Теория пилотных волн

Кудер оспаривается эксперименты, якобы «материализуя» модель пилотной волны .

В теоретической физике теория пилотных волн , также известная как механика Бома , была первым известным примером теории скрытых переменных , представленной Луи де Бройлем в 1927 году. Ее более современная версия, теория де Бройля-Бома , интерпретирует квантовую механику. как детерминистическая теория, и избегает таких проблем, как дуальность волны и частицы , мгновенный коллапс волновой функции и парадокс кота Шрёдингера , поскольку она по своей сути нелокальна .

Теория пилотных волн де Бройля-Бома является одной из нескольких интерпретаций (нерелятивистской) квантовой механики .

История

Ранние результаты Луи де Бройля по теории пилотных волн были представлены в его диссертации (1924 г.) в контексте атомных орбиталей, где волны стационарны. Ранние попытки разработать общую формулировку динамики этих направляющих волн в терминах релятивистского волнового уравнения не увенчались успехом, пока в 1926 году Шредингер не разработал свое нерелятивистское волновое уравнение . Он также предположил, что, поскольку уравнение описывает волны в конфигурационном пространстве, от модели частиц следует отказаться. Вскоре после этого, Макс Борн предположил, что волновая функция волнового уравнения Шредингера представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы. Следуя этим результатам, де Бройль разработал динамические уравнения для своей теории пилотных волн. Первоначально де Бройль предложил подход двойного решения , в котором квантовый объект состоит из физической волны ( u -волны) в реальном пространстве, которая имеет сферическую сингулярную область, которая приводит к поведению, подобному частице; в этой первоначальной форме своей теории ему не нужно было постулировать существование квантовой частицы. Позже он сформулировал ее как теорию, в которой частицу сопровождает пилотная волна.

Де Бройль представил теорию пилотной волны на Сольвеевской конференции 1927 года . Однако на конференции Вольфганг Паули возразил против этого, заявив, что он не рассматривает должным образом случай неупругого рассеяния . Де Бройлю не удалось найти ответа на это возражение и он отказался от пилот-волнового подхода. В отличие от Дэвида Бома годы спустя, де Бройль не завершил свою теорию, охватывающую многочастичный случай. Многочастичный случай математически показывает, что диссипация энергии при неупругом рассеянии может быть распределена по окружающей структуре поля с помощью пока неизвестного механизма теории скрытых переменных.

В 1932 году Джон фон Нейман опубликовал книгу: часть из которых утверждала, что доказала невозможность всех теорий скрытых переменных. обнаружила, что этот результат ошибочен. Грета Герман три года спустя, хотя по ряду причин это оставалось незамеченным физическим сообществом более пятидесяти лет.

В 1952 году Дэвид Бом , недовольный преобладающей ортодоксальностью, заново открыл теорию пилотной волны де Бройля. Бом развил теорию пилотных волн в то, что сейчас называется теорией де Бройля-Бома . Сама теория де Бройля-Бома могла бы остаться незамеченной большинством физиков, если бы ее не поддержал Джон Белл , который также опроверг возражения против нее. В 1987 году Джон Белл заново открыл для себя работу Греты Германн. и таким образом показал физическому сообществу, что возражения Паули и фон Неймана лишь показывают, что теория пилотной волны не имеет локальности .

Теория пилотной волны

Принципы

(а) Ходок в круглом загоне. Траектории увеличивающейся длины имеют цветовую маркировку в соответствии с локальной скоростью капли. (b) Распределение вероятностей положения пешехода примерно соответствует амплитуде волны Фарадея в загоне.

Теория пилотной волны представляет собой теорию скрытых переменных . Следовательно:

• теория обладает реализмом (то есть ее концепции существуют независимо от наблюдателя);
• теория имеет детерминизм .

Положения частиц считаются скрытыми переменными. Наблюдатель не знает точных значений этих переменных; они не могут знать их именно потому, что любое измерение их беспокоит. С другой стороны, наблюдатель определяется не волновой функцией собственных атомов, а положениями атомов. Таким образом, то, что человек видит вокруг себя, является также положением близлежащих объектов, а не их волновыми функциями.

Совокупность частиц имеет связанную с ними волну материи, которая развивается в соответствии с уравнением Шрёдингера . Каждая частица следует по детерминированной траектории, управляемой волновой функцией; в совокупности плотность частиц соответствует величине волновой функции. Волновая функция не зависит от частицы и может существовать также как пустая волновая функция .

Теория выявляет нелокальность , которая неявно присутствует в нерелятивистской формулировке квантовой механики, и использует ее для удовлетворения теоремы Белла . Можно показать, что эти нелокальные эффекты совместимы с теоремой об отсутствии связи , которая предотвращает их использование для связи со скоростью, превышающей скорость света, и поэтому эмпирически совместима с теорией относительности.

Макроскопический аналог

Кудер, Форт и др. заявлено что макроскопические капли масла на вибрирующей ванне с жидкостью можно использовать в качестве аналоговой модели пилотных волн; локализованная капля создает вокруг себя периодическое волновое поле. Они предположили, что резонансное взаимодействие между каплей и ее собственным волновым полем ведет себя аналогично квантовым частицам: интерференция в эксперименте с двумя щелями, непредсказуемое туннелирование (сложным образом зависящим от практически скрытого состояния поля), орбитальное квантование (что частица должна «найти резонанс» с возмущениями поля, которые она создает — после одного оборота ее внутренняя фаза должна вернуться в исходное состояние) и эффект Зеемана . Попытки воспроизвести эти эксперименты показали, что за наблюдаемые гидродинамические картины, которые отличаются от интерференционных картин, вызванных щелью, демонстрируемых квантовыми частицами, может быть взаимодействие стенки и капли, а не дифракция или интерференция пилотной волны.

Математические основы

Чтобы получить пилот-волну де Бройля – Бома для электрона, необходимо использовать квантовый лагранжиан

$L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),$

где $V$ потенциальная энергия, $v$ это скорость и $Q$ — потенциал, связанный с квантовой силой (частица, толкаемая волновой функцией), интегрируется ровно по одному пути (тому, по которому фактически следует электрон). Это приводит к следующей формуле для пропагатора Бома :

$K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].$

Этот пропагатор позволяет точно отслеживать электрон во времени под действием квантового потенциала. $Q$.

Вывод уравнения Шрёдингера

Теория пилотных волн основана на динамике Гамильтона – Якоби . а не лагранжева или гамильтонова динамика . Используя уравнение Гамильтона – Якоби

$H\left(\,{\vec {x}}\,,\;{\vec {\nabla }}_{\!x}\,S\,,\;t\,\right)+{\partial S \over \partial t}\left(\,{\vec {x}},\,t\,\right)=0$

можно вывести уравнение Шрёдингера :

Рассмотрим классическую частицу, положение которой достоверно неизвестно. Мы должны иметь дело с этим статистически, поэтому только плотность вероятности $\rho ({\vec {x}},t)$ известно. Вероятность должна сохраняться, т.е. $\int \rho \,\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}=1$ для каждого $t$. Следовательно, оно должно удовлетворять уравнению неразрывности

${\frac {\,\partial \rho \,}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\cdot (\rho \,{\vec {v}})\qquad \qquad (1)$

где $\,{\vec {v}}({\vec {x}},t)\,$ - скорость частицы.

В формулировке классической механики Гамильтона-Якоби скорость определяется выражением $\;{\vec {v}}({\vec {x}},t)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}_{\!x}S({\vec {x}},\,t)\;$ где $\,S({\vec {x}},t)\,$ является решением уравнения Гамильтона-Якоби

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,\nabla S\,\right|^{2}\,}{2m}}+{\tilde {V}}\qquad \qquad (2)$

$\,(1)\,$ и $\,(2)\,$ можно объединить в одно комплексное уравнение, введя комплексную функцию $\;\psi ={\sqrt {\rho \,}}\,e^{\frac {\,i\,S\,}{\hbar }}\;,$ тогда два уравнения эквивалентны

$i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\tilde {V}}-Q\right)\psi \quad$

с

$\;Q=-{\frac {\;\hbar ^{2}\,}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.$

Зависимое от времени уравнение Шредингера получается, если мы начнем с $\;{\tilde {V}}=V+Q\;,$ обычный потенциал с дополнительным квантовым потенциалом $Q$. Квантовый потенциал — это потенциал квантовой силы, пропорциональный (в приближении) кривизне амплитуды волновой функции.

Обратите внимание, что этот потенциал тот же самый, который появляется в уравнениях Маделунга , классическом аналоге уравнения Шредингера.

Математическая формулировка для одной частицы

Волна материи де Бройля описывается нестационарным уравнением Шрёдингера:

$i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad$

Сложную волновую функцию можно представить как:

$\psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)~$

Подставив это в уравнение Шрёдингера, можно получить два новых уравнения для действительных переменных. Первое — это уравнение непрерывности для плотности вероятности $\,\rho \,:$

${\frac {\,\partial \rho \,}{\,\partial t\,}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho \,{\vec {v}}\right)=0~,$

где поле скорости определяется «уравнением наведения»

${\vec {v}}\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}S\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)~.$

Согласно теории пилотных волн, точечная частица и волна материи являются реальными и отдельными физическими объектами (в отличие от стандартной квантовой механики, которая постулирует отсутствие физических частиц или волновых объектов, а только наблюдаемый корпускулярно-волновой дуализм). Пилотная волна направляет движение точечных частиц, как описано уравнением направления.

Обычная квантовая механика и теория пилотных волн основаны на одном и том же уравнении в частных производных. Основное отличие состоит в том, что в обычной квантовой механике уравнение Шредингера связано с реальностью постулатом Борна, который утверждает, что плотность вероятности положения частицы определяется выражением $\;\rho =|\psi |^{2}~.$ Теория пилотных волн считает уравнение наведения фундаментальным законом и рассматривает правило Борна как производную концепцию.

Второе уравнение представляет собой модифицированное уравнение Гамильтона–Якоби для действия S :

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,{\vec {\nabla }}S\,\right|^{2}\,}{\,2m\,}}+V+Q~,$

где Q - квантовый потенциал , определяемый формулой

$Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.$

Если мы решим пренебречь Q , наше уравнение сведется к уравнению Гамильтона – Якоби классической точечной частицы. Итак, квантовый потенциал ответственен за все загадочные эффекты квантовой механики.

Можно также объединить модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби с уравнением наведения, чтобы получить квазиньютоновское уравнение движения.

$m\,{\frac {d}{dt}}\,{\vec {v}}=-{\vec {\nabla }}(V+Q)~,$

где гидродинамическая производная по времени определяется как

${\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\,\partial t\,}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}~.$

Математическая формулировка для нескольких частиц

Уравнение Шрёдингера для волновой функции многих тел $\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdots ,t)$ дается

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\right)\psi$

Сложную волновую функцию можно представить как:

$\psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)$

Пилотная волна направляет движение частиц. Уравнение наведения для j-й частицы:

${\vec {v}}_{j}={\frac {\nabla _{j}S}{m_{j}}}\;.$

Скорость j-й частицы явно зависит от положения остальных частиц.Это означает, что теория нелокальна.

относительность

Расширение релятивистского случая со спином разрабатывается с 1990-х годов.

Пустая волновая функция

Люсьен Харди и Джон Стюарт Белл подчеркнули, что в картине квантовой механики де Бройля-Бома могут существовать пустые волны , представленные волновыми функциями, распространяющимися в пространстве и времени, но не несущими энергию или импульс, и не связан с частицей. назвал призрачными волнами (или «Gespensterfelder», призрачными полями ) Эту же концепцию Альберт Эйнштейн . Понятие пустой волновой функции обсуждалось неоднозначно. Напротив, многомировая интерпретация квантовой механики не требует пустых волновых функций.

См. также

• Гидродинамические квантовые аналоги
• Квантовый потенциал

Внешние ссылки

• «Волны-пилоты, метафизика Бома и основы квантовой механики». Архивировано 10 апреля 2016 года в Wayback Machine по теории пилотных волн , курс лекций Майка Таулера , Кембриджский университет (2009).
• «Бомианская механика» Статья Шелдона Гольдштейна в Стэнфордской энциклопедии философии , осень 2021 г.
• Клауса фон Бло Демонстрации бомовской механики в: Демонстрационный проект Вольфрама