Лемма Дугласа

В теории операторов , области математики, лемма Дугласа связывает факторизацию , включение диапазона и мажорирование операторов гильбертового пространства . Обычно его приписывают Рональду Г. Дугласу , хотя Дуглас признает, что некоторые аспекты результата, возможно, уже были известны. Формулировка результата следующая:

Теорема : Если $A$ и $B$ являются ограниченными операторами в гильбертовом пространстве $H$, следующие эквивалентны:

1. $\operatorname {range} A\subseteq \operatorname {range} B$
2. $AA^{*}\leq \lambda ^{2}BB^{*}$ для некоторых $\lambda \geq 0$
3. Существует ограниченный оператор $C$ на $H$ такой, что $A=BC$.

Более того, если выполнены эти эквивалентные условия, то существует единственный оператор $C$ такой, что

• $\Vert C\Vert ^{2}=\inf\{\mu :\,AA^{*}\leq \mu BB^{*}\}$
• $\ker A=\ker C$
• $\operatorname {range} C\subseteq {\overline {\operatorname {range} B^{*}}}$.

Обобщение леммы Дугласа для неограниченных операторов в банаховом пространстве было доказано Форо (2014).

См. также

• Позитивный оператор