Голоморфное векторное расслоение

В математике голоморфное векторное расслоение — это комплексное векторное расслоение над комплексным многообразием $X$ что общее пространство $E$ является комплексным многообразием, а отображение проекции $π: E \to X$ голоморфно такое , . Фундаментальными примерами являются голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия и его двойственное голоморфное кокасательное расслоение . Голоморфное линейное расслоение — это голоморфное векторное расслоение ранга один.

Серра Согласно GAGA , категория голоморфных векторных расслоений на гладком комплексном проективном многообразии X (рассматриваемом как комплексное многообразие) эквивалентна категории алгебраических векторных расслоений (т. е. локально свободных пучков конечного ранга) на X .

Определение через тривиализацию [ править ]

В частности, требуется, чтобы отображения тривиализации

\phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}

являются биголоморфными отображениями . Это эквивалентно требованию, чтобы функции перехода

t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )

являются голоморфными отображениями. Голоморфная структура на касательном расслоении комплексного многообразия гарантируется замечанием, что производная (в соответствующем смысле) векторнозначной голоморфной функции сама голоморфна.

Пучок голоморфных сечений [ править ]

Пусть $E$ — голоморфное векторное расслоение. Локальный раздел $s : U \to E | U$ называется голоморфным , если в окрестности каждой точки $U$ он голоморфен в некоторой (эквивалентной любой) тривиализации.

Это условие является локальным, означающим, что голоморфные сечения образуют пучок на $X$ . Этот пучок иногда обозначают ${\mathcal {O}}(E)$ или оскорбительно со $Е.$ стороны Такой пучок всегда локально свободен и имеет тот же ранг, что и ранг векторного расслоения. Если $E$ — тривиальное линейное расслоение ${\underline {\mathbf {C} }},$ то этот пучок совпадает со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ комплексного многообразия $X$ .

Основные примеры [ править ]

Есть линейные пакеты ${\mathcal {O}}(k)$ над $\mathbb {CP} ^{n}$ глобальные сечения которого соответствуют однородным многочленам степени $k$ (для $k$ положительное целое число). В частности, $k=0$ соответствует тривиальному линейному расслоению. Если мы возьмем покрытие $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}$ тогда мы сможем найти графики $\phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}$ определяется

$\phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}$

Мы можем построить функции перехода $\phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ определяется

$\phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)$

Теперь, если мы рассмотрим тривиальный расслоение $L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C}$ мы можем сформировать индуцированные функции перехода $\psi _{i,j}$ . Если мы воспользуемся координатой $z$ на волокне, то мы можем сформировать функции перехода

$\psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)$

для любого целого числа $k$ . Каждый из них связан с линейным пакетом ${\mathcal {O}}(k)$ . Поскольку векторные расслоения обязательно возвращаются назад, любое голоморфное подмногообразие $f:X\to \mathbb {CP} ^{n}$ имеет связанный линейный пакет $f^{*}({\mathcal {O}}(k))$ , иногда обозначаемый ${\mathcal {O}}(k)|_{X}$ .

Операторы Дольбо [ править ]

Предположим, что $E$ — голоморфное векторное расслоение. Тогда есть выдающийся оператор ${\bar {\partial }}_{E}$ определяется следующим образом. В локальной тривиализации $U_{\alpha }$ E $,$ с локальным фреймом $e_{1},\dots ,e_{n}$ , можно написать любой раздел $s=\sum _{i}s^{i}e_{i}$ для некоторых гладких функций $s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C}$ . Определите оператор локально с помощью

{\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}

где ${\bar {\partial }}$ – регулярный оператор Коши–Римана базового многообразия. Этот оператор корректно определен на всем языке $E$ , поскольку при перекрытии двух тривиализаций $U_{\alpha },U_{\beta }$ с голоморфной функцией перехода $g_{\alpha \beta }$ , если $s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}$ где $f_{j}$ является локальным фреймом для $E$ на $U_{\beta }$ , затем $s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}$ , и так

{\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})

поскольку функции перехода голоморфны. Это приводит к следующему определению: оператор Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении. $E\to M$ это $\mathbb {C}$ -линейный оператор

{\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)

такой, что

(условие Коши – Римана) ${\bar {\partial }}_{E}^{2}=0$ ,
(Правило Лейбница) Для любого сечения $s\in \Gamma (E)$ и функция $f$ на $M$ , надо

{\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)

.

Применяя теорему Ньюлендера–Ниренберга , получаем обратную конструкцию оператора Дольбо голоморфного расслоения: ^[1]

Теорема: Дан оператор Дольбо. ${\bar {\partial }}_{E}$ на гладком комплексном векторном расслоении $E$ , существует единственная голоморфная структура на $E$ такой, что ${\bar {\partial }}_{E}$ — ассоциированный оператор Дольбо, построенный выше.

Относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо ${\bar {\partial }}_{E}$ , гладкий участок $s\in \Gamma (E)$ голоморфен тогда и только тогда, когда ${\bar {\partial }}_{E}(s)=0$ . С моральной точки зрения это похоже на определение гладкого или комплексного многообразия как кольцевого пространства . А именно, достаточно указать, какие функции на топологическом многообразии являются гладкими или комплексными, чтобы придать ему гладкую или сложную структуру.

Оператор Дольбо имеет локальный обратный в терминах гомотопического оператора . ^[2]

Пучки форм со значениями в голоморфном векторном расслоении [ править ]

Если ${\mathcal {E}}_{X}^{p,q}$ обозначает пучок $C \infty$ дифференциальные формы типа $(p, q)$ , то пучок форм типа $(p, q)$ со значениями в $E$ можно определить как тензорное произведение

{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.

Эти пучки хороши , а это означает, что они допускают разбиения единицы . Фундаментальное различие между гладкими и голоморфными векторными расслоениями состоит в том, что в последних существует канонический дифференциальный оператор, заданный оператором Дольбо, определенным выше:

{\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).

Когомологии голоморфных векторных расслоений [ править ]

Если $E$ — голоморфное векторное расслоение, когомологии $E$ определяются как пучковые когомологии ${\mathcal {O}}(E)$ . В частности, у нас есть

H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),

пространство глобальных голоморфных сечений $E$ . У нас тоже есть такое $H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))$ параметризует группу расширений тривиального линейного расслоения $X$ с помощью $E$ , то есть точные последовательности голоморфных векторных расслоений $0 \to E \to F \to X \times C \to 0$ . О структуре группы см. также сумму Бэра и расширение пучка .

По теореме Дольбо эти пучковые когомологии можно альтернативно описать как когомологии цепного комплекса , определяемого пучками форм со значениями в голоморфном расслоении. $E$ . А именно у нас есть

H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).

Группа Пикарда [ править ]

В контексте комплексной дифференциальной геометрии группа Пикара $Pic(X)$ комплексного многообразия $X$ представляет собой группу классов изоморфизма голоморфных линейных расслоений с групповым законом, заданным тензорным произведением, и инверсией, заданной дуализацией. Ее можно эквивалентно определить как первую группу когомологий. $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ пучка ненулевых голоморфных функций.

голоморфном векторном расслоении метрика на Эрмитова

Пусть E — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии M существует эрмитова метрика и на E ; то есть волокна E _x снабжены плавно изменяющимися скалярными произведениями <·,·>. Тогда существует единственная связность ∇ на E , совместимая как с комплексной структурой, так и с метрической структурой, называемая связностью Черна ; то есть ∇ — связность такая, что

(1) Для любых гладких s пространства E сечений

\pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s

где π _0,1 принимает (0, 1)-компоненту E -значной 1-формы .

(2) Для любых гладких сечений s , t пространства E и векторного поля X на M ,

X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle

где мы написали

\nabla _{X}s

для сокращения

\nabla s

по Х. (Это эквивалентно тому, что параллельный перенос по ∇ сохраняет метрику <·,·>.)

Действительно, если u = ( e ₁ , …, en _пусть ) — голоморфный репер, то $h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle$ и определим ω _u уравнением $\sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}$ , что проще запишем так:

\omega _{u}=h^{-1}\partial h.

Если u' = ug — другой фрейм с голоморфной заменой базиса g , то

\omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},

и поэтому ω действительно является формой связности , порождающей ∇ посредством ∇ s = ds + ω · s . Теперь, поскольку ${\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}$ ,

d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .

То есть ∇ совместим с метрической структурой. Наконец, поскольку ω является (1,0)-формой, (0,1)-компонента $\nabla s$ является ${\bar {\partial }}_{E}s$ .

Позволять $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ — форма кривизны ∇. С $\pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}$ квадраты к нулю по определению оператора Дольбо, Ω не имеет (0, 2)-компоненты, и поскольку легко показать, что Ω является косоэрмитовым, ^[3]у него также нет (2,0)-компоненты. Следовательно, Ω является (1, 1)-формой, заданной формулой

\Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .

Кривизна Ω появляется заметно в теоремах об исчезновении для высших когомологий голоморфных векторных расслоений; например, теорема об исчезновении Кодайры и теорема об исчезновении Накано .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Кобаяши, С. (2014). Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений (т. 793). Издательство Принстонского университета.
^ Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 .
^ Например, существование эрмитовой метрики на E означает, что структурная группа расслоения фреймов может быть сведена к унитарной группе , а Ω имеет значения в алгебре Ли этой унитарной группы, которая состоит из косоэрмитовых метрик.

Ссылки [ править ]

Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523
«Векторное расслоение, аналитическое» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки [ править ]

Принцип расщепления голоморфных векторных расслоений

[1] Кобаяши, С. (2014). Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений (т. 793). Издательство Принстонского университета.

[2] Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 .

[3] Например, существование эрмитовой метрики на E означает, что структурная группа расслоения фреймов может быть сведена к унитарной группе , а Ω имеет значения в алгебре Ли этой унитарной группы, которая состоит из косоэрмитовых метрик.

[1]

[2]

[3]