Теорема Вариньона

В евклидовой геометрии теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм , называемый параллелограммом Вариньона . Он назван в честь Пьера Вариньона , доказательство которого было опубликовано посмертно в 1731 году. ^[1]

Теорема

Середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм. Если четырёхугольник выпуклый или вогнутый (не комплексный ), то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника.

Если ввести понятие ориентированных площадей для n -угольников , то это равенство площадей справедливо и для комплексных четырехугольников. ^[2]

Параллелограмм Вариньона существует даже для перекошенного четырехугольника и является плоским независимо от того, плоский четырехугольник или нет. Теорему можно обобщить на многоугольник средней точки произвольного многоугольника.

Доказательство

Ссылаясь на диаграмму выше, треугольники ADC и HDG подобны по критерию сторона-угол-сторона, поэтому углы DAC и DHG равны, что делает HG параллельным AC . Точно так же EF параллелен AC , поэтому HG и EF параллельны друг другу; то же самое справедливо для HE и GF .

Теорему Вариньона также можно доказать как теорему аффинной геометрии, организованной как линейная алгебра с линейными комбинациями, ограниченными коэффициентами, сумма которых равна 1, также называемыми аффинными или барицентрическими координатами . Доказательство применимо даже к косым четырехугольникам в пространствах любой размерности.

Любые три точки E , F , G дополняются до параллелограмма (лежащего в плоскости, содержащей , F и G ) , если взять его четвертую вершину за E − F + G. E В построении параллелограмма Вариньона это точка ( A + B )/2 − ( B + C )/2 + ( C + D )/2 = ( A + D )/2. А ведь это точка H на рисунке, откуда EFGH образует параллелограмм.

Короче говоря, центр тяжести четырех точек A , B , C , D является серединой каждой из двух диагоналей EG и FH EFGH , показывая, что средние точки совпадают.

Из первого доказательства видно, что сумма диагоналей равна периметру образованного параллелограмма. Кроме того, мы можем использовать векторы, равные 1/2 длины каждой стороны, чтобы сначала определить площадь четырехугольника, а затем найти площади четырех треугольников, разделенных каждой стороной внутреннего параллелограмма.

выпуклый четырехугольник	вогнутый четырехугольник	перекрещенный четырехугольник

Параллелограмм Вариньона

Характеристики

Плоский параллелограмм Вариньона также обладает следующими свойствами:

Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это справедливо для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. ^[2]
Периметр . параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника
Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.
Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, совпадают и делятся пополам точкой пересечения. ^[3]^{: стр. 125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c, равна

m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}

где p и q — длины диагоналей. ^[4] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d, равна

n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.

Следовательно ^[3]^{: стр.126}

\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).

Это также является следствием закона параллелограмма, примененного в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедиан также можно выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольниках в приведенных выше формулах. Откуда ^[5]

m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}

и

n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.

Две противоположные стороны в этих формулах — это не те две стороны, которые соединяет бимедиана.

существует следующая двойственная связь: В выпуклом четырехугольнике между бимедианами и диагоналями ^[6]

Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Особые случаи

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда две диагонали четырехугольника имеют одинаковую длину, то есть если четырехугольник является равнодиагональным четырехугольником . ^[7]

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника перпендикулярны , то есть если четырехугольник является ортодиагональным четырехугольником . ^[6]^{: с. 14} ^[7]^{: с. 169}

Для самопересекающегося четырехугольника параллелограмм Вариньона может вырождаться до четырех коллинеарных точек, образуя отрезок, пройденный дважды. Это происходит всякий раз, когда многоугольник формируется путем замены двух параллельных сторон трапеции двумя диагоналями трапеции, например, в антипараллелограмме . ^[8]

См. также

Построение перпендикулярной биссектрисы четырехугольника , другой способ образования другого четырехугольника из данного четырехугольника.
Теорема Морли о трисекторах , родственная теорема о треугольниках

Примечания

^ Питер Н. Оливер: Пьер Вариньон и теорема о параллелограмме . Учитель математики, группа 94, №. 4 апреля 2001 г., стр. 316-319.
^ Jump up to: ^а ^б Коксетер, Х.С.М. и Грейтцер, С.Л. «Четырехугольник; теорема Вариньона» §3.1 в журнале «Возвращение к геометрии». Вашингтон, округ Колумбия: Математика. доц. Амер., стр. 52–54, 1967.
^ Jump up to: ^а ^б Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.
^ Матееску Константин, Ответ на неравенство диагонали
^ Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .
^ Jump up to: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25 .
^ Jump up to: ^а ^б де Вильерс, Майкл (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии , Динамическое обучение математике, стр. 58, ISBN 9780557102952 .
^ Мюрхед, РФ (февраль 1901 г.), «Геометрия равнобедренной трапеции и контрпараллелограмма с приложениями к геометрии эллипса», Труды Эдинбургского математического общества , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892

Ссылки и дальнейшее чтение

HSM Coxeter, SL Greitzer: Возвращение к геометрии . МАА, Вашингтон, 1967, стр. 52–54.
Питер Н. Оливер: Следствия теоремы Вариньона о параллелограмме . Учитель математики, группа 94, №. 5 мая 2001 г., стр. 406-408.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Вариньона» . Математический мир .
Параллелограмм Вариньона в компендиумной геометрии
Обобщение теоремы Вариньона на 2n-угольников и 3D в Dynamic Geometry Sketches , интерактивных эскизах динамической геометрии.
Параллелограмм Вариньона на сайте Cut-the-Knot-org

[1] Питер Н. Оливер: Пьер Вариньон и теорема о параллелограмме . Учитель математики, группа 94, №. 4 апреля 2001 г., стр. 316-319.

[Coxeter-2] Jump up to: ^а ^б Коксетер, Х.С.М. и Грейтцер, С.Л. «Четырехугольник; теорема Вариньона» §3.1 в журнале «Возвращение к геометрии». Вашингтон, округ Колумбия: Математика. доц. Амер., стр. 52–54, 1967.

[Altshiller-Court-3] Jump up to: ^а ^б Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.

[4] Матееску Константин, Ответ на неравенство диагонали

[5] Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .

[Josefsson-6] Jump up to: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25 .

[deV-7] Jump up to: ^а ^б де Вильерс, Майкл (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии , Динамическое обучение математике, стр. 58, ISBN 9780557102952 .

[8] Мюрхед, РФ (февраль 1901 г.), «Геометрия равнобедренной трапеции и контрпараллелограмма с приложениями к геометрии эллипса», Труды Эдинбургского математического общества , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]