Нечеткая сфера

В математике нечеткая сфера — один из самых простых и канонических примеров некоммутативной геометрии . Обычно функции, определенные на сфере, образуют коммутирующую алгебру. Нечеткая сфера отличается от обычной сферы тем, что алгебра функций на ней некоммутативна. Его порождают сферические гармоники , спин l которых не более чем равен некоторому j . Члены произведения двух сферических гармоник, включающие в себя сферические гармоники со спином, превышающим j, в произведении просто опускаются. Это усечение заменяет бесконечномерную коммутативную алгебру на $j^{2}$-мерная некоммутативная алгебра.

Самый простой способ увидеть эту сферу — реализовать эту усеченную алгебру функций как матричную алгебру в некотором конечномерном векторном пространстве.Возьмем три j -мерные квадратные матрицы $J_{a},~a=1,2,3$ которые составляют основу j- мерного неприводимого представления алгебры Ли su(2) . Они удовлетворяют отношения $[J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c}$, где $\epsilon _{abc}$ является полностью антисимметричным символом с $\epsilon _{123}=1$и сгенерируем через матричное произведение алгебру $M_{j}$ мерных j- матриц. Значение su(2) оператора Казимира в этом представлении равно

$J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}={\frac {1}{4}}(j^{2}-1)I$

где I — j -мерная единичная матрица.Таким образом, если мы определим «координаты» $x_{a}=kr^{-1}J_{a}$где r — радиус сферы, а k — параметр, связанный с r и j соотношением $4r^{4}=k^{2}(j^{2}-1)$, то приведенное выше уравнение, касающееся оператора Казимира, можно переписать как

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}$,

что является обычным соотношением для координат на сфере радиуса r, вложенной в трехмерное пространство.

В этом пространстве можно определить интеграл по формуле

$\int _{S^{2}}fd\Omega :=2\pi k\,{\text{Tr}}(F)$

где F — матрица, соответствующая функции f .Например, интеграл единицы, дающий поверхность сферы в коммутативном случае, здесь равен

$2\pi k\,{\text{Tr}}(I)=2\pi kj=4\pi r^{2}{\frac {j}{\sqrt {j^{2}-1}}}$

которое сходится к значению поверхности сферы, если довести j до бесконечности.

Примечания

• Йенс Хоппе, «Мембраны и матричные модели», лекции, прочитанные во время летней школы «Квантовая теория поля - с гамильтоновой точки зрения», 2–9 августа 2000 г., arXiv : hep-th/0206192
• Джон Мадор, Введение в некоммутативную дифференциальную геометрию и ее физические приложения , Серия лекций Лондонского математического общества. 257, Издательство Кембриджского университета, 2002 г.

Ссылки

Хоппе Дж. «Квантовая теория безмассовой релятивистской поверхности и двумерная задача связанного состояния». Докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1982 г.