Группа конвергенции

В математике группа сходимости или дискретная группа сходимости — это группа $\Gamma$ действуя гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве $M$ способом, обобщающим свойства действия клейниевой группы преобразованиями Мёбиуса на идеальной границе $\mathbb {S} ^{2}$ гиперболического трехмерного пространства $\mathbb {H} ^{3}$ .Понятие группы конвергенции было введено Герингом и Мартином (1987). ^[1] и с тех пор нашел широкое применение в геометрической топологии , квазиконформном анализе и геометрической теории групп .

Формальное определение

Позволять $\Gamma$ группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве $M$ . Это действие называется действием сходимости или дискретным действием сходимости (и тогда $\Gamma$ называется группой сходимости или дискретной группой сходимости для этого действия), если для любой бесконечной различной последовательности элементов $\gamma _{n}\in \Gamma$ существует подпоследовательность $\gamma _{n_{k}},k=1,2,\dots$ и баллы $a,b\in M$ такие, что карты $\gamma _{n_{k}}{\big |}_{M\setminus \{a\}}$ сходятся равномерно на компактных подмножествах к постоянной отправке карт $M\setminus \{a\}$ к $b$ . Здесь сходимость равномерно на компактных подмножествах означает, что для каждой открытой окрестности $U$ из $b$ в $M$ и каждый компакт $K\subset M\setminus \{a\}$ существует индекс $k_{0}\geq 1$ такой, что для каждого $k\geq k_{0},$ $\gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U$ . Обратите внимание, что «поляки» $a,b\in M$ связанный с подпоследовательностью $\gamma _{n_{k}}$ не обязаны быть различимыми.

Переформулировка в терминах действия на различных тройках

Приведенное выше определение группы сходимости допускает полезную эквивалентную переформулировку в терминах действия $\Gamma$ на «пространстве различных троек» $M$ .Для набора $M$ обозначать $\Theta (M):=M^{3}\setminus \Delta (M)$ , где $\Delta (M)=\{(a,b,c)\in M^{3}\mid \#\{a,b,c\}\leq 2\}$ . Набор $\Theta (M)$ называется «пространством различных троек» для $M$ .

Тогда известно, что имеет место следующая эквивалентность: ^[2]

Позволять $\Gamma$ группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве $M$ минимум с двумя баллами. Тогда это действие является дискретным действием сходимости тогда и только тогда, когда индуцированное действие $\Gamma$ на $\Theta (M)$ является правильно прерывистым .

Примеры

Действие клейнианской группы $\Gamma$ на $\mathbb {S} ^{2}=\partial \mathbb {H} ^{3}$ преобразованиями Мёбиуса является действием группы сходимости.
Действие словесно-гиперболической группы $G$ путем сдвигов на его идеальной границе $\partial G$ является групповым действием сходимости.
Действие относительно гиперболической группы $G$ путем переводов на границе Боудича $\partial G$ является групповым действием сходимости.
Позволять $X$ — собственное геодезическое громовско-гиперболическое метрическое пространство и пусть $\Gamma$ быть группой, действующей правильно разрывно изометриями на $X$ . Тогда соответствующее граничное действие $\Gamma$ на $\partial X$ является дискретным действием сходимости (лемма 2.11 из ^[2]).

Классификация элементов в группах сходимости

Позволять $\Gamma$ группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве $M$ хотя бы с тремя точками, и пусть $\gamma \in \Gamma$ . Тогда известно (лемма 3.1 в ^[2] или лемма 6.2 в ^[3]), что происходит ровно одно из следующих событий:

(1) Элемент $\gamma$ имеет конечный порядок в $\Gamma$ ; в этом случае $\gamma$ называется эллиптическим .

(2) Элемент $\gamma$ имеет бесконечный порядок в $\Gamma$ и фиксированный набор $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ это одна точка; в этом случае $\gamma$ называется параболическим .

(3) Элемент $\gamma$ имеет бесконечный порядок в $\Gamma$ и фиксированный набор $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ состоит из двух отдельных точек; в этом случае $\gamma$ называется локсодромным .

Более того, для каждого $p\neq 0$ элементы $\gamma$ и $\gamma ^{p}$ иметь тот же тип. Также в случаях (2) и (3) $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\operatorname {Fix} _{M}(\gamma ^{p})$ (где $p\neq 0$ ) и группа $\langle \gamma \rangle$ действует правильно прерывисто на $M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ . Кроме того, если $\gamma$ является локсодромным, то $\langle \gamma \rangle$ действует правильно разрывно и кокомпактно на $M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ .

Если $\gamma \in \Gamma$ является параболическим с неподвижной точкой $a\in M$ тогда для каждого $x\in M$ у одного есть $\lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a$ Если $\gamma \in \Gamma$ является локсодромным, то $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )$ можно записать как $\operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}$ так что для каждого $x\in M\setminus \{a_{-}\}$ у одного есть $\lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{+}$ и для каждого $x\in M\setminus \{a_{+}\}$ у одного есть $\lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}$ , и эти сходимости равномерны на компактных подмножествах $M\setminus \{a_{-},a_{+}\}$ .

Равномерные группы сходимости

Дискретное сходящееся действие группы $\Gamma$ на компактном метризуемом пространстве $M$ называется равномерным (в этом случае $\Gamma$ называется равномерной группой сходимости ), если действие $\Gamma$ на $\Theta (M)$ является кокомпактным . Таким образом $\Gamma$ является равномерной группой сходимости тогда и только тогда, когда ее действие на $\Theta (M)$ является одновременно собственно разрывным и кокомпактным.

Конические предельные точки

Позволять $\Gamma$ действовать на компактном метризуемом пространстве $M$ как дискретная группа сходимости. точка $x\in M$ называется конической предельной точкой (иногда также называемой радиальной предельной точкой или точкой аппроксимации ), если существует бесконечная последовательность различных элементов $\gamma _{n}\in \Gamma$ и отдельные точки $a,b\in M$ такой, что $\lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a$ и для каждого $y\in M\setminus \{x\}$ у одного есть $\lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b$ .

Важный результат Тукиа , ^[4] также независимо получено Боудичем , ^[2]^[5] говорится:

Дискретное групповое действие сходимости группы $\Gamma$ на компактном метризуемом пространстве $M$ является равномерным тогда и только тогда, когда каждая неизолированная точка $M$ является конической предельной точкой.

Слово-гиперболические группы и их границы

Это уже заметил Громов. ^[6] что естественное действие переводов словесно-гиперболической группы $G$ на его границе $\partial G$ является равномерным действием сходимости (см. ^[2] для формального доказательства). Боудич ^[5] доказал важное обратное, получив таким образом топологическую характеристику словесно-гиперболических групп:

Теорема. Позволять $G$ действовать как дискретная равномерная группа сходимости на компактном метризуемом пространстве $M$ без изолированных точек. Затем группа $G$ является словесно-гиперболическим и существует $G$ -эквивариантный гомеоморфизм $M\to \partial G$ .

Сходящиеся действия на окружности

Изометрическое действие группы $G$ на гиперболической плоскости $\mathbb {H} ^{2}$ называется геометрическим, если это действие собственно разрывно и кокомпактно. Каждое геометрическое действие $G$ на $\mathbb {H} ^{2}$ индуцирует равномерное сходимость $G$ на $\mathbb {S} ^{1}=\partial H^{2}\approx \partial G$ .Важный результат Тукиа (1986): ^[7] Габай (1992), ^[8] Кассон-Юнгрейс (1994), ^[9] и мир (1995) ^[10] показывает, что справедливо и обратное:

Теорема. Если $G$ — группа, действующая как дискретная равномерная группа сходимости на $\mathbb {S} ^{1}$ то это действие топологически сопряжено действию, индуцированному геометрическим действием $G$ на $\mathbb {H} ^{2}$ по изометриям.

Обратите внимание, что всякий раз, когда $G$ действует геометрически на $\mathbb {H} ^{2}$ , группа $G$ является практически гиперболической поверхностной группой, т.е. $G$ содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе замкнутой гиперболической поверхности.

Действия конвергенции на 2-сфере

Одна из эквивалентных переформулировок гипотезы Кэннона , первоначально сформулированная Джеймсом В. Кэнноном в терминах словесно-гиперболических групп с границами, гомеоморфными $\mathbb {S} ^{2}$ , ^[11] говорит, что если $G$ — группа, действующая как дискретная равномерная группа сходимости на $\mathbb {S} ^{2}$ то это действие топологически сопряжено действию, индуцированному геометрическим действием $G$ на $\mathbb {H} ^{3}$ по изометриям. Эта гипотеза до сих пор остается открытой.

Приложения и дальнейшие обобщения

Яман дал характеристику относительно гиперболических групп с точки зрения действий сходимости: ^[12] обобщая характеристику словесно-гиперболических групп Боудича как групп равномерной сходимости.
Можно рассмотреть более общие варианты групповых действий со «свойством сходимости» без предположения дискретности. ^[13]
Наиболее общая версия понятия отображения Кэннона–Терстона , первоначально определенная в контексте клейнианских и словесно-гиперболических групп, может быть определена и изучена в контексте постановки групп сходимости. ^[14]

Ссылки

^ Геринг, ФРВ; Мартин, Дж.Дж. (1987). «Дискретные квазиконформные группы I». Труды Лондонского математического общества . 55 (2): 331–358. дои : 10.1093/plms/s3-55_2.331 . hdl : 2027.42/135296 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Боудич, Б.Х. (1999). «Группы конвергенции и конфигурационные пространства». Геометрическая теория групп (Канберра, 1996) . Де Грютер Труды по математике. де Грюйтер, Берлин. стр. 23–54. дои : 10.1515/9783110806861.23 . ISBN 9783110806861 .
^ Боудич, Б.Х. (1999). «Древовидные структуры, возникающие из континуумов и групп конвергенции». Мемуары Американского математического общества . 139 (662). дои : 10.1090/memo/0662 .
^ Тукиа, Пекка (1998). «Конические предельные точки и равномерные группы сходимости». Журнал чистой и прикладной математики . 1998 (501): 71-98. дои : 10.1515/crll.1998.081 .
^ Jump up to: ^а ^б Боудич, Брайан Х. (1998). «Топологическая характеристика гиперболических групп» . Журнал Американского математического общества . 11 (3): 643–667. дои : 10.1090/S0894-0347-98-00264-1 .
^ Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки по теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 8. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 75–263. дои : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 . ISBN 0-387-96618-8 . МР 0919829 .
^ Тукиа, Пекка (1986). «О квазиконформных группах». Журнал математического анализа . 46 : 318–346. дои : 10.1007/BF02796595 .
^ Габай, Дэвис (1992). «Группы сходимости являются фуксовыми группами» . Анналы математики . Вторая серия. 136 (3): 447–510. дои : 10.2307/2946597 . JSTOR 2946597 .
^ Кассон, Эндрю; Юнгрейс, Дуглас (1994). «Группы сходимости и расслоенные трехмерные многообразия Зейферта». Математические изобретения . 118 (3): 441–456. Бибкод : 1994InMat.118..441C . дои : 10.1007/BF01231540 .
^ Фреден, Эрик М. (1995). «Группы отрицательной кривизны обладают свойством сходимости I» (PDF) . Annales Academiae Scientiarum Fennicae . Серия А. 20 (2): 333–348 . Проверено 12 сентября 2022 г.
^ Кэннон, Джеймс В. (1991). «Теория отрицательно искривленных пространств и групп» (PDF) . Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства (Триест, 1989) . Оксфордская наука. Публикация, Оксфордский университет. Пресс, Нью-Йорк. стр. 315–369 . Проверено 12 сентября 2022 г.
^ Яман, Асли (2004). «Топологическая характеристика относительно гиперболических групп». Журнал чистой и прикладной математики . 2004 (566): 41–89. дои : 10.1515/crll.2004.007 .
^ Герасимов, Виктор (2009). «Расширенные группы конвергенции относительно гиперболичны». Геометрический и функциональный анализ . 19 (1): 137–169. дои : 10.1007/s00039-009-0718-7 .
^ Чон, Уджин; Капович, Илья ; Лейнингер, Кристофер; Ошика, Кеничи (2016). «Конические предельные точки и карта Кэннона-Тёрстона» . Конформная геометрия и динамика . 20 (4): 58–80. arXiv : 1401.2638 . дои : 10.1090/ecgd/294 .

[1] Геринг, ФРВ; Мартин, Дж.Дж. (1987). «Дискретные квазиконформные группы I». Труды Лондонского математического общества . 55 (2): 331–358. дои : 10.1093/plms/s3-55_2.331 . hdl : 2027.42/135296 .

[Bow-config-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Боудич, Б.Х. (1999). «Группы конвергенции и конфигурационные пространства». Геометрическая теория групп (Канберра, 1996) . Де Грютер Труды по математике. де Грюйтер, Берлин. стр. 23–54. дои : 10.1515/9783110806861.23 . ISBN 9783110806861 .

[3] Боудич, Б.Х. (1999). «Древовидные структуры, возникающие из континуумов и групп конвергенции». Мемуары Американского математического общества . 139 (662). дои : 10.1090/memo/0662 .

[4] Тукиа, Пекка (1998). «Конические предельные точки и равномерные группы сходимости». Журнал чистой и прикладной математики . 1998 (501): 71-98. дои : 10.1515/crll.1998.081 .

[Bow-topol-5] Jump up to: ^а ^б Боудич, Брайан Х. (1998). «Топологическая характеристика гиперболических групп» . Журнал Американского математического общества . 11 (3): 643–667. дои : 10.1090/S0894-0347-98-00264-1 .

[6] Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки по теории групп . Публикации НИИ математических наук. Том. 8. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 75–263. дои : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 . ISBN 0-387-96618-8 . МР 0919829 .

[7] Тукиа, Пекка (1986). «О квазиконформных группах». Журнал математического анализа . 46 : 318–346. дои : 10.1007/BF02796595 .

[8] Габай, Дэвис (1992). «Группы сходимости являются фуксовыми группами» . Анналы математики . Вторая серия. 136 (3): 447–510. дои : 10.2307/2946597 . JSTOR 2946597 .

[9] Кассон, Эндрю; Юнгрейс, Дуглас (1994). «Группы сходимости и расслоенные трехмерные многообразия Зейферта». Математические изобретения . 118 (3): 441–456. Бибкод : 1994InMat.118..441C . дои : 10.1007/BF01231540 .

[10] Фреден, Эрик М. (1995). «Группы отрицательной кривизны обладают свойством сходимости I» (PDF) . Annales Academiae Scientiarum Fennicae . Серия А. 20 (2): 333–348 . Проверено 12 сентября 2022 г.

[11] Кэннон, Джеймс В. (1991). «Теория отрицательно искривленных пространств и групп» (PDF) . Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства (Триест, 1989) . Оксфордская наука. Публикация, Оксфордский университет. Пресс, Нью-Йорк. стр. 315–369 . Проверено 12 сентября 2022 г.

[12] Яман, Асли (2004). «Топологическая характеристика относительно гиперболических групп». Журнал чистой и прикладной математики . 2004 (566): 41–89. дои : 10.1515/crll.2004.007 .

[13] Герасимов, Виктор (2009). «Расширенные группы конвергенции относительно гиперболичны». Геометрический и функциональный анализ . 19 (1): 137–169. дои : 10.1007/s00039-009-0718-7 .

[14] Чон, Уджин; Капович, Илья ; Лейнингер, Кристофер; Ошика, Кеничи (2016). «Конические предельные точки и карта Кэннона-Тёрстона» . Конформная геометрия и динамика . 20 (4): 58–80. arXiv : 1401.2638 . дои : 10.1090/ecgd/294 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]