t}^{t_{f}}L_{+}(X(s),W_{+}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{f})=x_{f}\right],$

где предполагается, что процесс $\{X(s):s\in [t,t_{f}]\}$ подчиняется стохастическим уравнениям Эйлера-Лагранжа. Аналогично для лагранжиана $L_{-}$, главная функция Гамильтона определяется как

$S_{-}(x,t;x_{0},t_{0}):=\mathbb {E} \left[\int _{t_{0}}^{t}L_{-}(X(s),W_{-}(s),W_{2}(s),s)\,ds\,{\Big |}\,X(t)=x,X(t_{0})=x_{0}\right],$

где предполагается, что процесс $\{X(s):s\in [t_{0},t]\}$ подчиняется стохастическим уравнениям Эйлера-Лагранжа. Из-за расходящейся части действия эти главные функции подчиняются отношению эквивалентности

${\tilde {S}}_{\pm }\equiv S_{\pm }\;{\rm {if}}\;\exists k\in \mathbb {Z} ^{n},\;{\rm {such\,that}}\;{\tilde {S}}_{\pm }=S_{\pm }\pm \alpha \,\pi \,{\rm {i}}\,\hbar \,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.$

Варьируя главные функции относительно точки $(x,t)$ находятся уравнения Гамильтона-Якоби. Они даны

${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\,,\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\,.\end{cases}}$

Обратите внимание, что они выглядят так же, как и в классическом случае. Однако гамильтониан во втором уравнении Гамильтона-Якоби теперь получается с использованием преобразования Лежандра второго порядка. Более того, из-за расходящейся части действия возникает третье уравнение Гамильтона-Якоби, которое принимает вид нетривиального интегрального ограничения

$\oint \left(p_{i}^{\pm }\,v_{\pm }^{i}\pm {\frac {1}{2}}v_{2}^{ij}\,\partial _{i}p_{j}\right)dt=\pm \alpha \,\hbar \,\pi \,{\rm {i}}\,\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,.$

Для данного лагранжиана первые два уравнения Гамильтона-Якоби дают

${\begin{cases}\partial _{i}S&=m\,\delta _{ij}w_{\pm }^{j}+q\,A_{i}\,,\\\partial _{t}S&=-{\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{\pm }^{i}w_{\pm }^{j}\mp {\frac {m}{2}}\,\delta _{ij}w_{2}^{ik}\partial _{k}w_{\pm }^{j}-{\mathfrak {U}}\,.\end{cases}}$

Эти два уравнения можно объединить, получив

$\left[m\,\delta _{ij}\left(\partial _{t}+w_{\pm }^{k}\partial _{k}\pm {\frac {1}{2}}\,w_{2}^{kl}\partial _{l}\partial _{k}\right)-q\,F_{ij}\right]w_{\pm }^{j}=\pm {\frac {q}{2}}\,w_{2}^{jk}\partial _{k}F_{ij}-q\,\partial _{t}A_{i}-\partial _{i}{\mathfrak {U}}\,.$

Используя это $w_{2}^{ij}={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\,\delta ^{ij}$, это уравнение, подчиненное интегральному условию и начальному условию $w_{+}(x,t_{0})=w_{0}(x)$ или терминальное состояние $w_{-}(x,t_{f})=w_{f}(x)$, можно решить для $w_{\pm }(x,t)$. Затем решение можно подставить в уравнение Ито.

${\begin{cases}d_{\pm }Z^{i}(t)&=w_{\pm }^{i}(x,t)\,dt+dM^{i}(t)\,,\\d[M^{i},M^{j}](t)&={\frac {\alpha \,\hbar }{m}}\delta ^{ij}\,dt\,,\end{cases}}$

которое можно решить для процесса $\{Z(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$. Таким образом, когда начальное условие $X(t_{0})=x_{0}$ (для будущего направленного уравнения, помеченного значком $+$) или терминальное состояние $X(t_{f})=x_{f}$ (для уравнения, направленного в прошлое, помеченного значком $-$) задан, обнаруживается уникальный случайный процесс $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ описывающее траекторию частицы.

Уравнение диффузии

Ключевым результатом стохастической механики является то, что она выводит уравнение Шредингера из постулируемого случайного процесса. В этом выводе уравнения Гамильтона-Якоби

${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}S_{\pm }(x,t)&=p_{i}^{\pm }(x,t)\\{\frac {\partial }{\partial t}}S_{\pm }(x,t)&=-H_{\pm }(x,p_{\pm }(x,t),\partial p_{\pm }(x,t),t)\end{cases}}$

объединяются, так что получается уравнение

$2\,m\left(\partial _{t}S_{\pm }+{\mathfrak {U}}\right)+\delta ^{ij}\left(\partial _{i}S_{\pm }\partial _{j}S_{\pm }\pm \alpha \,\hbar \,\partial _{j}\partial _{i}S_{\pm }-2\,q\,A_{i}\partial _{j}S_{\pm }\mp \alpha \,\hbar \,q\,\partial _{j}A_{i}+q^{2}\,A_{i}A_{j}\right)=0\,.$

Далее определяется волновая функция

$\Psi _{\pm }(x,t)=\exp \left(\pm {\frac {S_{\pm }(x,t)}{\alpha \,\hbar }}\right).$

Поскольку главные функции Гамильтона многозначны, оказывается, что волновые функции подчиняются отношениям эквивалентности

${\tilde {\Psi }}_{+}\equiv \Psi _{+}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{+}=\pm \Psi _{+}\qquad {\rm {and}}\qquad {\tilde {\Psi }}_{-}\equiv \Psi _{-}\quad {\rm {if}}\quad {\tilde {\Psi }}_{-}=\pm \Psi _{-}\,.$

Кроме того, волновые функции подчиняются сложным уравнениям диффузии

$-\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{+}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{+}\,,$

$\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{-}=\left[{\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+q\,A_{i}\right)\left(\alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+q\,A_{j}\right)+{\mathfrak {U}}\right]\Psi _{-}\,.$

Таким образом, для любого процесса, решающего постулаты стохастической механики, можно построить волновую функцию, подчиняющуюся этим уравнениям диффузии. Благодаря отношениям эквивалентности главной функции Гамильтона верно и обратное утверждение: для любого решения этих сложных уравнений диффузии можно построить случайный процесс $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ это решение постулатов стохастической механики. Аналогичный результат был установлен теоремой Фейнмана-Каца .

Наконец, можно построить плотность вероятности

$\rho _{\pm }(x,t):={\frac {|\Psi _{\pm }(x,t)|^{2}}{\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y}}\,,$

которое описывает вероятности перехода для процесса $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$. Точнее, $\rho _{+}$ описывает вероятность нахождения в состоянии $(x,t)$ учитывая, что система оказывается в состоянии $(x_{f},t_{f})$. Следовательно, уравнение диффузии для $\Psi _{+}$ можно интерпретировать как обратное уравнение Колмогорова процесса $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$. Сходным образом, $\rho _{-}$ описывает вероятность нахождения в состоянии $(x,t)$ учитывая, что система оказывается в состоянии $(x_{0},t_{0})$, когда он развивается назад во времени. Следовательно, уравнение диффузии для $\Psi _{-}$ можно интерпретировать как обратное уравнение Колмогорова процесса $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ когда оно эволюционирует в сторону прошлого. Инвертируя направление времени, можно обнаружить, что $\rho _{-}$ описывает вероятность нахождения в состоянии $(x,t)$ учитывая, что система запускается в состоянии $(x_{0},t_{0})$, когда он развивается вперед во времени. Таким образом, уравнение диффузии для $\Psi _{-}$ также можно интерпретировать как прямое уравнение Колмогорова процесса $\{X(t):t\in [t_{0},t_{f}]\}$ когда оно развивается в направлении будущего.

Математические аспекты

Предельные случаи

Теория содержит различные специальные ограничения:

• Классический предел с $\alpha =0$. В этом случае процесс $X$ и вспомогательный процесс $Y$ описывает две разделенные детерминированные траектории.
• Броуновский предел с $\alpha \in (0,\infty )$. В этом случае процесс $X$ описывает винеровский процесс (он же броуновское движение ), для которого приведенный выше результат установлен теоремой Фейнмана-Каца , тогда как вспомогательный процесс $Y$ описывает детерминированный процесс.
• Квантовый предел с $\alpha \in {\rm {i}}\times (0,\infty )$. В этом случае процесс $X$ и вспомогательный процесс $Y$ описывают два положительно коррелированных винеровских процесса.
• Обращенный во времени броуновский предел с $\alpha \in (-\infty ,0)$. В этом случае процесс $X$ описывает детерминированный процесс, тогда как вспомогательный процесс $Y$ описывает винеровский процесс .
• Обращенный во времени квантовый предел с $\alpha \in {\rm {i}}\times (-\infty ,0)$. В этом случае процесс $X$ и вспомогательный процесс $Y$ описывают два отрицательно коррелированных винеровских процесса.

В броуновском пределе с начальным условием $u(x,t_{0})=0$ или терминальное состояние $u(x,t_{f})=0$ (что подразумевает $u(x,t)=0\quad \forall t$), процессы $X$ и $Y$ развязаны, так что динамика вспомогательного процесса $Y$ можно отбросить и $X$ описывается реальным винеровским процессом . Во всех остальных случаях с $\alpha \neq 0$, процессы связаны друг с другом так, что вспомогательный процесс $Y$ необходимо учитывать при определении динамики $X$.

Симметрия обращения времени

Теория симметрична относительно операции обращения времени. $(t,\alpha ,q)\leftrightarrow (-t,-\alpha ,-q)$.

В броуновских пределах теория максимально диссипативна , тогда как квантовые пределы унитарны , так что

${\frac {d}{dt}}\int |\Psi _{\pm }(y,t)|^{2}d^{n}y{\Big |}_{\alpha \in {\rm {i}}\times \mathbb {R} }=0\,.$

Канонические коммутационные соотношения

Уравнение диффузии можно переписать в виде

$\mp \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi _{\pm }={\hat {H}}({\hat {x}},{\hat {p}}^{\pm },t)\,\Psi _{\pm }\,,$

где ${\hat {H}}$ является гамильтоновым оператором. Это позволяет ввести операторы положения и импульса как

${\hat {x}}^{i}=x^{i}\qquad {\rm {and}}\qquad {\hat {p}}_{i}^{\pm }=\pm \alpha \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\,,$

такой, что гамильтониан имеет привычную форму

$H({\hat {x}},{\hat {p}},t)={\frac {\delta ^{ij}}{2\,m}}\,{\Big [}{\hat {p}}_{i}-q\,A_{i}({\hat {x}},t){\Big ]}{\Big [}{\hat {p}}_{j}-q\,A_{j}({\hat {x}},t){\Big ]}+{\mathfrak {U}}({\hat {x}},t)\,.$

Эти операторы подчиняются каноническому коммутационному соотношению

$[{\hat {x}}^{i},{\hat {p}}_{j}^{\pm }]=\mp \alpha \,\hbar \,\delta _{j}^{i}\,.$

См. также

• Теорема Белла
• Теория де Бройля – Бома
• ЭПР-парадокс
• Теория скрытых переменных
• Интерпретации квантовой механики
• Стохастическое квантование
• Стохастическая модель вакуума
• Стохастическая электродинамика

Ссылки

Статьи

• де Бройль, Л. (1967). «Броуновское движение частицы в ее волне». ЧР акад. Наука . Б264 :1041.
• Кэмерон, Р.Х. (1960). «Семейство интегралов, соединяющее интегралы Винера и Фейнмана». Журнал математики и физики . 39 (1–4): 126–140. дои : 10.1002/sapm1960391126 . ISSN   0097-1421 .
• Далецкий, Ю Л (1962-10-31). «Функциональные интегралы, связанные с уравнениями эволюции операторов». Российские математические обзоры . 17 (5): 1–107. Бибкод : 1962РуМаС..17....1Д . дои : 10.1070/RM1962v017n05ABEH004121 . ISSN   0036-0279 .
• Дэвидсон, член парламента (1979). «Происхождение алгебры квантовых операторов в стохастической формулировке квантовой механики». Письма по математической физике . 3 (5): 367–376. arXiv : Quant-ph/0112099 . Бибкод : 1979LMaPh...3..367D . дои : 10.1007/BF00397209 . ISSN   0377-9017 . S2CID   6416365 .
• Дуб, Дж. Л. (1942). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. дои : 10.2307/1968873 . JSTOR   1968873 .
• Эйнштейн, А. (1905). «О движении частиц, взвешенных в покоящихся жидкостях, требуемых молекулярно-кинетической теорией теплоты» . Анналы физики . 322 (8): 549–560. Бибкод : 1905АнП...322..549Е . дои : 10.1002/andp.19053220806 . ISSN   0003-3804 .
• Феньес, И. (1946). «Вывод уравнения Шредингера» Акта Боляяна 1 (5): гл. 2.
• Феньес, И. (1952). «Вероятностное обоснование и интерпретация квантовой механики». Журнал физики . 132 (1): 81–106. Стартовый код : 1952ZPhy..132...81F . дои : 10.1007/BF01338578 . ISSN   1434-6001 . S2CID   119581427 .
• Герра, Ф. (1981). «Структурные аспекты стохастической механики и стохастической теории поля» . Отчеты по физике . 77 (3): 263–312. Бибкод : 1981PhR....77..263G . дои : 10.1016/0370-1573(81)90078-8 .
• Кац, М. (1949). «О распределениях некоторых винеровских функционалов» . Труды Американского математического общества . 65 (1): 1–13. дои : 10.2307/1990512 . JSTOR   1990512 .
• Линдгрен, Дж.; Люкконен, Дж. (2019). «Квантовую механику можно понять посредством стохастической оптимизации пространства-времени» . Научные отчеты . 9 (1): 19984. Бибкод : 2019NatSR...919984L . дои : 10.1038/s41598-019-56357-3 . ПМК   6934697 . ПМИД   31882809 .
• Нельсон, Э. (1966). «Вывод уравнения Шрёдингера из механики Ньютона» . Физический обзор . 150 (4): 1079–1085. Бибкод : 1966PhRv..150.1079N . дои : 10.1103/PhysRev.150.1079 .
• Нельсон, Э. (1986). «Теория поля и будущее стохастической механики». В Альбеверио, С.; Казати, Г.; Мерлини, Д. (ред.). Стохастические процессы в классических и квантовых системах . Конспект лекций по физике. Том. 262. Берлин: Springer-Verlag. стр. 438–469. дои : 10.1007/3-540-17166-5 . ISBN  978-3-662-13589-1 . OCLC   864657129 .
• Нельсон, Э. (2014). «Стохастическая механика релятивистских полей» . Физический журнал: серия конференций . 504 (1): 012013. Бибкод : 2014JPhCS.504a2013N . дои : 10.1088/1742-6596/504/1/012013 . S2CID   123706792 .
• Павон, М. (1995). «Новая формулировка стохастической механики» . Буквы по физике А. 209 (3–4): 143–149. Бибкод : 1995PhLA..209..143P . дои : 10.1016/0375-9601(95)00847-4 .
• Перрен, Дж. (1911). «Броуновское движение и молекулярная реальность» . Природа . 86 (2160): 105. Бибкод : 1911Natur..86..105R . дои : 10.1038/086105a0 . hdl : 2027/mdp.39015010952425 . ISSN   0028-0836 .
• Уоллстром, TC (1989). «О выводе уравнения Шрёдингера из стохастической механики» . Основы физики письма . 2 (2): 113–126. Бибкод : 1989FoPhL...2..113W . дои : 10.1007/BF00696108 .
• Уоллстром, TC (1994). «Неэквивалентность уравнения Шредингера и гидродинамических уравнений Маделунга» . Физический обзор А. 49 (3): 1613–1617. Бибкод : 1994PhRvA..49.1613W . дои : 10.1103/PhysRevA.49.1613 . ПМИД   9910408 .
• Винер, Норберт (1923). «Дифференциальное пространство». Журнал математики и физики . 2 (1–4): 131–174. дои : 10.1002/sapm192321131 . ISSN   0097-1421 .
• Ясуэ, К. (1979). «Стохастическое квантование: обзор» . Международный журнал теоретической физики . 18 (12): 861–913. Бибкод : 1979IJTP...18..861Y . дои : 10.1007/BF00669566 . S2CID   120858652 .
• Замбрини, Дж. К. (1985). «Стохастическая динамика: обзор стохастического вариационного исчисления» . Международный журнал теоретической физики . 24 (3): 277–327. Бибкод : 1985IJTP...24..277Z . дои : 10.1007/BF00669792 . S2CID   122076991 .
• Хуан, К.; Замбрини, JC (2023). «От дифференциальной геометрии второго порядка к стохастической геометрической механике» . Журнал нелинейной науки . 33 (67): 1–127. arXiv : 2201.03706 . Бибкод : 2023JNS....33...67H . дои : 10.1007/s00332-023-09917-x .

Книги

• Джаммер, М. (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  0-471-43958-4 . LCCN   74013030 . OCLC   613797751 .
• Койперс, Ф. (2023). Стохастическая механика: объединение квантовой механики с броуновским движением . SpringerBriefs по физике. Чам: SpringerBriefs по физике. arXiv : 2301.05467 . дои : 10.1007/978-3-031-31448-3 . ISBN  978-3-031-31447-6 . S2CID   255825676 .
• Намсрай, К. (1985). Нелокальная квантовая теория поля и стохастическая квантовая механика . Дордрехт; Бостон: D. Reidel Publishing Co. doi : 10.1007/978-94-009-4518-0 . ISBN  90-277-2001-0 . LCCN   85025617 . OCLC   12809936 .
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07950-9 .
• Нельсон, Э. (1985). Квантовые флуктуации . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08378-9 . LCCN   84026449 . OCLC   11549759 .
• де ла Пенья, Луис ; Четто, Ана Мария (1996). ван дер Мерве, Олвин (ред.). Квантовые кости: введение в стохастическую электродинамику . Дордрехт; Бостон; Лондон: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-3818-9 . LCCN   95040168 . OCLC   832537438 .