Определения математики
Математика не имеет общепринятого определения. Различные школы мысли, особенно в философии , выдвинули радикально разные определения. Все предложенные определения по-своему спорны. [1] [2]
определения Ранние
Пифагор заявил: «Все есть число. Число правит вселенной», перефразировано Платоном , из которого платонизм исторически был основной математической школой мысли и до сих пор широко распространен. Его ученик Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до XVIII века. В своей классификации наук он далее различал арифметику , изучающую дискретные величины, и геометрию , изучающую непрерывные величины. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточенность только на количестве не может отличать математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отделимого в мышлении» от реальных примеров, отличают математику. [3] Перипатетический / аристотелевский реализм оказал влияние на большую часть современного реализма.
Определение Огюста Конта попыталось объяснить роль математики в координации явлений во всех других областях : [4]
Наука косвенных измерений. [5] Огюст Конт 1851 г.
«Косвенность» в определении Конта относится к определению величин, которые нельзя измерить напрямую, таких как расстояние до планет или размер атомов, посредством их отношений к величинам, которые можно измерить напрямую. [6]
философские абстракция и конкурирующие школы Большая
В 19 веке, когда математика разрослась до абстрактных тем, таких как теория групп и проективная геометрия , которые не имеют четкого отношения к количеству и измерению, математики и философы начали предлагать множество новых определений. [5]
Три ведущих типа определения математики сегодня называются логицистскими , интуиционистскими и формалистическими , каждый из которых отражает различную философию математики . Однако у каждого из них есть свои недостатки, ни один из них не достиг общего консенсуса, и все три кажутся непримиримыми. [7]
Логизм [ править ]
Поскольку математики стремились к большей строгости и более абстрактным основам , некоторые предлагали определять математику исключительно с точки зрения дедукции и логики :
Математика – это наука, которая делает необходимые выводы. [8] Бенджамин Пирс 1870 г.
Вся математика есть символическая логика. [9] Бертран Рассел 1903 г.
Пирс не думал, что математика — это то же самое, что логика, поскольку он считал, что математика делает только гипотетические, а не категорические утверждения . [10] С другой стороны, определение Рассела безоговорочно выражает логистскую точку зрения. [7]
Интуиционизм [ править ]
Вместо того, чтобы характеризовать математику с помощью дедуктивной логики, интуиционизм рассматривает математику как прежде всего конструирование идей в уме: [7]
В этом построении следует искать единственно возможное основание математики, обязуясь внимательно следить за тем, какие построения допускает интуиция, а какие нет. [11] ЛЭЙ Брауэр 1907
... интуиционистская математика представляет собой не что иное, как исследование предельных пределов, которых интеллект может достичь в своем саморазвертывании. [11] Аренд Хейтинг 1968
Интуиционизм возник из философии математика Л. Дж. Брауэра и также привел к развитию модифицированной интуиционистской логики . В результате интуиционизм привел к некоторым действительно отличным результатам, которые, хотя и являются последовательными и обоснованными, отличаются от некоторых теорем, основанных на классической логике. [7]
Формализм [ править ]
Другая точка зрения, формализм , вообще не придает значения логическим или интуитивным значениям, вместо этого основывая математику на ее символах и правилах синтаксиса для манипулирования ими: [7]
Математика – это наука о формальных системах. [12] Хаскелл Карри 1951 г.
Другие мнения [ править ]
Помимо приведенных выше определений, другие определения приближаются к математике, подчеркивая элемент закономерности, порядка или структуры. Например:
Математика – это классификация и изучение всех возможных закономерностей. [13] Уолтер Уорвик Сойер , 1955 год.
Еще один подход состоит в том, чтобы сделать абстракцию определяющим критерием:
Математика — это обширная область исследования, в которой исследуются свойства и взаимодействия идеализированных объектов. [14]
Современные общие справочные издания [ править ]
В большинстве современных справочников математика определяется путем обобщения ее основных тем и методов:
Абстрактная наука, которая дедуктивно исследует выводы, заключенные в элементарных представлениях о пространственных и числовых отношениях, и включающая в качестве своих основных разделов геометрию, арифметику и алгебру. [15] Оксфордский словарь английского языка , 1933 г.
Изучение измерения, свойств и отношений величин и множеств с использованием чисел и символов. [16] Словарь американского наследия , 2000 г.
Наука о структуре, порядке и отношениях, которая развилась из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов. [17] Британская энциклопедия , 2006 г.
, метафорические и определения Игривые поэтические
Бертран Рассел написал это знаменитое ироничное определение, описывая, как все термины в математике в конечном итоге определяются посредством ссылки на неопределенные термины:
Тема, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и правда ли то, что мы говорим. [18] Бертран Рассел 1901 г.
Многие другие попытки охарактеризовать математику привели к юмору или поэтической прозе:
Математик — это слепой, который в темной комнате ищет черную кошку, которой там нет. [19] Чарльз Дарвин [20]
Математик, подобно художнику или поэту, является создателем закономерностей. Если его модели более постоянны, чем их, то это потому, что они созданы на основе идей. [21] Г.Х. Харди , 1940 год.
Математика – это искусство давать одинаковые названия разным вещам. [8] Анри Пуанкаре
Математика — наука об умелых операциях с понятиями и правилами, придуманными именно для этой цели. [этой целью является умелая операция ....] [22] Юджин Вигнер
Математика — это не книга, запертая в обложке и зажатая между медными застежками, содержимое которой нужно только терпеливо исследовать; это не шахта, сокровища которой могут занять много времени, чтобы овладеть ими, но которые заполняют лишь ограниченное количество жил и залежей; это не почва, плодородие которой может быть истощено урожайностью последовательных урожаев; это не континент или океан, площадь которого можно нанести на карту и определить контур: он безграничен, как то пространство, которое он находит слишком узким для своих устремлений; его возможности так же безграничны, как миры, вечно теснящиеся и множащиеся перед взором астронома; оно так же неспособно быть ограничено заданными границами или сведено к определениям постоянной значимости, как и сознание жизни, которое, кажется, дремлет в каждой монаде, в каждом атоме материи, в каждом листе и клетке бутона и всегда готово вырваться в новые формы растительного и животного существования. [23] Джеймс Джозеф Сильвестр
Что такое математика? Для чего это? Чем занимаются математики сегодня? Разве все это не закончилось давно? Сколько новых чисел вы вообще сможете придумать? Является ли сегодняшняя математика всего лишь вопросом огромных вычислений, где математик выступает в роли своего рода смотрителя зоопарка, следящего за тем, чтобы драгоценные компьютеры были накормлены и поены? Если нет, то что это, кроме непостижимых излияний сверхмощных мозговых ящиков с головами в облаках и свисающими ногами с высоких балконов башен из слоновой кости? Математика – это все это, и ничего. В основном, это просто другое. Это не то, чего вы ожидаете, вы на мгновение отворачиваетесь, и все меняется. Это, конечно, не просто фиксированный набор знаний, его рост не ограничивается изобретением новых чисел, и его скрытые щупальца пронизывают каждый аспект современной жизни. [23] Ян Стюарт
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Мура, Роберт (декабрь 1993 г.), «Образы математики, представленные университетскими преподавателями математических наук», Educational Studies in Mathematics , 25 (4): 375–385, doi : 10.1007/BF01273907 , JSTOR 3482762 , S2CID 122351146
- ^ Тобис, Рената ; Нойнцерт, Хельмут (2012), Ирис Рунге: жизнь на перекрестке математики, науки и промышленности , Springer, стр. 9, ISBN 978-3-0348-0229-1 Прежде
всего необходимо спросить, что понимается под математикой вообще . Прославленные ученые спорили по этому вопросу до посинения, но до сих пор не было достигнуто единого мнения о том, является ли математика естественной наукой, отраслью гуманитарных наук или формой искусства.
- ^ Франклин, Джеймс (2009). «Аристотелевский реализм» . В Ирвине, Эндрю Д. (ред.). Философия математики . Эльзевир Б.В., стр. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9 . Архивировано из оригинала 6 сентября 2015 года . Проверено 1 июля 2020 г.
- ^ Арлин Рейлен Стэндли, Огюст Конт, с. 61. Издательство Туэйн (1981).
- ^ Перейти обратно: а б Каджори, Флориан (1893). История математики . Американское математическое общество (переиздание 1991 г.). стр. 285–86 . ISBN 978-0-8218-2102-2 .
- ^ Огюст Конт, Философия математики, тр. В.М. Гиллеспи, стр. 17–25 . Харпер и братья, Нью-Йорк (1851 г.).
- ^ Перейти обратно: а б с д Это Снаппер, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм». Журнал «Математика» . 52 (4): 207–16. дои : 10.2307/2689412 . JSTOR 2689412 .
- ^ Перейти обратно: а б Основы и фундаментальные концепции математики Говард Ивс, стр. 150
- ^ Бертран Рассел, Принципы математики, с. 5 . Университетское издательство, Кембридж (1903)
- ^ Карл Бойер, Ута Мерцбах , История математики, с. 426 . Джон Уайли и сыновья (2011).
- ^ Перейти обратно: а б ван Аттен, Марк (8 ноября 2017 г.). «Развитие интуиционистской логики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2017 г.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 29 января 2022 г.
- ^ Хаскелл Брукс Карри (1951). Очертания формалистической философии математики . Эльзевир. п. 56. ИСБН 978-0-444-53368-5 .
- ^ Сойер, WW (1955). Прелюдия к математике . Книги о пингвинах. п. 12. ISBN 978-0486244013 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Математика» . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 октября 2019 г.
- ^ "математика" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . ( подписка или членство в участвующей организации Требуется .) Математика
- ^ "математика" . Словарь английского языка американского наследия (5-е изд.). ХарперКоллинз.
- ^ Математика в Британской энциклопедии
- ^ Рассел, Бертран (1901), «Недавние работы по принципам математики», International Monthly , 4.
- ^ «Пи в небе», Джон Бэрроу
- ^ Шварц, Гэри Э. (2007). Эксперименты с Богом: как наука обнаруживает Бога во всем, включая нас (иллюстрировано под ред.). Саймон и Шустер. п. 209. ИСБН 978-0-7434-7741-3 . Выдержка со страницы 209
- ^ «Цитаты Харди» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 18 октября 2019 г.
- ^ Вигнер, Юджин П. (1960). « Необоснованная эффективность математики в естественных науках », Communications in Pure and Applied Sciences , 13 (1960): 1–14. Перепечатано в журнале «Математика: Люди, проблемы, результаты», том. 3, изд. Дуглас М. Кэмпбелл и Джон К. Хиггинс, с. 116
- ^ Перейти обратно: а б «Отсюда и до бесконечности», Ян Стюарт
Дальнейшее чтение [ править ]
- Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), Что такое математика? (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-510519-3
- Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре , ред. (2008), Принстонский спутник математики , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2
- Херш, Рубен (1999), Что такое математика на самом деле? , Издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-513087-4
- Паулос, Джон Аллен (1991), «За гранью счета», Nature , 359 (6394), Viking: 463–464, Бибкод : 1992Natur.359..463B , doi : 10.1038/359463b0 , ISBN 978-0-670-83654-3 , S2CID 30811417
- Стюарт, Ян (1996), Отсюда и до бесконечности , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-283202-3