Квантовая государственная дискриминация

Термин «дискриминация квантовых состояний» в совокупности относится к методам квантовой информатики, с помощью которых, выполнив небольшое количество измерений физической системы, можно идентифицировать ее конкретное квантовое состояние. И это при условии, что набор состояний, в которых может находиться система, известен заранее, и нам нужно лишь определить, в каком именно. Это предположение отличает подобные методы от квантовой томографии, которая не накладывает дополнительных требований к состоянию системы, но требует во много раз больше измерений.

Если множество состояний, в которых может находиться исследуемая система, представлено ортогональными векторами, ситуация особенно проста. Чтобы однозначно определить состояние системы, достаточно провести квантовое измерение в базисе, образованном этими векторами. Тогда данное квантовое состояние можно безошибочно идентифицировать по измеренному значению. Более того, можно легко показать, что если отдельные состояния не ортогональны друг другу, невозможно с уверенностью отличить их друг от друга. Поэтому в таком случае всегда необходимо учитывать возможность неправильного или неубедительного определения состояния системы. Однако существуют методы, которые пытаются устранить этот недостаток. За исключением этих методов, эти методы можно разделить на две группы: те, которые основаны на минимизации ошибок, и те, которые позволяют однозначно определять состояние в обмен на меньшую эффективность.

Первая группа техник основана на работах Карла В. Хелстрома 60-70-х годов 20 века. ^[1] и в своей основной форме состоит в реализации проективного квантового измерения, где операторы измерения являются проективными представлениями. Вторая группа основана на выводах научной статьи, опубликованной И.Д. Ивановичем в 1987 г. ^[2] и требует использования обобщенного измерения, при котором в качестве операторов измерения принимаются элементы множества ПОВМ. Обе группы методов в настоящее время являются предметом активных, прежде всего теоретических, исследований и, за исключением ряда частных случаев, не существует общего решения, позволяющего выбирать операторы измерения в виде выразимых аналитических формул.

Точнее, в стандартной постановке задача предполагает выполнение некоторого POVM. $(E_{i})_{i}$ в заданном неизвестном состоянии $\rho$ , под обещание, что полученное состояние является элементом совокупности состояний $\{\sigma _{i}\}_{i}$ , с $\sigma _{i}$ происходит с вероятностью $p_{i}$ , то есть, $\rho =\sum _{i}p_{i}\sigma _{i}$ . Затем задача состоит в том, чтобы найти вероятность POVM. $(E_{i})_{i}$ правильно угадав, какое состояние было получено. Поскольку вероятность того, что POVM вернет $i$ -й исход, когда данное состояние было $\sigma _{j}$ имеет форму ${\text{Prob}}(i|j)=\operatorname {tr} (E_{i}\sigma _{j})$ , то вероятность успешного определения правильного состояния равна $P_{\rm {success}}=\sum _{i}p_{i}\operatorname {tr} (\sigma _{i}E_{i})$ . ^[3]^[4]

Измерение Хелстрема

Дискриминацию двух состояний можно оптимально решить с помощью измерения Хелстрома . ^[5] С двумя государствами $\{\sigma _{0},\sigma _{1}\}$ приходят две вероятности $\{p_{0},p_{1}\}$ и ПОВМ $\{E_{0},E_{1}\}$ . С $\sum _{i}E_{i}=I$ для всех POVM, $E_{1}=I-E_{0}$ . Итак, вероятность успеха равна:

{\begin{aligned}P_{\text{success}}&=p_{0}\operatorname {tr} (\sigma _{0}E_{0})+p_{1}\operatorname {tr} (\sigma _{1}E_{1})\\&=p_{0}\operatorname {tr} (\sigma _{0}E_{0})+p_{1}\operatorname {tr} (\sigma _{1}I-\sigma _{1}E_{0})\\&=p_{1}+\operatorname {tr} [(p_{0}\sigma _{0}-p_{1}\sigma _{1})E_{0}]\end{aligned}}

Чтобы максимизировать вероятность успеха, трассировку необходимо максимизировать . Это достигается, когда $E_{0}$ является проектором в положительное собственное пространство $p_{0}\sigma _{0}-p_{1}\sigma _{1}$ , ^[5] а максимальная вероятность успеха определяется выражением

P_{\text{success}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\|p_{0}\sigma _{0}-p_{1}\sigma _{1}\|_{1},

где $\|\cdot \|_{1}$ обозначает норму следа .

Дискриминация между несколькими состояниями

Если задача состоит в том, чтобы различать более двух квантовых состояний, не существует общей формулы для оптимального POVM и вероятности успеха. Тем не менее, оптимальная вероятность успеха для задачи различения элементов данного ансамбля $\{(p_{i},\sigma _{i})\}_{i=1}^{N}$ , всегда можно записать как ^[4] $P_{\rm {success}}=\max _{\{E_{i}\}}\sum _{i}p_{i}\operatorname {tr} (E_{i}\sigma _{i}).$ Это получается, если учесть, что $p_{i}$ это априорная вероятность получения $i$ -ое состояние, и $\operatorname {tr} (E_{i}\sigma _{i})$ это вероятность (правильно) угадать, что входные данные будут $\sigma _{i}$ , при условии, что он действительно получил состояние $\sigma _{i}$ .

Хотя этому выражению в общем случае нельзя придать явный вид, его можно решить численно с помощью полуопределенного программирования . ^[4] Альтернативный подход к различению заданного ансамбля состояний заключается в использовании так называемого довольно хорошего измерения (PGM), также известного как измерение квадратного корня . Это альтернативная стратегия дискриминации, которая в целом не является оптимальной, но все же может показать, что она работает довольно хорошо. ^[6]

Ссылки

^ Хелстром, Карл В. (1976). Квантовая теория обнаружения и оценки . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-340050-5 . OCLC 316552953 .
^ Иванович, И.Д. (август 1987 г.). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. 123 (6): 257–259. Бибкод : 1987PhLA..123..257I . дои : 10.1016/0375-9601(87)90222-2 . ISSN 0375-9601 .
^ Пэ, Джуну; Квек, Леонг-Чуан (2015). «Квантовая государственная дискриминация и ее приложения». Физический журнал A: Математический и теоретический . 48 (8): 083001. arXiv : 1707.02571 . Бибкод : 2015JPhA...48h3001B . дои : 10.1088/1751-8113/48/8/083001 . S2CID 119199057 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Уотрус, Джон (26 апреля 2018 г.). Теория квантовой информации . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316848142 . ISBN 978-1-316-84814-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Барнетт, Стивен М.; Крок, Сара (2009). «Квантовая государственная дискриминация». Адв. Опция Фотон . 1 (8): 238–278. arXiv : 0810.1970 . Бибкод : 2009AdOP....1..238B . дои : 10.1364/AOP.1.000238 . S2CID 15398601 .
^ Монтанаро, Эшли (2007). «О различимости случайных квантовых состояний». Коммун. Математика. Физ . 273 (3): 619–636. arXiv : Quant-ph/0607011 . Бибкод : 2007CMaPh.273..619M . дои : 10.1007/s00220-007-0221-7 . S2CID 12516161 .

Внешние ссылки

Интерактивная демонстрация дискриминации квантовых состояний

[helstrom-1] Хелстром, Карл В. (1976). Квантовая теория обнаружения и оценки . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-340050-5 . OCLC 316552953 .

[ivanovic-2] Иванович, И.Д. (август 1987 г.). «Как различать неортогональные состояния». Буквы по физике А. 123 (6): 257–259. Бибкод : 1987PhLA..123..257I . дои : 10.1016/0375-9601(87)90222-2 . ISSN 0375-9601 .

[3] Пэ, Джуну; Квек, Леонг-Чуан (2015). «Квантовая государственная дискриминация и ее приложения». Физический журнал A: Математический и теоретический . 48 (8): 083001. arXiv : 1707.02571 . Бибкод : 2015JPhA...48h3001B . дои : 10.1088/1751-8113/48/8/083001 . S2CID 119199057 .

[:0-4] Jump up to: ^а ^б ^с Уотрус, Джон (26 апреля 2018 г.). Теория квантовой информации . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781316848142 . ISBN 978-1-316-84814-2 .

[BC09-5] Jump up to: ^а ^б Барнетт, Стивен М.; Крок, Сара (2009). «Квантовая государственная дискриминация». Адв. Опция Фотон . 1 (8): 238–278. arXiv : 0810.1970 . Бибкод : 2009AdOP....1..238B . дои : 10.1364/AOP.1.000238 . S2CID 15398601 .

[AM06-6] Монтанаро, Эшли (2007). «О различимости случайных квантовых состояний». Коммун. Математика. Физ . 273 (3): 619–636. arXiv : Quant-ph/0607011 . Бибкод : 2007CMaPh.273..619M . дои : 10.1007/s00220-007-0221-7 . S2CID 12516161 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]