Неевклидова геометрия

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии

В математике аксиомах неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на , тесно связанных с теми, которые определяют евклидову геометрию . Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо в результате замены постулата параллельности альтернативой, либо в результате ослабления метрического требования. В первом случае получаются гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. связаны аффинные плоскости Когда метрические требования ослаблены, с планарными алгебрами , которые приводят к кинематической геометрии , которую также называют неевклидовой геометрией.

Принципы

Существенное различие между метрическими геометриями заключается в природе параллельных линий. Пятый постулат Евклида , постулат параллельности , эквивалентен постулату Плейфэра , который утверждает, что в двумерной плоскости для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , существует ровно одна прямая, проходящая через A. который не пересекает l . В гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечно много прямых, проходящих через A , не пересекающих l , тогда как в эллиптической геометрии любая прямая, проходящая через A , пересекает l .

Другой способ описать различия между этими геометриями — рассмотреть две прямые линии, бесконечно протяженные в двумерной плоскости, которые обе перпендикулярны третьей линии (в той же плоскости):

• В евклидовой геометрии линии остаются на постоянном расстоянии друг от друга (это означает, что линия, проведенная перпендикулярно одной линии в любой точке, будет пересекать другую линию, а длина отрезка, соединяющего точки пересечения, остается постоянной) и известны как параллели.
• В гиперболической геометрии они «отклоняются» друг от друга, увеличиваясь в расстоянии по мере удаления от точек пересечения с общим перпендикуляром; эти линии часто называют ультрапараллелями .
• В эллиптической геометрии линии «изгибаются» друг к другу и пересекаются.

История

Смотрите также: Евклидова геометрия § История , История геометрии и Гиперболическая геометрия § История.

Предыстория

Евклидова геометрия , названная в честь греческого математика Евклида , включает в себя некоторые из старейших известных математических вычислений, а геометрии, которые отклонялись от нее, не были широко признаны законными до 19 века.

Дебаты, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии, начались почти сразу после того, как Евклид написал «Начала» . В «Началах» Евклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пяти общих понятий и пяти постулатов) и стремится доказать все остальные результаты ( предложения ) в работе. Самый известный из постулатов часто называют «Пятым постулатом Евклида», или просто параллельным постулатом , который в оригинальной формулировке Евклида звучит так:

Если прямая падает на две прямые так, что внутренние углы одной и той же стороны вместе меньше двух прямых углов, то прямые, если производить их бесконечно, пересекутся на той стороне, на которой углы меньше двух прямых. два прямых угла.

Другие математики разработали более простые формы этого свойства. Однако независимо от формы постулата он неизменно оказывается более сложным, чем другие постулаты Евклида :

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
2. Производить [продлевать] конечную прямую линию непрерывно по прямой.
3. Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом].
4. Что все прямые углы равны между собой.

По крайней мере тысячу лет геометры были обеспокоены несопоставимой сложностью пятого постулата и полагали, что его можно доказать как теорему, основанную на четырех других постулатах. Многие пытались найти доказательство от противного , в том числе Ибн аль-Хайсам (Альхазен, 11 век), Омар Хайям (12 век), Насир ад-Дин ат-Туси (13 век) и Джованни Джироламо Саккери (18 век).

Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери , были «первыми несколькими теоремами гиперболической и эллиптической геометрии ». Эти теоремы вместе с альтернативными им постулатами, такими как аксиома Плейфэра , сыграли важную роль в более позднем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело , Леви бен Герсона , Альфонсо , Джона Уоллиса и Саккери. Однако все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию давали ошибочные доказательства постулата параллельности, зависящие от предположений, которые теперь признаны по существу эквивалентными постулату параллельности. Однако эти ранние попытки предоставили некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрии.

Хайям, например, пытался вывести его из эквивалентного постулата, сформулированного им из «Принципов Философа» ( Аристотеля ): «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в том направлении, в котором они сходиться». Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них он правильно опроверг тупой и острый случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат. Евклида, который, как он не осознавал, был эквивалентен его собственному постулату. Другой пример - сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), который в 1298 году написал книгу на эту тему, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой представил другую гипотезу, эквивалентную постулату о параллельности. . «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами, в том числе Саккери. который критиковал эту работу, а также работу Уоллиса.

Джордано Витале в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены от основания AB и вершины CD, то AB и CD везде равноудалены.

В работе под названием Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( «Евклид, свободный от всех недостатков »), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и приступил к работе, доказывая большое количество результатов по гиперболической геометрии.

В конце концов он достиг точки, когда поверил, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, похоже, было основано на евклидовых предпосылках, поскольку никакого логического в нем не было противоречия. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не осознал ее.

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал «Теорию параллелизма» , в которой попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, ныне известной как четырехугольник Ламберта , четырехугольник с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается по мере уменьшения площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Дальше он эту идею не развивал.

В то время широко распространено мнение, что Вселенная действует в соответствии с принципами евклидовой геометрии.

неевклидовой

Начало XIX века, наконец, стало свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 года Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт. разработали основные идеи неевклидовой геометрии, но не опубликовали никаких результатов. Племянник Швейкарта Франц Тауринус опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он все же верил в особую роль евклидовой геометрии.

Затем в 1829–1830 гг. русский математик Николай Иванович Лобачевский и в 1832 г. венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическую геометрию называют геометрией Лобачевского или геометрией Бояи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бояи, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую ​​геометрию несколько лет назад: хотя он не публиковался. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бояи разработал геометрию, в которой в зависимости от параметра k возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия . Бояи заканчивает свою работу упоминанием, что невозможно решить только с помощью математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.

Бернхард Риман в знаменитой лекции 1854 года основал область римановой геометрии , обсуждая, в частности, идеи, ныне называемые многообразиями , римановой метрикой и кривизной . Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, дав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве . Самая простая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия параллельных линий.

Сформулировав геометрию в терминах тензора кривизны , Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.

Терминология

Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского . Некоторые современные авторы до сих пор используют общий термин «неевклидова геометрия» для обозначения гиперболической геометрии .

Артур Кейли отметил, что расстояние между точками внутри конуса можно определить с помощью логарифма и функции проективного перекрестного отношения . Этот метод стал называться метрикой Кэли – Клейна, потому что Феликс Кляйн использовал его для описания неевклидовой геометрии в статьях. в 1871 и 1873 годах, а затем в виде книги. Метрики Кэли-Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрической геометрии, а также евклидовой геометрии.

Клейну принадлежат термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он называл евклидову геометрию параболической — термин, вообще вышедший из употребления). ). Его влияние привело к нынешнему использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.

Есть математики, которые различными способами расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовыми».

Существует много видов геометрии, которые сильно отличаются от евклидовой геометрии, но также не обязательно входят в общепринятое значение «неевклидовой геометрии», например, более общие примеры римановой геометрии .

Аксиоматические основы неевклидовой геометрии

Евклидову геометрию можно аксиоматически описать несколькими способами. Однако первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, поскольку его доказательства опирались на несколько невысказанных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом. наиболее точно следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают одну и ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида — постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, в то время как Биркгоф , например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара подобных, но не конгруэнтных треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, приводит к созданию абсолютной геометрии . Поскольку первые 28 положений Евклида (в «Началах» ) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии.

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) необходимо заменить его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (... существует одно и только одно...), может быть выполнено двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет существовать прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменив постулат о параллельности (или его эквивалент) утверждением «На плоскости, для данной точки P и прямой l , не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с l » и сохраняя все остальные аксиомы дают гиперболическую геометрию .
• Со вторым случаем справиться не так просто. Простая замена постулата о параллельности утверждением: «На плоскости, для которой задана точка P и прямая l , не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с l », не дает непротиворечивого набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но в этом утверждении говорится, что параллельных линий не существует. Эта проблема была известна (в другом обличии) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для отказа от так называемого «случай тупого угла». Чтобы получить согласованный набор аксиом, включающий аксиому об отсутствии параллельных линий, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти изменения приводят к изменению второго постулата Евклида с утверждения о том, что отрезки линий могут быть продлены до бесконечности, на утверждение о том, что линии неограничены. оказывается Римана Эллиптическая геометрия наиболее естественной геометрией, удовлетворяющей этой аксиоме.

Модели

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии в двух измерениях.

На сфере сумма углов треугольника не равна 180°. Поверхность сферы не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности Земли сумма углов почти 180°.

Модели неевклидовой геометрии — это математические модели геометрий, которые являются неевклидовыми в том смысле, что невозможно провести ровно одну линию параллельно данной прямой l через точку, не лежащую на l . В гиперболических геометрических моделях, напротив, проходит бесконечно много прямых, через A параллельных l , а в эллиптических геометрических моделях параллельных линий не существует. см. статьи о гиперболической геометрии и эллиптической геометрии ( Для получения дополнительной информации .)

Евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоской плоскости ». Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (такие как экватор или меридианы на земном шаре ), а точки, противоположные друг другу, идентифицируются (считаются одинаковыми). Псевдосфера имеет соответствующую кривизну для моделирования гиперболической геометрии.

Эллиптическая геометрия

Основная статья: Эллиптическая геометрия

Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (например, экватор или меридианы на земном шаре ), а точки, противоположные друг другу (называемые антиподальными точками ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости . Отличие состоит в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в модели проективной плоскости такая метрика отсутствует.

В эллиптической модели для любой заданной прямой l и точки A , которая не находится на l , все прямые, проходящие через A , будут пересекать l .

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Гиперболическая геометрия

Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бояи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». Ответ на модель гиперболической геометрии предложил Эудженио Бельтрами в 1868 году, который первым показал, что поверхность, называемая псевдосферой , имеет соответствующую кривизну для моделирования части гиперболического пространства , а во второй статье того же года определил модель Клейна , которая моделирует все гиперболическое пространство и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия равносогласованы, так что гиперболическая геометрия была логически непротиворечивой тогда и только тогда, когда евклидова геометрия была таковой. (Обратный вывод следует из модели орисферы евклидовой геометрии.)

В гиперболической модели внутри двумерной плоскости для любой заданной прямой l и точки A , не находящейся на l , существует бесконечно много линий, проходящих через A , которые не пересекают l .

В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это вносит искажение восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь уловкой их изображения.

Трехмерная неевклидова геометрия

Основная статья: геометрия Терстона

В трех измерениях существует восемь моделей геометрии. Существуют евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как и в двумерном случае; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; закрученные версии смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией ). Однако наибольшее внимание исторически уделялось свойствам, отличающим одну геометрию от других.

Помимо упомянутого во введении поведения прямых относительно общего перпендикуляра, мы имеем еще следующее:

• Четырехугольник Ламберта – это четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый, если геометрия гиперболическая, прямой угол , если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• Четырехугольник Саккери — это четырехугольник с двумя сторонами одинаковой длины, обе перпендикулярны стороне, называемой основанием . Два других угла четырехугольника Саккери называются вершинными углами и имеют одинаковую меру. Верхние углы четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
• Сумма углов любого треугольника меньше 180°, если геометрия гиперболическая, равна 180°, если геометрия евклидова, и больше 180°, если геометрия эллиптическая. Дефект . треугольника – это числовое значение (180° – сумма мер углов треугольника) Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положителен, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицательен.

Важность

как Бельтрами, Кляйн и Пуанкаре представили модели неевклидовой плоскости, евклидова геометрия считалась неоспоримой математической моделью пространства До того , . Более того, поскольку сущность предмета синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла собой абсолютный авторитет.

Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за пределы математики и естественных наук. философа Иммануила Канта Особую роль для геометрии сыграл подход к человеческому знанию. Это был его яркий пример синтетического априорного знания; не полученные от чувств и не выведенные с помощью логики — наши знания о пространстве были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика связана с окружающим миром, что стало результатом этой смены парадигмы.

Неевклидова геометрия — пример научной революции в истории науки , в ходе которой математики и учёные изменили взгляды на свои предметы. Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ.

Существование неевклидовой геометрии повлияло на интеллектуальную жизнь викторианской Англии. во многом и в частности был одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе « Начал» Евклида . Этот вопрос учебной программы в то время горячо обсуждался и даже стал темой книги «Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Лютвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автор «Алисы в стране чудес» .

Планарные алгебры

В аналитической геометрии плоскость декартовыми описывается координатами :

$C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$

Точки , иногда обозначаются комплексными числами z = x + yε где ε ² ∈ { –1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε ² = −1 , поскольку модуль z определяется выражением

$zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2}$

и эта величина представляет собой квадрат евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} — единичный круг .

Для планарной алгебры неевклидова геометрия возникает и в остальных случаях. Когда ε ² = +1 , то z — расщепленное комплексное число и традиционно j заменяет эпсилон. Затем

$zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!$

и { г | zz * = 1} — единичная гипербола .

Когда е ² = 0 , то z — двойственное число .

Этот подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в двойственной числовой плоскости и гиперболический угол в расщепленной комплексной плоскости соответствуют углу в евклидовой геометрии. Действительно, каждый из них возникает при полярном разложении комплексного числа z .

Кинематическая геометрия

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике вместе с физической космологией , введенной Германом Минковским такие термины, как мировая линия и собственное время в 1908 году. Минковский ввел в математическую физику . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как пространство . гиперболическое трехмерное Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн нарисовал это подмногообразие с помощью своей «Алгебры физики» и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, расщепленное комплексное число z = e ^{и Дж} может представлять пространственно-временное событие на один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Более того, умножение на z представляет собой усиление Лоренца , отображающее кадр с нулевой скоростью в кадр с быстротой a .

Кинематическое исследование использует двойные числа. $z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,$для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : Уравнения $x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t$ эквивалентны сдвиговому отображению в линейной алгебре:

${\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.$

Для двойственных чисел отображение $t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .$

Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был выдвинут Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, неявную в алгебре комплексных чисел с расщеплением, в синтетическую геометрию посылок. и вычеты.

Художественная литература

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательная история глаз Дэвидсона». Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как противоположные точки в модели эллиптической плоскости определяются на сфере. По сюжету, в разгар грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории технического колледжа Харлоу. В конце истории Дэвидсон оказывается свидетелем того, как HMS Fulmar у острова Антиподов .
• Неевклидову геометрию иногда связывают с влиянием ужасов писателя ХХ века Г. П. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи подчиняются своим уникальным законам геометрии: в «Мифах Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р'лайх характеризуется своей неевклидовой геометрией. Подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку, как говорят, явная врожденная неправильность ее способна свести с ума тех, кто смотрит на нее.
• Главный герой книги Роберта Пирсига « Дзен и искусство обслуживания мотоциклов» упоминал риманову геометрию . неоднократно
• В «Братьях Карамазовых» Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• В романе Кристофера Приста « Перевернутый мир» описывается борьба живущих на планете с формой вращающейся псевдосферы .
• В книге Роберта Хайнлайна «Число зверя» неевклидова геометрия используется для объяснения мгновенного перемещения в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• от Zeno Rogue HyperRogue — это игра в стиле рогалик, действие которой происходит на гиперболической плоскости , что позволяет игроку испытать на себе многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии.
• В сеттинге Renegade Legion научно-фантастическом для возможны военных игр , ролевых игр и художественной литературы FASA путешествия и связь со скоростью, превышающей скорость света, благодаря использованию «Многомерной неевклидовой геометрии» Се Хо, опубликованной где-то в середине 22 век.
• В » Яна Стюарта «Флаттерленде главная героиня Виктория Лайн посещает всевозможные неевклидовы миры.

См. также

• Гиперболическое пространство
• Ленарт сфера
• Проективная геометрия
• Неевклидов поверхностный рост
• Параллельность (геометрия)#В неевклидовой геометрии
• Сферическая геометрия # Связь с аналогичными геометриями

Ссылки

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Афанас , (2012) Заметки по гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, том. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, ISBN   978-3-03719-105-7 , DOI: 10.4171/105 .
• Андерсон, Джеймс В. Гиперболическая геометрия , второе издание, Springer, 2005 г.
• Бельтрами, Эудженио Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны , Анналы. мат., сер II 2 (1868), 232–255.
• Блюменталь, Леонард М. (1980), Современный взгляд на геометрию , Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-63962-2
• Кэрролл, Льюис Евклид и его современные соперники , Нью-Йорк: Barnes and Noble, 2009 (переиздание) ISBN   978-1-4351-2348-9
• HSM Coxeter (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press , переиздано в 1998 году Математической ассоциацией Америки , ISBN   0-88385-522-4 .
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN  0-8247-1748-1
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидовы, неевклидовы и релятивистские , 2-е издание, Clarendon Press .
• Гринберг, Марвин Джей Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история , 4-е изд., Нью-Йорк: WH Freeman, 2007. ISBN   0-7167-9948-0
• Моррис Клайн (1972) Математическая мысль от древних до наших дней , глава 36 «Неевклидова геометрия», стр. 861–81, Oxford University Press .
• Бернард Х. Лавенда , (2012) «Новый взгляд на относительность: одиссея в неевклидовой геометрии», World Scientific , стр. 696, ISBN   9789814340489 .
• Николай Лобачевский (2010) Пангеометрия , переводчик и редактор: А. Пападопулос, Серия «Наследие европейской математики», том. 4, Европейское математическое общество .
• Мэннинг, Генри Паркер (1963), Вводная неевклидова геометрия , Нью-Йорк: Дувр
• Мешковски, Герберт (1964), Неевклидова геометрия , Нью-Йорк: Academic Press.
• Милнор, Джон В. (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. амер. Математика. Соц. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Ричардс, Джоан Л. (1988), Математические видения: стремление к геометрии в викторианской Англии , Бостон: Academic Press, ISBN  0-12-587445-6
• Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.) , Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN  0-534-35188-3
• Стюарт, Ян (2001) Флаттерленд , Нью-Йорк: Perseus Publishing ISBN   0-7382-0675-X (мягкая обложка)
• Джон Стиллвелл (1996) Источники гиперболической геометрии , Американское математическое общество. ISBN   0-8218-0529-0 .
• Трюдо, Ричард Дж. (1987), Неевклидова революция , Бостон: Биркхаузер, ISBN  0-8176-3311-1
• А. Пападопулос и Гийом Тере (2014) Теория параллелей Иоганна Генриха Ламберта , Критическое издание мемуаров Ламберта с французским переводом, с историческими и математическими примечаниями и комментариями под ред. Бланшар, колл. Науки в истории, Париж ISBN   978-2-85367-266-5

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с неевклидовой геометрией, на Викискладе?

• Роберто Бонола (1912) Неевклидова геометрия , Открытый суд, Чикаго.
• Статья из архива MacTutor о неевклидовой геометрии
• Неевклидова геометрия в PlanetMath .
• Неевклидовы геометрии из Математической энциклопедии Европейского математического общества и Springer Science+Business Media.
• Синтетическое пространство-время , сборник использованных аксиом и доказанных теорем Уилсона и Льюиса. Архивировано WebCite .