Оператор позиции

В квантовой механике оператор положения — это оператор который соответствует наблюдаемому положению частицы , .

Когда оператор положения рассматривается в достаточно широкой области (например, в пространстве умеренных распределений ), его собственные значения являются возможными векторами положения частицы.

В одном измерении, если по символу $$|x\rangle$$ обозначим унитарный собственный вектор оператора положения, соответствующий собственному значению $x$, затем, $|x\rangle$ представляет состояние частицы, в котором мы точно знаем, что сможем найти саму частицу в положении $x$.

Поэтому, обозначая оператор положения символом $X$ – в литературе мы встречаем и другие обозначения оператора положения, например $Q$ (из лагранжевой механики), ${\hat {\mathrm {x} }}$ и так далее – мы можем написать $$X|x\rangle =x|x\rangle ,$$ на каждую реальную позицию $x$.

Одна из возможных реализаций унитарного государства с положением $x$ - это дельта-распределение (функция) Дирака с центром в позиции $x$, часто обозначаемый $\delta _{x}$.

В квантовой механике — упорядоченное (непрерывное) семейство всех распределений Дирака, т. е. семейство $$\delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },$$называется (унитарным) базисом позиции (в одном измерении) просто потому, что он является (унитарным) собственным базисом оператора позиции $X$ в пространстве распределений, двойственном пространству волновых функций .

Принципиально важно заметить, что существует только один линейный непрерывный эндоморфизм $X$ в пространстве умеренных распределений таких, что $$X(\delta _{x})=x\delta _{x},$$за каждую реальную точку $x$. Можно доказать, что единственный указанный выше эндоморфизм обязательно определяется формулой $$X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,$$для каждого умеренного распределения $\psi$, где $\mathrm {x}$ обозначает координатную функцию линии положения, определяемую от действительной линии в комплексную плоскость выражением $$\mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.$$

Введение

В одном измерении – для частицы, заключенной в прямую линию – квадратный модуль $$|\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,$$нормированной волновой функции, интегрируемой с квадратом $$\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} ,$$представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы в некоторой позиции $x$ реальной линии в определенное время.

Другими словами, если в определенный момент времени частица находится в состоянии, представленном волновой функцией, интегрируемой с квадратом $\psi$ и предполагая волновую функцию $\psi$ быть из $L^{2}$-норма равна 1, $$\|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,$$тогда вероятность найти частицу в диапазоне положений $[a,b]$ является $$\pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .$$

Следовательно, ожидаемое значение измерения позиции $X$ для частицы есть значение $$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}\mathrm {x} \psi \,d\mathrm {x} ,$$где:

1. предполагается, что частица находится в состоянии $\psi$;
2. функция $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ предполагается интегрируемым, т. е. принадлежащим классу $L^{1}$;
3. мы указываем через $\mathrm {x}$ координатная функция оси положения.

Кроме того, квантовомеханический оператор , соответствующий наблюдаемому положению $X$ обозначается также $$X={\hat {\mathrm {x} }},$$ и определены $$\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),$$ для каждой волновой функции $\psi$ и для каждой точки $x$ реальной линии.

Циркумфлекс функцией над $\mathrm {x}$ в левой части указывает на наличие оператора, так что это уравнение можно прочитать:

Результат оператора позиции $X$ действуя на любую волновую функцию $\psi$ равна координатной функции $\mathrm {x}$ умноженное на волновую функцию $\psi$.

Или проще:

Оператор $X$ умножает любую волновую функцию $\psi$ координатной функцией $\mathrm {x}$.

Примечание 1. Для большей наглядности мы ввели координатную функцию $$\mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,$$который просто встраивает линию положения в комплексную плоскость. Это не что иное, как каноническое вложение действительной прямой в комплексную плоскость.

Примечание 2. Ожидаемое значение оператора положения при волновой функции (состоянии) $\psi$ можно переинтерпретировать как скалярное произведение: $$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,$$предполагая, что частица находится в состоянии $\psi \in L^{2}$ и приняв функцию $\mathrm {x} \psi$ быть классным $L^{2}$ – откуда сразу следует, что функция $\mathrm {x} |\psi |^{2}$ интегрируема, т. е. класса $L^{1}$.

Примечание 3. Строго говоря, наблюдаемое положение $X$ может быть точечно определено как $$\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),$$для каждой волновой функции $\psi$ и для каждой точки $x$ действительной линии на волновые функции, которые являются точно определенными функциями. В случае классов эквивалентности $\psi \in L^{2}$ определение звучит прямо следующим образом $${\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,$$для каждой волновой функции $\psi \in L^{2}$.

Основные свойства

В приведенном выше определении, как сразу может заметить внимательный читатель, не существует четкого определения области и ко-области для оператора положения (в случае частицы, удерживаемой на прямой). В литературе более или менее явно мы находим по существу три основных направления решения этого фундаментального вопроса.

1. Оператор положения определен в подпространстве $D_{X}$ из $L^{2}$ образованные этими классами эквивалентности $\psi$ чье произведение по вложению $\mathrm {x}$ живет в космосе $L^{2}$ также. В этом случае оператор позиции $$X:D_{X}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$$ обнаруживает ненепрерывность (неограниченность по отношению к топологии, индуцированной каноническим скалярным произведением $L^{2}$), без собственных векторов, без собственных значений, следовательно, с пустым собственным спектром (набором его собственных значений).
2. Оператор позиции определен в пространстве ${\mathcal {S}}_{1}$ комплексных функций Шварца (гладких комплексных функций, определенных на действительной прямой и быстро убывающих на бесконечности со всеми своими производными). Произведение функции Шварца вложением $\mathrm {x}$ живет всегда в космосе ${\mathcal {S}}_{1}$, который является подмножеством $L^{2}$. В этом случае оператор позиции $$X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$$ обнаруживает непрерывную (относительно канонической топологии ${\mathcal {S}}_{1}$), инъективный, без собственных векторов, без собственных значений, следовательно, с пустым собственным спектром (набором собственных значений). Оно (полностью) самосопряжено относительно скалярного произведения $L^{2}$ в том смысле, что $$\langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,$$ для каждого $\psi$ и $\phi$ принадлежащий его домену ${\mathcal {S}}_{1}$.
3. На практике это наиболее широко распространенный вариант в литературе по квантовой механике, хотя он никогда явно не подчеркивается. Оператор положения определен в пространстве ${\mathcal {S}}'_{1}$ комплекснозначных умеренных распределений (топологический двойник функционального пространства Шварца ${\mathcal {S}}_{1}$). Продукт умеренного распределения по вложению $\mathrm {x}$ живет всегда в космосе ${\mathcal {S}}'_{1}$, который содержит $L^{2}$. В этом случае оператор позиции $$X:{\mathcal {S}}'_{1}\to {\mathcal {S}}'_{1}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$$ обнаруживает непрерывную (относительно канонической топологии ${\mathcal {S}}'_{1}$), сюръективный, наделенный полными семействами собственных векторов, действительными собственными значениями и собственным спектром (набором собственных значений), равным действительной прямой. Оно самосопряжено относительно скалярного произведения $L^{2}$ в том смысле, что его оператор транспонирования $${}^{t}X:{\mathcal {S}}_{1}\to {\mathcal {S}}_{1}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,$$ который является оператором положения в функциональном пространстве Шварца, является самосопряженным: $$\left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,$$ для каждой (тестовой) функции $\phi$ и $\psi$ принадлежащий пространству ${\mathcal {S}}_{1}$.

собственные состояния

Собственные функции оператора положения (в пространстве умеренных распределений), представленные в пространстве позиций , являются дельта-функциями Дирака .

Неофициальное доказательство. Чтобы показать, что возможные собственные векторы оператора положения обязательно должны быть дельта-распределениями Дирака, предположим, что $\psi$ является собственным состоянием оператора положения с собственным значением $x_{0}$. Запишем уравнение собственных значений в координатах положения: $${\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)$$напоминая, что ${\hat {\mathrm {x} }}$ просто умножает волновые функции на функцию $\mathrm {x}$, в представлении позиции. Поскольку функция $\mathrm {x}$ является переменной, в то время как $x_{0}$ является константой, $\psi$ должен быть нулем везде, кроме точки $x_{0}$. Очевидно, что ни одна непрерывная функция не удовлетворяет таким свойствам, и мы не можем просто определить волновую функцию как комплексное число в этой точке, потому что ее $L^{2}$-норма будет равна 0, а не 1. Это предполагает необходимость «функционального объекта», сосредоточенного в точке $x_{0}$ и с интегралом, отличным от 0: любое кратное дельте Дирака с центром в $x_{0}$.Нормализованное решение уравнения $$\mathrm {x} \psi =x_{0}\psi$$является $$\psi (x)=\delta (x-x_{0}),$$ или лучше $$\psi =\delta _{x_{0}}.$$Доказательство. Здесь мы строго докажем, что $$\mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.$$Действительно, вспомнив, что произведение любой функции на распределение Дирака с центром в точке равно значению функции в этой точке, умноженному на само распределение Дирака, мы сразу получаем $$\mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.$$Значение дельта-волны Дирака. Хотя такие состояния Дирака физически нереализуемы и, строго говоря, не являются функциями, распределение Дирака с центром в $x_{0}$ можно рассматривать как «идеальное состояние», положение которого точно известно (любое измерение положения всегда возвращает собственное значение $x_{0}$). Следовательно, по принципу неопределенности об импульсе такого состояния ничего не известно.

Три измерения

Обобщение на три измерения является простым.

Волновая функция пространства-времени теперь равна $\psi (\mathbf {r} ,t)$ и математическое ожидание оператора позиции ${\hat {\mathbf {r} }}$ в штате $\psi$ является $$\left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r}$$где интеграл берется по всему пространству. Оператор позиции $$\mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .$$

Импульсное пространство

Обычно в квантовой механике под представлением в импульсном пространстве мы подразумеваем представление состояний и наблюдаемых относительно канонического унитарного импульсного базиса. $$\eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.$$

В импульсном пространстве оператор положения в одном измерении представлен следующим дифференциальным оператором $$\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},$$

где:

• представление оператора положения в базисе импульса естественным образом определяется формулой $\left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}$, для каждой волновой функции (умеренное распределение) $\psi$;
• $\mathrm {p}$ представляет собой координатную функцию на линии импульса и функцию волнового вектора $\mathrm {k}$ определяется $\mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar$.

Формализм в L ² ( Р , С )

Рассмотрим, например, случай бесспиновой частицы, движущейся в одном пространственном измерении (т.е. по прямой). Пространство состояний такой частицы содержит L ² -пространство ( гильбертово пространство ) $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ комплекснозначных интегрируемых с и квадратом (относительно меры Лебега ) функций на действительной прямой .

Оператор позиции в $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$, $$Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,$$поточечно определяется:

$$Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),$$для каждого поточечно определенного квадратично интегрируемого класса $\psi \in D_{Q}$ и для каждого действительного числа x с доменом $$D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},$$где $\mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ это функция координат, отправляющая каждую точку $x\in \mathbb {R}$ самому себе.

Поскольку все непрерывные функции с компактным носителем лежат в $D_{Q}$, Q определен плотно . Q , будучи просто умножением на x , является самосопряженным оператором , таким образом удовлетворяя требованию квантовомеханической наблюдаемой.

Непосредственно из определения мы можем вывести, что спектр состоит из всей вещественной линии и что Q имеет чисто непрерывный спектр , поэтому не имеет дискретных собственных значений .

Трехмерный случай определяется аналогично. В дальнейшем обсуждении мы будем придерживаться одномерного предположения.

Теория измерений в L ² ( Р , С )

Как и в случае с любой квантовомеханической наблюдаемой , чтобы обсудить измерение положения , нам необходимо вычислить спектральное разрешение оператора положения. $$X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi$$который $$X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),$$где $\mu _{X}$ – так называемая спектральная мера оператора положения.

Поскольку оператор $X$ это просто оператор умножения на функцию встраивания $\mathrm {x}$, его спектральное разрешение простое.

Для подмножества Бореля $B$ действительной линии, пусть $\chi _{B}$ обозначим функцию индикаторную $B$. Мы видим, что проекционная мера $$\mu _{X}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathrm {Pr} ^{\perp }\left(L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\right)$$дается $$\mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,$$ т. е. ортогональная проекция $\mu _{X}(B)$ – оператор умножения на индикаторную функцию $B$.

Поэтому, если система подготовлена ​​в состоянии $\psi$, то вероятность принадлежности измеренного положения частицы борелевскому множеству $B$ является $$\|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),$$где $\mu$ – мера Лебега на действительной прямой.

После любого измерения, направленного на обнаружение частицы в подмножестве B, волновая функция схлопывается либо до $${\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}$$или $${\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},$$где $\|\cdot \|$ является нормой гильбертова пространства на $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$.

См. также

• Пространство положения и импульса
• Оператор импульса
• Оператор перевода (квантовая механика)